Векторы и координаты

  ФГОБУ ВПО 
«Государственный университет МинФина России» 
Владикавказский филиал

 

                                                                                     Презентация          

                                  По дисциплине «Математика»

                                  Тема:«Векторы и координаты»

 

                                                                                                         выполнили :

                                                                                                студенты группы1-3Э

                                                                                                Гуссаов Георгий

                                                                                               Петросянц Марсель

                                                                                          проверил преподаватель:

                                                                                               Солонина Г.Ю.

 

 

 

 

.

 

 

                                                                                                                                  Владикавказ 2012г.

 

 

          Оглавление

 

•  Понятие вектора
• Длина вектора
• Коллинеарные вектора
• Сонаправленные вектора
• Противоположно направленные вектора
• Сложение векторов
• Вычитание векторов
• Произведение вектора на число
• Вектор и его координаты

Понятие вектора

 

Многие физические величины  характеризуются числовым значением  и направлением в пространстве, их называют  векторными величинами

 

v

 

F

K

 

Длина вектора

 

M

 

N

 

a

 

вектор MN  или вектор а

 

вектор КК  или  нулевой  вектор

 

Длиной вектора или модулем не нулевого вектора называется длина отрезка

 

|MN| = |a| длина вектора MN

 

|KK| = 0

Нулевой вектор считается  коллинеарным любому вектору

 

Коллинеарные  вектора

 

М

 

с

 

L

 

K

 

b

 

A

 

B

 

Ненулевые вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых

с

 

L

 

K

 

b

 

A

 

B

 

Сонаправленные вектора

 

Коллинеарные вектора  имеющие одинаковое направление, называются сонаправленными векторами

 

М

 

c ↑↑ KL         AB ↑↑ b MM ↑↑ c (любому       вектору)

с

 

b

 

L

 

K

 

A

 

B

 

Противоположно направленные  вектора

 

Коллинеарные вектора  имеющие противоположное направление, называются противоположно направленными векторами

 

b ↑↓ KL          AB ↑↓ c

c↑↓ b KL ↑↓ AB

Сложение  векторов 
Правило треугольника

 

a

 

a + b = c 

 

Дано: a, b

 

Построить:  c = a + b

 

Построение:

 

a

 

b

 

с

 

b

Сумма нескольких векторов

 

a

 

b

 

c

 

d

 

m

 

n

 

a + b + c + d +  m + n  

 

a

 

b

 

c

 

d

 

m

 

n

Вычитание векторов

 

a

 

a - b = c 

 

Построение:

 

a

 

b

 

с

 

b

 

Дано: a, b

 

Построить:  c = a - b

Умножение вектора a на число k

 

k·a = b,

|a| ≠ 0, k – произвольное число

|b| = |k|·|a|,

если k>0, то a ↑↑ b

если k<0, то a ↑↓ b

 

a

 

2a

 

-2a

 

Для любых чисел k, l и любых векторов a, b справедливы равенства:

1º. (kl)a= k(la) (сочетательный закон),

2º. (k+l)a= ka+la (первый распределительный закон),

3º. k(a+b) = ka+kb (второй распределительный закон).  

Координаты вектора

x

 

z

 

y

 

Отрицательная полуось

 

Положительная полуось

 

О

 

Положительная полуось

 

Отрицательная полуось

 

Положительная полуось

 

Отрицательная полуось

 

Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью,

а другой луч – отрицательной полуосью

x

 

z

 

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются координатами точки

 

y

 

О

 

M (x; y; z)

 

x = OM_¹

 

абсцисса

 

y = OM_²

 

ордината

 

z = OM_³

 

аппликата

 

M_¹

 

M_³

 

M_²

 

M

y

 

x

 

z

 

O (0; 0; 0)

 

 I I I I I I I I I

 

О

 

N (5; 0; 0)

 

I       I         I I I I I I

 

I     I      I     I     I      I     I     I I I I

 

N

 

F

 

D

 

R

 

F (0; -2; 0)

 

D(0; 0; 4)

 

R(0; 0; -0,5)

 

M

 

M(0; 3; 0)

 

S(x; 0; 0)

 

P(0; y; 0)

 

T(0; 0; z)

 

Ox

 

Oy

 

Oz

z

 

N (5; 4; 0)

 

C (2;-1; 0)

 

I     I      I     I     I      I     I     I I I I

 

R (-3; -3; 0)

 

F(0; 4; 3)

 

A(0; -3; 4)

 

M(7; 0; 2)

 

S(x; y; 0)

 

P(0; y; z)

 

T(x; 0; z)

 

Oxy

 

Oyz

 

Oxz

 

y

 

R

 

 

N

 

 I I I I I I I I I

 

О

 

I       I         I I I I I I

 

F

 

D

 

x

 

C

 

A

 

D(6; 0;-3)

 

M

y

 

x

 

z

 

 I I I I I I I I

 

I       I         I                    I        I         I         I         I   

 

I        I         I        I        I        I                 I       I  

 

j

 

k

 

i

 

p{ x; y; z} координаты вектора

 

разложение вектора по координатным векторам

 

     , и – координатные векторы

 

i

 

j

 

k

 

i

 

=1;

 

j

 

=1;

 

 k

 

=1

 

p

 

F(x; y; z)

 

O

 

Координатные векторы не компланарны. Поэтому любой вектор можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде

 

причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

 

p = xi + yj + zk

 

F

Вектор, начало которого  совпадает с началом координат  – радиус-вектор.

 

Координаты радиус-вектора  совпадают с координатами конца  вектора.

 

y

 

x

 

z

 

 I I I I I I I I

 

I       I         I                    I        I         I         I         I   

 

I        I         I        I        I        I                 I       I  

 

j

 

k

 

i

 

p {4; 5; 8}

 

S(4; 5; 8)

 

p =4i +5j +8k

 

p

 

I       I         I        I         I         I         I   

 

S

 

O

 0 {0;0;0}

 

O (0; 0; 0)

 

 i {1;0;0}

 

 j {0;1;0}

 

 e {-1;0;0}

 

 r {0;-1;0}

 

y

 

x

 

z

 

 I I I I I I I I

 

I       I         I                    I        I         I         I         I   

 

I        I         I        I        I        I                 I       I  

 

j

 

k

 

i

 

O

 

0 =0i + 0j + 0k

 

 k {0;0;1}

 

e

 

r

 

f

 

 f {0;0;-1}

 

e = – i

 

r = – j

 

f = – k

Координаты равных векторов  равны.

 

y

 

x

 

z

 

 I I I I I I I I

 

I       I         I                    I        I         I         I         I   

 

I        I         I        I        I        I                 I       I  

 

j

 

k

 

i

 

p {4; 5; 8}

 

p

 

I       I         I        I         I         I         I   

 

S

 

O

 

c

 

c = p

 

c {4; 5; 8}

Каждая координата суммы  двух или более векторов равна  сумме соответствующих координат  этих векторов.

 

1⁰

 

a+b = + =

 

a +b {x¹+x²; y¹+y²; z¹+z²}

 

Рассмотрим векторы                                

 

a {x¹;y¹;z¹}

 

b {x²;y²;z²}

 

 = (x¹+ x²)i + (y¹ + y² ) j + (z¹ + z² )k

 

a = x¹i +y¹ j +z¹ k

 

b = x²i +y² j +z² k

 

 x¹i +y¹ j +z¹ k

 

 x²i +y² j +z² k

a –b = –                        =

 

a –b {x¹–x²; y¹ –y²; z¹– z²}

 

Рассмотрим векторы                                

 

a {x¹;y¹;z¹}

 

b {x²;y²;z²}

 

 = (x¹– x²)i + (y¹ – y² ) j + (z¹ –z² )k

 

a = x¹i +y¹ j +z¹ k

 

b = x²i +y² j +z² k

 

 x¹i +y¹ j +z¹ k

 

 x²i +y² j +z² k

 

Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

 

2⁰

 

 ( )

Каждая координата произведения  вектора на число равна произведению  соответствующей координаты вектора  на это число.

 

3⁰

 

ka {kx; ky; kz}

 

a {x; y; z}

 

Рассмотрим вектор                            

 

k

 

3

 

3a {-6; 3; 0}

 

a {-2; 1;0}

 

(-2)

 

-2a {4; 0;-6}

 

a {-2; 0; 3}

 

(-1)

 

  -a {2; -5; 3}

 

a {-2; 5;-3}

 

a = xi +y j +z k

 

ka = kxi +ky j +kz k

            Спасибо

       за внимание !!!

 

3

 

4

 

5

 

6

 

7

 

8

 

9

 

10

 

11

 

12

 

«Геометрия 7-9»  Л.С. Атанасян и др.

 

 

«Геометрия 7-9»  Л.С. Атанасян и др.

 

 

«Геометрия 7-9»  Л.С. Атанасян и др.

 

 

«Геометрия 7-9»  Л.С. Атанасян и др.

 

 

«Геометрия 7-9»  Л.С. Атанасян и др.

 

 

«Геометрия 7-9»  Л.С. Атанасян и др.

 

 

«Геометрия 7-9»  Л.С. Атанасян и др.

 

 

«Геометрия 7-9»  Л.С. Атанасян и др.

 

 

«Геометрия 7-9»  Л.С. Атанасян и др.

 

 

«Геометрия 7-9»  Л.С. Атанасян и др.

 

 

«Геометрия 7-9»  Л.С. Атанасян и др.