Уравнения свёрток в пространстве обобщенных функций

Уравнения свёрток в пространстве обобщенных функций _{.Цель работы: Дать определение пространства обобщенных функций . Ввести операцию – свертка в . Дать понятие аналитического представления обобщенных функций из . Объяснить теорию решения уравнения свёрток в и привлечь её к решению конкретных реализаций уравнений свёрток, например, обыкновенных дифференциальных уравнений и других уравнений}. Напомним понятие ассимптотической грани.

Говорят, что T имеет ассимптотическую грань |x|^-1 при х→∞ , т.е. существует такие положительные числа С и R такие, что

Начнем с определения  промежуточного пространства

_, где _{символика Ландау.}

Это промежуточное  пространство между пространством  финитных функций и обобщенных функций также называют пространством пробных функций. 
Д⊂*_α⊂Е

Также *_α называют пространством пробных функций.

Рассмотрим частный случай данного промежуточного пространства при α = -1.

Соответветственно Д⊂*_-1⊂Е.

Теорема (о каноническом вложении дуальных пространств):

Если выполняются следующие  условия:

1. X, Y – 2 топологических дуальных пространства

В дальнейшем в качестве знака «» буду обозначать непрерывное вложение.

 

Тогда

Соответственно Е ‘⊂⊂ Д ‘ , тоже является промежуточным пространством между пространством Е ‘  (Е ‘  - пространство обощенных функций с компактным носителем) и Д ‘ (Д ‘ – пространство обобщенных функций).

Определение:

Говорят, что T имеет ассимптотическую грань |x|^-1 при , т.е. существуют такие положительные числа C и R такие, что : и пишут T=O(|x|^-1).

Тогда на множестве А обобщенных функций из *_-1, имеющих ассимптотическую грань |x|^-1 вводим операцию свертка по формуле:

 

или .

Определение:

Линейное множество А называется алгеброй, если на нем определена операция умножения, линейная относительно каждого множителя в отдельности. Единицей в алгебре является -функция.

Очевидно, множество А, снабженное операцией свертка, является свёрточной алгеброй, ибо А  есть векторное пространство и операция свертка обладает свойствами ассоциативности, коммутативности и является внутренним законом композиции в А.

Определение:

 Д ‘(), А нзв свёрточным модулем на свёрточной алгебре А, если А определено .

Тогда пространство *_-1‘ является свёрточным модулем на сверточной алгебре А, где операция свёртка А и

  определяетсяпо формуле:

 

В свёрточном модуле рассмотрим уравнения свёрток

(1)

где T – заданная обобщенная функция из А, S- заданная обобщенная функция из , а X – искомая обобщенная функция из .

Определение: 

Обобщенная функция E – называется элементарным решением уравнения (1), если , где – мера Дирака.

Элементарное решение  не единственно.

Теорема 1.

Если элементарное решение  Е уравнения (1) принадлежит алгебре А, то оно единственно (даже в ).

Доказательство:

Пусть –другое другое элементарное решение уравнения (1), тогда имеем .

Умножив (сверточно) на Е обе части равенства , получим:

.

Теорема 2.

Пусть Е-элементарное решение уравнения (1), принадлежащее А, тогда решение уравнения (1) при , определяемое по формуле:

 

Доказательство:

Пусть Х’ – другое решение уравнения (1), тогда имеем:

.

Умножив его (свёрточно) на Е, получим:

 и элемент Т обратим в А, т.е. элементарное решение уравнения (1) при

N.B. В случае, когда А, , т.е Е – элемент, обратный (по операции свёртка) для элемента Т.

решение уравнения  в пространстве	(1пр)
Определение:  Д() есть обобщенная функция на , которая называется главным значением по Коши  и обозначается .	(7)

В частности, при =-1, =1, а =, имеем:

(8)

Это хорошо известная формула Л.Шварца.

Имеет место формула:

,

(9)

где для обобщенной функции

Определение:

 Е ^‘;   =,

 

- есть  для обобщенной функции.

 

 Uопределяемое формулой:

,

(10)

а - предельные значения соответственно из .

Формула (9) имеет следующий смысл:

 

 

Чисто символически пишут:

 

Поэтому уравнение свёрток  (1пр) можно интерпретировать как краевое условие:

(2пр)

в случае обобщенной функции  отыскания кусочно-гладкой функции Она определяется по формуле (10), где U определяется формулой (7).

А решение краевой задачи, соответствующий уравнению (1кр):

, исчезающей на бесконечности, имеет вид:

(11)

Где U имеет вид (7). Вставляя (7) в (11) имеем:

 

(12)

Пусть W=.

Т.к. , то W=

Тогда формула (7) даёт единственное представление уравнения

 

U=

А формула (12) даёт решение  краевой задачи (1 пр), исчезающей на бесконечности:

 

Т.к.

То