Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

 

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ «Управление персоналом»

 

 

 

 

 

 

 

 

К О Н Т Р О Л Ь Н А Я     Р А Б О Т А

 

 

По предмету:  Математика

 

 

 

Вариант № 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

Студент 1 курса

1 семестр

 

 

 

 

 

 

 

 

г. Тюмень, 2013г.

 

 

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ  
ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

№ 1.  Вычислить предел:

Решение:

При подстановке значения x = 0 получаем неопределенность вида Поэтому воспользуемся эквивалентностью при . А затем несколько раз применим правило Лопиталя.

.

При подстановке значения x = 0 получаем неопределенность вида Еще раз применим правило Лопиталя.

.

 

№ 2.  Найти асимптоты функции.

.

Решение:

1.)  Функция  неопределенна в точке .

Найдем односторонние пределы функции в точке .

,

.

Поэтому — вертикальная асимптота графика функции.

 

2.)  Найдем  горизонтальные асимптоты.

Однако, ,

поэтому горизонтальных асимптот нет.

3.)  Найдем  наклонные асимптоты. Будем искать  их в виде: .

,

.

Таким образом, наклонная асимптотой является прямая .

№ 3.  Определить глобальные экстремумы     при   

Решение:

Область определения функции: .

Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения в ограниченной области, называют точками абсолютного (или глобального) экстремума.

Чтобы найти глобальные экстремумы нужно вычислить значения функции в критических точках, а также наибольшие и наименьшее значения на границах отрезка.

Найдем критические точки, т.е. точки, в которых  .

,

   при    

т.е.

,   или .

Но

, поэтому критической не является.

Решаем уравнение   , находим — критическая точка.

Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка.

;

.

Сравниваем найденные значения. Таким образом,  ; 

Значит, точка является точкой глобального максимума, а точка — точкой глобального минимума.

№ 4.  Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции .

Решение:

Исследуем функцию на монотонность.

Для этого найдем первую производную функции   и точки, в которых  (точки возможного экстремума).

   при   , т.е. при

 

— критические точки.

Критические точки разрывают числовую прямую на интервалы: , , , .

Выясним, какие знаки имеет функция в каждом из них. Для этого воспользуемся таблицей:

х		– 2				0
	+	0	—	0	+	0	+
				– 1,1
		max		min

Таким образом, при      функция возрастает,

а при      функция убывает.

При переходе через точку     сменяет свой знак с «+» на «—», поэтому она является точкой максимума. А при переходе через точку   ,  сменяет свой знак с  «—»  на «+», поэтому   — точка минимума.

Построим схематически график.

№ 5.  Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

Решение:

Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба найдем вторую производную функции  и точки, в которых 

,

,

  при  ,    — критическая точка.

Построим вспомогательную таблицу.

х		1
	—	0	+
		– 1

При , , график функции выпуклый вверх, а при , ,  
график функции выпуклый вниз.

При переходе через вторая производная меняет свой знак с «—» на «+», поэтому  является точкой перегиба.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ  
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ

№ 1.  Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции.

Решение:

1. Область определения  .

2. Т.к. , и , то функция ни четной, ни нечетной не является. Поэтому график не симметричен относительно оси ОУ и относительно начала координат.

3. Так как  , то — точка пересечения с ОY.

    при , — точка пересечения с осью Ox.

Единственной точкой пересечения с осями координат является точка  (0; –1).

4. Найдем асимптоты графика функции.

а)   точек разрыва нет, поэтому вертикальных асимптот нет;

б) найдем горизонтальную асимптоту графика функции,

Так как , т.е. горизонтальных асимптот нет.

в)   найдем наклонную асимптоту графика функции, будем искать ее в виде

  ,

   наклонных асимптот нет.

5. Найдем  промежутки возрастания, убывания  функции, точки экстремума.

,

  при  , т.е. при ,

. — критические точки.

Построим вспомогательную таблицу.

х		– 2		0
	«+»	0	«—»	0	«+»
				2

При    функция возрастает, а при функция убывает.

При переходе через точку меняет свой знак с «+» на «—», поэтому она является точкой максимума.

При переходе через точку меняет свой знак с «—» на «+», поэтому она является точкой минимума.

6.   Найдем  промежутки выпуклости, вогнутости  графика функции, точки перегиба.

,

 при  ,

 — критическая точка.

Построим вспомогательную таблицу.

х		–1
	«—»	0	«+»

При     график выпуклый вверх,

а при       график выпуклый вниз.

При переходе через точку вторая производная меняет свой знак, поэтому является точкой перегиба

7.   Сделаем  чертеж.

 

№ 2.  Найти локальные экстремумы функции 

Решение:

Вычислим частные производные первого передка данной функции:

.

Находим точки возможного экстремума (критические точки):

Отсюда находим:

Итак,   —  критические точки.

Исследуем знак приращения в окрестностях найденных точек. Для этого вычислим частные производные второго порядка функции    в этих точках.

Для :

           .

Т.к. и , то точка является точкой строгого минимума.

Для :

           .

Т.к. , то точка точкой экстремума не является.

Для :

           .

Т.к. , то точка точкой экстремума не является.

Для :

           .

Т.к. , то точка точкой экстремума не является.

Итак, точка    является точкой строгого минимума.

№ 3.   Определить экстремумы функции    ,   если  .

Решение:

Из уравнения связи      находим . Подставив его в уравнение получаем:

Получим функцию одной переменной .

Находим точки локальных экстремумов:

,

 при  , т.е. при .

.

Получаем точку   .

Нетрудно увидеть, что в точке функция достигает наименьшего значения.

Таким образом, .

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИИ  
ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

№ 1—3. Найти неопределенный интеграл

1)   .

Решение:

1.)  

 где С — const;

2.)  .

Решение:

, где С — const;

3.   .

Решение:

 

, где С — const.

№ 4.  Вычислить  .

Решение:

.

№ 5.   Определить длину кривой, описываемой графиком функции , .

Решение:

Сделаем чертеж.

Воспользуемся формулой:   , где .

,

.

Тогда