Задачи с "астрономическими" числами

Е.О. Идрисова, студентка 3курса  ДО

Научный руководитель –  к. п. н., доцент Н.Л. Гребенникова

ЗАДАЧИ С «АСТРОНОМИЧЕСКИМИ» ЧИСЛАМИ

На уроках математики с  большими числами ученики знакомятся в 4 классе, когда изучают класс миллионов и класс миллиардов. Но так как классы чисел миллиардом не заканчиваются, школьники начинают придумывать названия следующим классам самостоятельно. Что бы названия не были ошибочными, на внеклассных занятиях можно по подробнее рассказать о больших числах: как их называют, в каких науках они используются и что конкретно измеряется этими числами.

Именно, на внеклассном занятии можно сказать, что в повседневной жизни знания о больших числах не так важны, но эти числа помогают нам представить то, что увидеть глазами невозможно, например: безграничность Вселенной, Солнечную систему, взаимное расположение Земли, Луны и Солнца. Всё это изучается в астрономии. Поэтому большие числа используемые в астрономии и называют «астрономическими» числами.

О них говорил Леонтий  Магницкий в своей «Арифметике», где приводится таблица названий классов, доведённая до квадрильона, то есть единицы с 24 нулями. Но он считал практически бесполезным добавлять систему наименований числовых великанов чересчур далеко, так как ум человеческий не может объять бесконечного ряда чисел. Заключающиеся в таблице числа (от единицы до квадрильона включительно) достаточны, по его мнению, для исчисления всех вещей видимого мира, - для каждого «кому требя счисляти что внутрь неба»[2].

Любопытно, что ещё и  в наши дни упомянутая таблица  Магницкого почти достаточна для тех исследователей природы, которым «требя счисляти что внутрь неба». Исследователям Вселенной на каждом шагу приходится встречаться с огромными числами, состоящими из одной-двух значащих цифр и длинного ряда нулей. Изображение обычным образом подобных числовых исполинов, неизбежно вело бы к большим неудобствам, особенно при вычислениях. Расстояние, например, до туманности Андромеды (галактика), написанное обычным порядком, представляется таким числом километров: 95 000 000 000 000 000 000.

При выполнении астрономических  расчетов приходится к тому же выражать зачастую небесные расстояния не в километрах или более крупных единицах, а в сантиметрах. Рассмотренное расстояние изобразится в этом случае числом, имеющим на пять нулей больше: 9 500 000 000 000 000 000 000 000 см.

Массы звезд выражаются еще  большими числами, особенно если их выражать, как требуется для многих расчетов, в граммах. Масса нашего Солнца в граммах равна 1 983 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 г.

Легко представить себе, как затруднительно было бы производить вычисления с такими громоздкими числами, и как легко было бы при этом ошибиться. А ведь здесь приведены далеко еще не самые большие астрономические числа.

Возведение в степень дает вычислителям простой выход из этого затруднения. Единица, сопровождаемая рядом нулей, представляет собой определенную степень десяти: 100 = 10²,  1000 = 10³,  10 000 = 10⁴ и т. д.

Приведенные раньше числовые великаны могут быть поэтому представлены в таком виде: первый — 95 × 10²³, второй — 1983 × 10³⁰.

Делается это не только для сбережения места, но и для  облегчения расчетов. Это, конечно, гораздо удобнее, чем выписывать число с 23 нулями, с 30 или, наконец, с 53 нулями, — не только удобнее, но и надежнее, так как при писании десятков нулей можно пропустить один-два нуля и получить неверный результат.

Чтобы понять такие записи, учеников нужно познакомить со степенью числа, выделив для этого отдельный урок, где рассказывается что, для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение. Так, вместо произведения одинаковых множителей 4∙4∙4∙4∙4∙4∙4 пишут 4⁷ и произносят «четыре в седьмой степени»: 4∙4∙4∙4∙4∙4∙4=4⁷. Выражение 4⁷ называют степенью числа, где: 4 – основание степени; 6 – показатель степени.

Для осмысления нового действия над числами можно предложить такие задания как:

• прочитай, объясни: 16=4², 27=3³, 100000=10⁵, 6¹=6, 5²≠2⁵;
• продолжи ряд: 2,4,8,…; 10⁰=1, 10=10¹, 100=10², 1000=…;
• запиши числа: 2,4,8 степенью числа 2.

Разобравшись со степенью числа, можно предложить ряд задач  с «астрономическими» числами, заранее предоставив некоторые данные например те, что в таблице 1.

                                                 Таблица 1

	Размер (диаметр)	Масса	Расстояние  от Земли
Земля	127∙105м	598∙1022кг	-
Луна	35∙105м	733∙1020кг	384∙106м
Солнце	139∙107м	198∙1028кг	1490∙108м

• расскажите, что вы узнали из таблиц о размере, массе и удаленности от Земли двух самых близких к ней небесных тел.
• на сколько километров (приблизительно) дальше от Солнца находится самая дальняя планета Солнечной системы Плутон (591∙10⁷ км), чем самая близкая Меркурий (579∙10⁵ км)?

Ответ на поставленный вопрос школьники затруднятся, так как в данных числах степень десяти разная. Поэтому для начала необходимо преобразовать числа так, чтобы степень была одинаковая. Легче всего перевести данные Плутона: 591∙10⁷ км=5900∙10⁵ км. Теперь можно найти разницу расстояния:

5900∙10⁵ - 579∙10⁵ = (5900-579) ∙10⁵ = 58521∙10⁵ (км).

Эту задачу можно решить и другим способом, вместо преобразования степени, дописать нули, так как числа ещё не очень велики, и выполнить решение:

5910000000-57900000=5852100000(км).

2) На сколько масса Солнца больше массы Луны, если масса Луны 733∙10²⁰кг, а масса Солнца 198∙10²⁸кг?

В этой задаче прописывать  все нули не является лучшим решением, так как дети начнут путаться в  количестве нолей. Целесообразно преобразование степеней:

198∙10²⁸= 19800000000∙10²⁰

19800000000∙10²⁰ - 733∙10²⁰= 19799999267∙10²⁰(кг)

 

 

                                                          _19800000000

                                                                             733

                                                            19799999267.

Таким образом, решая задачи с «астрономическими» числами у обучающихся в начальном классе развивается познавательный интерес как к новым знаниям по математике, так и к тому, что невозможно увидеть глазами, а можно представить только по числовым характеристикам. Тем самым школьники осознают роль математики в изучении окружающей жизни и в недоступных просторах Вселенной.

Библиографический список

1. Гребенникова Н.Л. Из истории математики: Дидактические материалы для внеурочных занятий. – Стерлитамак: СФ БашГУ, 2012. – 19с.
2. Перельман Я.И. Занимательная арифметика. – М., 1954 – 192с.