Уравнение авторегрессии

 

Задание

Текущий период	Государственные расходы, млн.руб.	Реальный объем чистого экспорта, млн.руб.
t	y	x
1	310	211
2	5328	2670
3	49730	27125
4	172380	108810
5	437007	266974
6	558500	375998
7	711600	408797
8	686000	407086
9	1213600	970439
10	2097700	1165181

 

 

1. Постройте уравнение авторегрессии (рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии с двумя факторами x_t и y_t-1:

2. Оцените тесноту связи совместного  влияния факторов x_t и y_t-1 на результат y_t с помощью показателя множественной корреляции R_{yt, xt, yt-1.}, и его квадрата - коэффициента детерминации R²_{yt, xt, yt-1.}

3. Оцените статистическую значимость  уравнения авторегрессии и коэффициента детерминации R²_{yt, xt, yt-1.} с помощью F-критерия Фишера.

4. Оцените с помощью частных F-критериев Фишера F_{xt част} и F_{yt-1 част} статистическую значимость присутствия каждого из факторов x_t и y_t-1 в уравнении.

5. Оцените статистическую значимость коэффициентов линейной авторегрессионной модели b₀ и c₁с помощью t-критерия Стьюдента.

6. Проверьте наличие автокорреляции  в остатках с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона.

7. Постройте уравнение авторегрессии с учетом фактора времени (рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии с тремя факторами x_t , y_t-1 и t):

8. Оцените тесноту связи совместного влияния факторов - x_t , y_t-1 и t на результат y_t с помощью показателя множественной корреляции  R_{yt, xt, yt-1} и его квадрата - коэффициента детерминации R²_{yt, xt, yt-1.}

9. Оцените статистическую значимость  уравнения авторегрессии и коэффициента детерминации R²_{yt, xt, yt-1} с помощью F-критерия Фишера.

10. Оцените с помощью частного F-критерия Фишера F_{t част} статистическую значимость присутствия фактора t в уравнении.

11. Оцените статистическую значимость коэффициента c₂ линейной авторегрессионной модели с помощью t-критерия Стьюдента.

12. Оцените целесообразность включения в модель фактора времени t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

t	yt	xt	yt-1	t	y2t	x2t	y2t-1	t2	yt*xt	yt*yt-1	yt*t	xt*yt-1	xt*t	yt-1*t
1	310	211	0	1	96100	44521	0	1	65410	0	310	0	211	0
2	5328	2670	310	2	28387584	7128900	96100	4	14225760	1651680	10656	827700	5340	620
3	49730	27125	5328	3	2473072900	735765625	28387584	9	1348926250	264961440	149190	144522000	81375	15984
4	172380	108810	49730	4	29714864400	11839616100	2473072900	16	18756667800	8572457400	689520	5411121300	435240	198920
5	437007	266974	172380	5	1,90975E+11	71275116676	29714864400	25	1,1667E+11	75331266660	2185035	46020978120	1334870	861900
6	558500	375998	437007	6	3,11922E+11	1,41374E+11	1,90975E+11	36	2,09995E+11	2,44068E+11	3351000	1,64314E+11	2255988	2622042
7	711600	408797	558500	7	5,06375E+11	1,67115E+11	3,11922E+11	49	2,909E+11	3,97429E+11	4981200	2,28313E+11	2861579	3909500
8	686000	407086	711600	8	4,70596E+11	1,65719E+11	5,06375E+11	64	2,79261E+11	4,88158E+11	5488000	2,89682E+11	3256688	5692800
9	1213600	970439	686000	9	1,47282E+12	9,41752E+11	4,70596E+11	81	1,17772E+12	8,3253E+11	10922400	6,65721E+11	8733951	6174000
10	2097700	1165181	1213600	10	4,40035E+12	1,35765E+12	1,47282E+12	100	2,4442E+12	2,54577E+12	20977000	1,41406E+12	11651810	12136000
∑	5932155	3733291	3834455	55	7,38525E+12	2,85746E+12	2,98491E+12	385	4,53887E+12	4,59212E+12	48754311	2,81367E+12	30617052	31611766
∑/n	593215,5	373329,1	383445,5	5,5	7,38525E+11	2,85746E+11	2,98491E+11	38,5	4,53887E+11	4,59212E+11	4875431,1	2,81367E+11	3061705,2	3161176,6

 

σ2yt=	y2t-y2t=	3,86621E+11
σyt=	√σ2yt=	6,2E+05
σ2xt=	x2t-x2t=	1,46372E+11
σxt=	√σ2xt=	3,8E+05
σ2yt-1=	y2t-1-y2t-1=	1,5E+11
σyt-1=	√σ2yt-1=	3,9E+05
σ2t=	t2-t2=	8,25
σt=	√σ2t=	2,87

 

Вычислим парные коэффициенты корреляции:
ryt,xt=	yt*xt-yt*xt	=	0,98
	σyt*σxt
ryt,yt-1=	yt*yt-1-yt*yt-1	=	0,96
	σyt*σyt-1
ryt,t=	yt*t-yt*t	=	0,90
	σyt*σt
rxt,yt-1=	xt*yt-1-xt*yt-1	=	0,93
	σxt*σyt-1
rxt,t=	xt*t-xt*t	=	0,92
	σxt*σt
ryt-1,t=	yt-1*t-yt-1*t	=	0,94
	σyt-1*σt

 

 

1.Построим линейное уравнение  авторегрессии с двумя факторами x_t и y_t-1:

Для расчета его параметров (a,b₀,c₁) применим метод стандартизации переменных.

Найдем искомое уравнение в  стандартизованном масштабе:

Стандартизованные коэффициенты β₁,β₂ найдем из системы:

Составим расширенную матрицу  и решим систему уравнений  методом Гаусса:

 

от 2 строк  отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 0.93

	1	0,93	0,98
	0	0,1351	0,0486

 

2-ую строку  делим на 0.1351

	1	0,93	0,98
	0	1	486/1351

 

от 1 строк  отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на 0.93

	1	0	872/1351
	0	1	486/1351

 

β₁ =0,645

β₂ =0,360

Проверка найденного решения.

Подставим найденный параметры β_1, β₂ во второе уравнение системы:

Уравнение в стандартизованном  масштабе:

Для построения уравнения в естественной форме вычислим коэффициенты b₀,c₁ и а.

Уравнение в естественной форме:

 

2. Оцените тесноту связи  совместного влияния факторов  x_t и y_t-1 на результат y_t с помощью показателя множественной корреляции R_{yt, xt, yt-1.}, и его квадрата - коэффициента детерминации R²_{yt, xt, yt-1.}

Коэффициент множественной корреляции:

Коэффициент множественной детерменации:

Вывод. Так как

 

 То зависимость y_t от x_t,y_t-1 характеризуется как сильная (тесная), в которой 97,5% государственных расходов (y_t) определяются вариацией учтенных в модели факторов: реальным объемом чистого экспорта (x_t) и государственными расходами с запаздывнием (лагом) на 1 период (y_t-1, τ=1).  Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 2,5% от общей вариации y_t.

 

3. Оценим статистическую  значимость уравнения авторегрессии и коэффициента детерминации R²_{yt, xt, yt-1.} с помощью F-критерия Фишера.

Н₀ – гипотеза о статистической незначимости показателя детерминации

R²y_t, x_t, y_t-1(Fфакт=0) и уравнения регрессии в целом.

 

n – общее число наблюдений (n=10); m – число параметров при независимых переменных  x_t и y_t-1 (m=2).

По таблице значения F-критерия Фишера при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы k₁=m=2, k2=n-m-1=10-2-1=7 находим F_кр. – максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α: F_кр.=4,74.

Так как  , то гипотеза Н₀ отвергается, то есть статистически значим, как линейное уравнение авторегрессии с двумя факторами x_t и y_t-1.

4. Оцените с помощью частных F-критериев Фишера F_{xt част} и F_{yt-1 част} статистическую значимость присутствия каждого из факторов x_t и y_t-1 в уравнении.

Так как  , то гипотеза Н₀ отвергается, то есть приходим к выводу о статистически подтвержденной целесообразности включения фактора x_t после фактора y_t-1.

Так как  , то гипотеза Н₀ принимаетя, то есть приходим к выводу о статистической незначимости прирост за счет включения в модель фактора y_t-1 после фактора x_t.

 

 

5. Оцените статистическую  значимость коэффициентов линейной  авторегрессионной модели  b₀ и c₁ с помощью t-критерия Стьюдента.

 

Н₀ – гипотеза о статистической незначимости коэффициентов (о равенстве их нулю).

По таблице критических точек  распределения Стьюдента, по заданному  уровню значимости  α=0,05 и числу степеней свободы k=n-m-1=10-2-1=7 определяем t_кр. для двухсторонней критической области:  t_кр.=2,3646.

;

Вывод. Так как  , то гипотеза Н₀ отвергается, то есть для уравнения линейной авторегрессии является статистически значимым.

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Проверим наличие автокорреляции  в остатках с помощью d-критерия  Дарбина-Уотсона.

t	yt	xt	yt-1	ýt	εt	ε2t	(εt-εt-1)	(εt-εt-1)2
1	310	211	0	-285	595	354382	0	0
2	5328	2670	310	2350	2978	8866102	2382	5675353
3	49730	27125	5328	29666	20064	402577740	17087	291956684
4	172380	108810	49730	136660	35720	1275932688	15656	245105952
5	437007	266974	172380	364734	72273	5223343165	36553	1336085256
6	558500	375998	437007	624596	-66096	4368640237	-138368	19145811351
7	711600	408797	558500	726646	-15046	226373088	51050	2606101479
8	686000	407086	711600	812202	-126202	15926869083	-111156	12355656336
9	1213600	970439	686000	1360963	-147363	21715765351	-21161	447787921
10	2097700	1165181	1213600	1856437	241263	58207979927	388626	151030167876
∑	5932155	3733291	3834455	5913967	18188	107356701763	240668	187464348209
∑/n	593215,5	373329,1	383445,5	591397	1819	10735670176	24067	18746434821