Теория вероятности и математическая статистика

Вариант 3

1. В мешке имеется пять одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: О, П, Р, С, Т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных «в одну линию» кубиках можно будет прочесть слово «СПОРТ».
2. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 25%, а второй 30%, третий 45% деталей данного типа, поступивших на сборку. Первый автомат допускает 0,1%, второй — 0,2% нестандартных деталей, третий — 0,3%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь оказалась нестандартной.
3. Вероятность брака при изготовлении часов равна 0,0002. С конвейера сошло 500 часов. Найти вероятность того, что среди всех часов, сошедших с конвейера, не более трех бракованных. 

4. Задан закон распределения дискретной случайной величины в виде таблицы, в первой строке таблицы указаны возможные значения случайной величины, во второй - соответствующие вероятности.

X	1	4	6	9	17
Y	0,1	0,1	0,3	0,3	0,2

 Вычислить 1) математическое  ожидание; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение. Начертить график закона распределения.

5. Случайная величина  X задана функцией распределения .

Найти: а) плотность распределения; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина X примет значение, заключенное в интервале ; в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

 

Часть 1

Вариант 7

_{Задача  №1}

 

1. В мешке имеется пять одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: О, П, Р, С, Т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных «в одну линию» кубиках можно будет прочесть слово «СПОРТ»._{Решение:}

 

Правило умножения вероятностей:

Вероятность вынуть один кубик  из пяти =

Вероятность, что первая буква будет С =

Вероятность, что вторая буква будет П = и т.д.

Имеем:

Ответ: Вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных «в одну линию» кубиках можно будет прочесть слово «СПОРТ» равна 0,002 (0,2%).

 

_{Задача  №2}

На сборку поступают  детали с трех автоматов. Первый автомат  дает 25%, а второй 30%, третий 45% деталей данного типа, поступивших на сборку. Первый автомат допускает 0,1%, второй — 0,2% нестандартных деталей, третий — 0,3%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь оказалась нестандартной.

Решение:

Для наглядности представим количества деталей.

10000 деталей всего, нестанд.

1 - 2500, 10

2 - 3000, 2

3 - 4500 3

Р = 15/10000=0,0015

_{Ответ: Вероятность того, что поступившая на сборку деталь оказалась нестандартной равна 0,15%.}

 

_{Задача  №3}

Вероятность брака  при изготовлении часов равна 0,0002. С конвейера сошло 500 часов. Найти  вероятность того, что среди всех часов, сошедших с конвейера, не более трех бракованных.

 

Решение:

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность того, что событие А наступит m раз, приближенно равна

, где  .

Ответ: Вероятность того, что среди всех часов, сошедших с конвейера, не более трех бракованных, равна 0,005 (0,5%).

 

 

Задача  №4

Задан закон распределения  дискретной случайной величины в  виде таблицы, в первой строке таблицы  указаны возможные значения случайной  величины, во второй - соответствующие  вероятности.

X	1	4	6	9	17
Y	0,1	0,1	0,3	0,3	0,2

 Вычислить 1) математическое  ожидание; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение. Начертить график закона распределения.

 

 

1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности:

Математическое ожидание случайной величины – это постоянная величина, которая показывает, какое  значение случайной величины можно  ожидать в среднем при проведении серии опытов.

2. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания.

Сведем данные в таблицу:

X	1	4	6	9	17
Y	0,1	0,1	0,3	0,3	0,2
M(X)	8,4
[M(X)]2	70,56
X2	1,00	16,00	36,00	81,00	289,00
M(X2)	94,60
D(X)	24,04

 

3. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.

4. График распределения – график зависимости Y от X. Он представляет собой ступенчатую линию:

 

 

 

Задача  №5

Случайная величина X задана функцией распределения .

Найти: а) плотность распределения; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина X примет значение, заключенное в интервале ; в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

 

Решение:

1. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).

2. Если известна функция распределения F(x) , то вероятность попадания случайной величины Х в полуоткрытый промежуток [a,b] находится по формуле:

P(a<x<b)=F(b) -  F(a)=

3. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется определенный интеграл

Функция определена на отрезке [0,5], поэтому математическое ожидание:

Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического  вычисления дисперсии используется формула:

 

Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.

 

Часть 2

Задача №63

 

 

Решение:

1. Интервальный статистический ряд распределений частостей :

xi внутренний диаметр гайки        (в мм)	4,00 - 4,20	4,20 - 4,40	4,40 - 4,60	4,60 -4,80	4,80 - 5,00
Частота mi	6	20	46	23	5
Частости mi/n	0,06	0,20	0,46	0,23	0,05
F* (x) (накопленные частости)	0,06	0,26	0,72	0,95	1,00

 

 

2. Для построения гистограммы частостей на оси Ox откладываются частичные интервалы, на каждом из них строится прямоугольник, площадь которого равна частости данного частичного интервала. Если частости отнести к серединам частичных интервалов, то полученная замкнутая линия образует полигон частостей. На рисунке 1 изображена гистограмма и полигон частостей.

 

Рисунок 1

 

 

Значения эмпирической функции  распределения выписаны в последней  строке статистического ряда распределения  частостей. Запишем значения эмпирической функции распределения в аналитическом виде:

Найдем функцию распределения F^* ( x_i ) , по следующей схеме:  
F^* ( x₁ ) = F₁^* = 0.06 
F^* ( x₂ ) = F₁^* + F₂^* = 0.06 +0.2 = 0.26 
F^* ( x₃ ) = F₁^* +F₂^* + F₃^* = 0.06 +0.2 + 0,46 = 0,72 
F^* ( x₄ ) = F₁^* +F₂^* + ... + F₄^* = 0.06 +0.2 + 0,46 + 0.23 = 0,95 
F^* ( x₅ ) = F₁^* +F₂^* + ... + F₅^* = 0.06 +0.2 + 0,46 + 0.23 +0,05= 1,00 

Тогда эмпирическая функция  распределения признака Х имеет  вид:

     

 

Построим график эмпирической функции распределения:

 

 

3. Средние величины.

Найдем среднюю арифметическую по формуле и центральныe моментs порядка k (k = 2, 3, 4). Результаты сведем в таблицу:

 

Дисперсия:   Среднее квадратическое отклонение:   Коэффициент ассиметрии:   Коэффициент эксцесса

 

Для предварительного выбора закона распределения вычислим вначале  средние квадратические ошибки определения асимметрии

и эксцесса

Из приведенных расчетов видно, что выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса Э отличаются от нуля не более чем на удвоенные средние квадратические ошибки их определения, что соответствует нормальному распределению. Вид полигона и гистограммы частостей также напоминает нормальную кривую (кривую Гаусса).

Плотность вероятности нормального  распределения имеет вид

Найдём точечные оценки параметров a и σ нормального распределения методом моментов:

Следовательно, плотность  вероятности предполагаемого нормального  распределения имеет вид

Функция распределения предполагаемого  нормального распределения имеет  вид

Используя нормированную  функцию Лапласа  , функцию нормального распределения можно записать в виде

Проведем проверку гипотезы о нормальном распределении  Х  с помощью критерия согласия для этого интервалы наблюдаемых значений нормируют, т.е. выражают их в единицах среднего квадратического отклонения s: , причем наименьшее значение полагают равным , наибольшее . Далее вычисляют вероятности попадания СВ Х, имеющей нормальное распределение, с параметрами а = 4,5, σ = 0,19 в частичные интервалы (х_i-1; х_i) по формуле

,

где

.

Например, вероятность того, что  Х) попадает в первый частичный  интервал ( ;4,20) , равна

После этого вычисляют  теоретические (модельные) частоты  нормального распределения  и наблюдаемое значение критерия

 

Затем по таблицам квантилей  распределения  по уровню значимости q = 0,05 и числу степеней свободы ‚ (k — число интервалов; r — число параметров предполагаемого распределения Х) находят критическое значение .

Если  , то считают, что нет оснований для отклонения гипотезы о нормальном распределении.

В противном случае, т. е. если , считается, что гипотеза нормального распределения не согласуется с экспериментальными данными.

Вычисления, необходимые  для определения наблюдаемого значения выборочной статистики приведем в таблице:

 

Так как  _, делаем вывод, что нет оснований для отклонения гипотезы о нормальном распределении.

Проверим гипотезу нормального  распределения с помощью критерия Колмогорова.

Расчеты сведем в таблицу:

 

Просматривая последний  столбец, замечаем, что наибольший модуль разности между эмпирической и теоретической  функциями распределения равен:

Вычислим наблюдаемое  значение выборочной статистики λ Колмогорова:

Примем уровень значимости α = 0,05.

По таблицам квантилей  распределения Колмогорова находим  критическое значение     λ_0,05 = 1,358