Теория вероятностей. Случайные события

Министерство  образования и науки Республики Казахстан

Южно-Казахстанский  государственный университет им. М. Ауэзова

Факультет  «Информационных  технологий»

Кафедра «Энергетики и нетрадиционных энергетических систем»

 

 

 

 

ЭССЕ

Тема: «Теория вероятностей. Случайные события»

 

 

 

Подготовил: Лим А.

Группа: ИП-11-4р

Принял: Гавриков В.В.

 

 

 

 

 

 

 

Шымкент, 2013г.                      

Теория вероятностей. Случайные события.

Теория вероятностей — это математическая наука, изучающая закономерности случайных событий, случайных величин и случайных функций.

Каждое событие, происходящее в окружающем мире, является результатом  воздействия большого числа других событий, влияющих на возможность возникновения данного события. Случайным событием называется событие, которое может в данных конкретных условиях или произойти, или не произойти. В отличие от этого достоверным называется событие, которое обязательно произойдет, а невозможным—событие, которое не может произойти.

Устойчивость относительной  частоты возникновения случайного события при значительном числе  наблюденных случаев (испытаний) дает основание считать, что та величина, около которой колеблется относительная частота, характеризует объективную возможность осуществления данного случайного события. Эта величина в теории вероятностей называется вероятностью события. Таким образом, закономерность случайного события, определяемая его вероятностью, проявляется при достаточно большом числе наблюдений или испытаний, т. е. на основе анализа большого статистического материала.

Случайной величиной называется величина, принимающая в результате опыта то или иное значение; это значение неизвестно заранее. Между случайной величиной и случайным событием существует тесная связь. Если каждому случайному событию можно поставить в соответствие какую-либо величину, то появлению того или иного случайного события соответствует та или иная случайная величина. В качестве случайной величины можно принять и число однородных случайных событий за определенный промежуток времени.

Случайной функцией называется величина, изменяющаяся при изменении  аргумента   случайным образом.   В  отличие  от  обычной (неслучайной) функции, имеющей определенные значения при определенном значении аргумента, случайная функция при заданном значении аргумента является случайной величиной, т. е. может иметь различные значения с различной их вероятностью.

Если аргументом случайной  функции, как это в большинстве  практических приложений имеет место, является время, то такая случайная функция называется случайным процессом.

В каждом отдельном опыте  случайная функция имеет некоторое  конкретное значение. Случайная функция  в каждом отдельном опыте представляется некоторой конкретной функцией аргумента - неслучайной. Эта конкретная функция называется реализацией случайной функции в данном опыте. Реализацией случайного процесса в данном опыте называется, очевидно, некоторая конкретная функция времени, наблюденная в данном опыте.

 

Случайные события

Различные связи случайных  событий и их символическое изображение:

1)  АВ. Событие А содержится в В, т. е. если событие А происходит, то обязательно происходит и событие В;

2)  А = В. Событие А происходит, если происходит В, и наоборот, Это условие эквивалентно двум условиям: АВ и ВА;

3)  АВ. События А и В происходят одновременно;

4)  А + В. Происходит .или событие А, или событие В, или оба одновременно (происходит хотя бы одно из событий А и В);

5)   А—В. Событие А происходит, но при этом событие В не происходит;                                                                                     

6)  А—событие противоположное А. Если А происходит, то А не происходит, и наоборот. При этом А+ =U, т. е. одно из событий А и обязательно происходит. Кроме того, А*=V, т. е. одновременно А и не могут происходить;

7)  АВ = V. События А и В несовместимы, т. е. одновременно произойти не могут. Отличие несовместимых событий от противоположных  в том, что несовместимые  события могут не происходить;

8)   А=В1 + В2 + В3  и В₁В2 = В₁В_г = В2 В 3 = V. Событие А подразделяется на частные случаи: В₁ В2 и В₃, которые попарно несовместимы. Событие А может не происходить вообще;

9)   В1 + В₂ + В₃ =U и В₁В_г = В₁В3 = В₂В3=V. Полная группа несовместимых событий. Одно из них обязательно происходит (в отличие от п. 8).

Для  независимых  случайных  событий  законы вероятности сложных событий  могут сформулированы следующим образом:

1)  вероятность возникновения  хотя бы одного из двух случайных независимых и несовместимых событий Л и В равна сумме вероятностей этих событий. Возникновение одного из двух случайных событий   А  н  В символически обозначается их суммой А + В:

Р(А + В) = Р(А)+Р{В);                             (1)

2)  вероятность возникновения  хотя бы одного из двух независимых и совместимых случайных событий Л и В может быть записана как

Р (А + В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ);                     (2)

3)  вероятность одновременного  возникновения двух несовместимых, событий Л и В равна нулю. Одновременное возникновение двух событий А к В символически обозначается их произведением Ли. В данном случае

Р(АВ) = 0;                                         (3)

4)  вероятность одновременного  возникновения двух независимых  и совместимых событий равна  произведению их вероятностей:

Р(АВ) = Р(А)Р(В);                                 (4)

* Вероятность  рабочего  состояния будет сокращенно обозначаться  через р, а вероятность аварийного состояния—через q.

5) сумма вероятностей  противоположных событий равна  единице. Событие, противоположное данному событию А, всегда происходит, если не происходит событие А, н всегда не происходит, если событие происходит, т, е.

Р) + Р(А)=1,                                 (5)

Вероятность противоположного события

Р()=1-Р(А),                                   (6)