Условный экстремум

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

Ведение………………………………………………………………………………….3

1 Понятие экстремума функции. ...…………………………………………...............4

2 Условный экстремум функции ……………………..………………….………….. 8

3 Задачи на условный экстремум функции многих переменных…………………11

4 Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума функции многих переменных ………………………………………………………..13

5  Алгоритм нахождения экстремума функции методом множителей Лагранжа...17

6  Смысл множителей Лагранжа …………………………………………………….20

7  Преимущества и недостатки метода множителей Лагранжа………………….22

Заключение .…………………………………………………………………………23

Список использованных источников…………………………………………….. 24

 

ВВЕДЕНИЕ

 

 

Долгое время к задачам  на отыскание экстремумов не было единых подходов. Но примерно триста лет назад – в эпоху формирования математического анализа – были созданы первые общие методы решения и исследования задач на экстремум.

Накопление методов  дифференциального исчисления приняло  наиболее явную форму у Ферма. В 1638 году он сообщил в письме Декарту, что решил задачу определения экстремальных значений функции f(x). Ферма составлял уравнение (f(x+h)-f(x))/h=0 и после преобразований в левой части полагал h=0.

К сожалению, Ферма не стремился публиковать свои работы, кроме того, пользовался труднодоступными для усвоения алгебраическими средствами  Виета с его громоздкой символикой. Видимо, поэтому он не сделал последнего, уже небольшого, шага на пути к созданию дифференциального исчисления.

Накопление фактов дифференциального  исчисления происходило быстро. В  «Дифференциальном исчислении» (1755) Эйлера это проявляется уже в весьма полном виде.

Правила определения  экстремумов функции одной переменной  y=f(x) были даны Маклореном. Эйлер разработал этот вопрос для функции двух переменных. Лагранж показал (1789), как отличать вид условного экстремума для функции многих переменных.

Таким образом, в математике изучение задач на нахождение максимума и минимума началось очень давно. Но только лишь в эпоху формирования математического анализа были созданы первые методы решения и исследования задач на экстремум.

Данная тема актуальна  в современности потому, что метод  множителей Лагранжа применяется при  решении задач нелинейного программирования, возникающих во многих областях (например, в экономике).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Понятие экстремума функции

 

 

Для начала рассмотрим понятие экстремума и необходимые условия экстремума функции.

Положим, что имеется некоторая  функция с двумя переменными 

Точка называется точкой экстремума (максимума или минимума) функции , если  есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции в некоторой окрестности точки .

При этом значение  называется экстремальным значением функции (соответственно максимальным или минимальным). Говорят также, что функция имеет в точке экстремум (или достигает в точке экстремума).

Заметим, что в силу определения точка экстремума функции  лежит внутри области определения  функции, так что функция определена в некоторой (хотя бы и малой) области, содержащей эту точку. Вид графиков, изображающих поверхности функций в окрестностях точек экстремума показан на рисунке 1.

 

Рисунок 1

 

Теперь установим необходимые  условия, при которых функция  достигает в точке экстремума;  для начала будем рассматривать только дифференцируемые функции.

Необходимый признак экстремума: Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

 

,    .

(1)

 

Доказательство: Допустим, что функция имеет в точке экстремум.

Согласно определению  экстремума функция  при постоянном , как функция одного достигает экстремума при .  Как известно, необходимым условием для этого является обращение в нуль производной от функции при , т. е.

 

.

(2)

 

Аналогично функция  при постоянном , как функция одного , достигает экстремума при . Значит,

 

(3)

 

Что и требовалось  доказать.

Точка , координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции  , называется стационарной точкой функции .

Уравнение касательной  плоскости к поверхности  :

 

(4)

 

для стационарной точки  принимает вид .

Следовательно, необходимое  условие достижения дифференцируемой функцией экстремума в точке геометрически выражается в том, что касательная плоскость к поверхности – графику функции  в соответствующей ее точке – параллельна плоскости независимых переменных.

Для отыскания стационарных точек функции нужно приравнять нулю обе ее частные производные

 

,

(*)

 

и решить полученную систему  двух уравнений с двумя неизвестными.

Пример. Найдем точки экстремума функции

Приравнивая частные  производные нулю:

 

,

(5)

 

находим одну стационарную точку – начало координат. Здесь A=2, B=0, C= -2. Следовательно, и точка (0, 0) не является точкой экстремума. Уравнение есть уравнение гиперболического параболоида (рисунок 2) по рисунку видно, что точка (0, 0) не является точкой экстремума.

 

 

Рисунок 2

 

Локальные Экстремумы

Определение 1: Говорят, что функция имеет в точке локальный максимум, если существует такая окрестность точки , для которой для всякой точки M с координатами (x, y) выполняется неравенство: . При этом, < 0 (приращение функции меньше нуля).

 

Определение 2: Говорят, что функция имеет в точке локальный минимум, если существует такая окрестность точки , для которой для всякой точки M с координатами (x, y) выполняется неравенство: . При этом, > 0 (приращение функции больше нуля).

 

Определение 3: Точки локальных минимума и максимума называются точками экстремума.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Условный экстремум функции

 

 

При отыскании экстремумов функции  многих переменных часто возникают  задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных.

Пусть заданы функция  и линия L на плоскости 0xy. Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую точку P(x, y), в которой значение функции является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L, находящихся вблизи точки P. Такие точки P называются точками условного экстремума функции на линии L. В отличие от обычной точки экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой ее окрестности, а только в тех, которые лежат на линии L.

Совершенно ясно, что точка обычного экстремума (говорят также безусловного экстремума) является и точкой условного экстремума для любой линии,  проходящей через эту точку. Обратное же, разумеется, неверно: точка условного экстремума может и не быть точкой обычного экстремума. Данное утверждение можно пояснить на примере.

Графиком функции является верхняя полусфера (рисунок 3).

Рисунок 3

Эта функция имеет  максимум в начале координат; ему  соответствует вершина M полусферы. Если линия L есть прямая, проходящая через точки А и В (ее уравнение x+y-1=0), то геометрически ясно, что для точек этой линии наибольшее значение  функции достигается в точке , лежащей посередине между точками А и В. Это и есть точка условного экстремума (максимума) функции на данной линии; ей соответствует точка M₁ на полусфере, и из рисунка видно, что ни о каком обычном экстремуме здесь не может быть речи.

Отметим, что в заключительной части задачи об отыскании наибольшего  и наименьшего значений функции  в замкнутой области нам приходится находить экстремальные значения функции на границе этой области, т.е. на какой-то линии, и тем самым решать задачу на условный экстремум.

Приступим теперь к практическому  отысканию точек условного экстремума функции Z= f(x, y) при условии, что переменные x и y связаны уравнением j(x, y) = 0. Это соотношение будем называть уравнение связи. Если из уравнения связи y можно выразить явно через х: y=j(x), мы получим функцию одной переменной Z= f(x, j(x)) = Ф(х).

Найдя значение х, при которых эта функция достигает экстремума, и определив затем из уравнения связи соответствующие им значения у, мы и получим искомые точки условного экстремума.

Так, в вышеприведенном примере  из уравнения связи x+y-1=0 имеем y=1-х. Отсюда

Легко проверить, что z достигает максимума при х = 0,5; но тогда из уравнения связи y=0,5, и мы получаем как раз точку P, найденную из геометрических соображений.

Очень просто решается задача на условный экстремум и тогда, когда  уравнение связи можно представить  параметрическими уравнениями х=х(t), y=y(t). Подставляя выражения для х и у в данную функцию, снова приходим к задаче отыскания экстремума функции одной переменной.

Если уравнение связи имеет  более сложный вид и нам  не удается ни явно выразить одну переменную через другую, ни заменить его параметрическими уравнениями, то задача отыскания условного экстремума становится более трудной. Будем по-прежнему считать, что в выражении функции z= f(x, y) переменная j(x, y) = 0. Полная производная от функции z= f(x, y) равна:

 

 

где производная y`, найдена по правилу дифференцирования неявной функции. В точках условного экстремума найденная полная производная должна ровняться нулю; это дает одно уравнение, связывающее х и у. Так как они должны удовлетворять еще и уравнению связи, то мы получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными

Преобразуем эту систему к гораздо  более удобной, записав первое уравнение  в виде пропорции и введя новую  вспомогательную неизвестную l:

 

 

Знак минус перед l поставлен для удобства. От этих равенств легко перейти к следующей системе:

 

f`x=(x,y)+lj`x(x,y)=0, f`y(x,y)+lj`y(x,y)=0,

(**)

 

которая вместе с уравнением связи j(x, y) = 0 образует систему трех уравнений с неизвестными х, у и l.

Эти уравнения легче всего запомнить при помощи следующего правила: для того, чтобы найти точки, которые могут быть точками условного экстремума функции Z=f(x, y) при уравнении связи j(x, y) = 0, нужно образовать вспомогательную функцию

Ф(х,у)=f(x,y)+lj(x,y)

Где l – некоторая постоянная, и составить уравнения для отыскания точек экстремума этой функции.

Указанная система уравнений доставляет, как правило, только необходимые условия, т.е. не всякая пара значений х и у, удовлетворяющая этой системе, обязательно является точкой условного экстремума. Описанный прием решения задач на условный экстремум называется методом множителей Лагранжа.

Метод множителей Лагранжа имеет наглядный геометрический смысл.

Предположим, что на рисунке 4 изображены линии уровня функции Z= f(x, y) и линия L, на которой отыскиваются точки условного экстремума.

 

 

Рисунок 4

 

Если в точке Q линия L пересекает линию уровня, то эта точка не может быть точкой условного экстремума т.к. по одну сторону от линии уровня функция Z= f(x, y)  принимает большие значения, а по другую - меньшие.  Если же в точке P линия L не пересекает соответствующую линию уровня и, значит, в некоторой окрестности этой точки лежит по одну сторону от линии уровня, то точка P будет как раз являться точкой

условного экстремума. В  такой точке линия L и линия уровня Z= f(x, y) =С касаются друг друга (предполагается, что линии гладкие). И угловые коэффициенты касательных к ним должны быть равны. Из уравнения связи j(x, y) = 0 имеем

y`=-j`_x/j`<sub>y</sub>, а из уравнения линии уровня y`=-f_x`/f<sub>y</sub>`. Приравнивая производные и произведя простейшее преобразование мы получим уравнение