Ізоморфізм. Гомоморфізм

Ми отримаємо узагальнення поняття  изоморфного відображення, якщо в  його визначенні відмовимося від  вимоги взаємної однозначності. Нехай  дано безлічі М і М ', кожне з  однією операцією - множенням. Розглянемо відображення ф безлічі М на безліч М ', що ставить у відповідність  кожному елементу аізМ цілком певний образ а' = аф в М ', в той час  як всякий елемент з М' володіє  хоча б одним, але, взагалі кажучи, багатьма різними прообразами в  М. Це відображення називається гомоморфним, якщо для будь-яких а і b, що містяться  в М, з випливає

Не можна вважати, зрозуміло, тотожними  два безлічі, одне з яких гомоморфності  відображається на інше. Таким чином, поняття гомоморфізму грає менш принципову роль, ніж поняття ізомор-Фізмен, але в подальшому розвитку теорії ця роль також вельми велика. Зазначимо  деякі приклади гомоморфності відображень.

Нехай М - безліч всіх цілих чисел  зі складанням в якості алгебраїчної операції, М '- безліч, що складається  з чисел 1 і-1; зто другий безліч розглядається  щодо множення, яке в ньому, очевидно, визначено. Відносячи всякому парним числом число 1, всякому непарному - число -1, ми отримаємо гомоморфності  відображення М на МУ; дійсно, правилом «парне плюс непарне одно непарному» відповідає рівність 1 * (- 1) = - 1, і т. д. Пусть теперь М — множество  всех векторов на плоскости, выходящих  из начала координат, М' — множество  тех векторов из М, которые лежат  на оси абсцисс, причем в обоих  случаях роль алгебраической операции играет сложение векторов. Мы получим  гомоморфное отображение 

множества М на множество М', если всякому вектору из М поставим в соответствие его проекцию на ось  абсцисс; действительно, проекция суммы  равна, как известно, сумме проекций слагаемых.Якщо безліч М з однією операцією гомоморфності відображається на безліч М ', зокрема, якщо ці дві множини ізоморфні, то з справедливості в М закону асоціативності або закону коммутативно-сти випливає справедливість відповідного закону і в М'. Нехай, наприклад, операція в М коммутативна. Якщо а 'і b' - довільні елементи з М ', елемент а - один з прообразів елементу а' в М, b - один з прообразів елементу b ', то при розглянутому гомоморфізм елементу аЬ відповідає елемент а'Ь', елементу bа - елемент b'а ', а тому з рівності аb = bа та єдиності образу при гомоморфності відображенні випливає рівність а'b' = b'а '. За цим же зразком про-ходить доказ і в тому випадку, коли операція в М асоціативна.

 

Далі, якщо безліч М володіє одиницею 1, то її образ служить одиницею для  безлічі М '. Дійсно, позначимо образ  одиниці через е '. Якщо а '- довільний  елемент із М', а - один з його про-образів, то з рівності а-1 = 1-а = а і гомоморфізму відображення випливають рівності а'е '= е а' = а '. Цим доведено, що е 'насправді  служить одиницею для безлічі  М'.

Зауважимо, що якщо безліч М володіє  зворотною операцією, то в загальному випадку цього не можна стверджувати щодо його гомоморфного образу М ', а  саме не можна довести єдність  розв'язку кожного з рівнянь (1) попереднього параграфа, хоча і можна довести  раз-рішучість цих рівнянь.

Дійсно, якщо а 'і b' - елементи з М ', а і b - відпо ¬ ного їх деякі  прообрази в М, тобто ф = а', b (р = Ь '), і якщо елемент з задовольняє  рівнянню ах = 'в М, то зважаючи гомоморфності  отобра-вання ф елемент з' = сф буде задовольняти рівнянню а'х - ред 'в  М'.

Відзначимо, з іншого боку, що з  справедливості в М 'законів асоціативності або коммутативности, з наявності  в М' одиниці або з здійсненності  в М 'зворотної операції не випливають відповідні твердження для безлічі  М. Існує деякий спосіб огляду всіх гомоморфності образів даної  множини М з однією операцією. З цією метою введемо такі поняття. Нехай дано розбиття множини М на непересічні підмножини, які ми назвемо класами і будемо позначати буквами А, В, ... Це розбиття множини М на непересічні класи називається правильним, якщо з того, що елементи а1 і А2 лежать в одному класі А, а елементи Ьл і Ь2 - в одному класі В, випливає, що вироблена-дення а ^'у і а2b2 також належать до одного й того ж класу С х.

З цього визначення випливає, що клас С цілком визначається завданням  самих класів А і В - твір будь-якого  елементу з А на будь-який елемент  з В міститься в С. Якщо ми назвемо  клас С произве ¬ жанням класу  А на клас В, то в множині

всіх класів нашого правильного розбиття буде визначено алгебраїчна операція. назвемо безліч з цією операцією фактор-множиною множини М по розглядається правильному разбиению.

Безліч М гомоморфності відображається на фактор-безліч . Дійсно, досить поставити у відповідність кожному елементу

з М той клас, в якому цей  елемент міститься, і скористатися визначенням множення в безлічі 

.Это гомоморфное отображение множества М на фактор-множество називається природним.

Фактор-множинами безлічі М його різним правильним розбиття по суті вичерпуються всі гомоморфні образи цієї множини. Точніше, справедлива наступна теорема.

Якщо М '- довільний гомоморфний  образ безлічі М, а ф гомоморфності  відображення М на М', то існує таке правильне розбиття множини М  на непересічні класи, що безліч М ' ізоморфно фактор-множині, побудованому з цього разбиению. Більше того, існує  таке изоморфное відображення множества М' на множество , що результат послідовного виконання відображень збігається з природним гомоморфним відображенням М на М.Для доказу зауважимо, що ми отримаємо розбиття множини М на непересічні класи, якщо будемо відносити в один клас всі еле ¬ менти, образи яких при відображенні ф збігаються. Це розбиття є правильним: якщо елементи а 1 і я2 лежать в одному класі, тобто ,і це ж має місце для елементів о зважаючи гомоморфізності відображення ф

т. е. елементи а1 і а2Ь2 насправді належать до одного класу. Це дозволяє в множині М всіх класів отриманого розбиття визначити множення зазначеним вище способом, тобто перетворити М в фактор-безліч. Між усіма елементами множини М 'і всіма класами (тобто елементами множини М) існує взаємно однозначна відповідність — всякому елементу з М 'потрібно поставити у відповідність клас, що складається з усіх прообразів цього елемента. відповідність є ізоморфним: якщо елементам а 'і b' з безлічі М 'віднесені відповідно класи А і В і якщо в цих класах вибрано по елементу - а з А і b з В, то А В буде тим класом, який містить елемент аb. Однак т. е. элементу а'b'отображеня ставить у відповідність клас А В. Для закінчення докази беремо довільний елемент а з М. Нехай Так як елемента є одним з прообразів елементу а ', то а міститься в А, тобто результат послідовного виконання відображень дійсно збігається з природним гомоморфним відображенням М на М. Теорема доведена.