Теория Игр: Матричные Игры
Курсовая работа, 19 Апреля 2013, автор: пользователь скрыл имя
Краткое описание
Теория игр — это математическая теория конфликтных ситуаций, т.е. таких ситуаций, в которых сталкиваются интересы двух или более сторон, преследующих различные цели.
Игра — это конфликтная ситуация, регламентированная определенными правилами, в
которых должны быть указаны:
• возможные варианты действий участников
• количественный результат игры или платеж (выигрыш, проигрыш), к которому при-
водит данная совокупность ходов
• объем информации каждой стороны о поведении другой.
Парная игра — игра в которой участвуют только две стороны (два игрока).
Парная игра c нулевой суммой — парная игра, в которой сумма платежей равна нулю,
т.е. проигрыш одного игрока равен выигрышу второго.
В зависимости от отношения каждого из игроков к значению функции выигрыша парные
игры подразделяются:
• Парная игра c нулевой суммой (антагонистическая) — парная игра, в которой сум-
ма платежей равна нулю, т.е. проигрыш одного игрока равен выигрышу второго.
• Неантагонистическая игра — парная игра,в которой игроки преследуют разные,
но не прямо противоположные цели.
2
Содержание
Общие сведения 2
1.1 Игры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Ходы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Стратегии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Матричная игра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Следовая точка. Чистые стратегии 7
2.1 Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Пример 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Пример 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Смешанные стратегии 9
3.1 Игра 2×2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.1 Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Пример 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Пример 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.2 Геометрическая интерпретация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Игры 2×n и m×2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Пример 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1
Прикрепленные файлы: 1 файл
nikitin_i_k_metodichka_po_teorii_igr_matrichnye_igry.pdf
— 203.99 Кб (Скачать документ)| Page 1 |
1 Общие сведения
2
1.1 Игры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2 Ходы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3 Стратегии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4 Матричная игра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2 Следовая точка. Чистые стратегии
7
2.1 Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Пример 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Пример 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3 Смешанные стратегии
9
3.1 Игра 2×2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.1 Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Пример 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Пример 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.2 Геометрическая интерпретация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Игры 2×n и m×2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Пример 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1
| Page 2 |
1. Общие сведения из теории игр
1.1. Игры
Теория игр — это математическая теория конфликтных ситуаций, т.е. таких ситуаций, в
которых сталкиваются интересы двух или более сторон, преследующих различные цели.
Игра — это конфликтная ситуация, регламентированная определенными правилами, в
которых должны быть указаны:
• возможные варианты действий участников
• количественный результат игры или платеж (выигрыш, проигрыш), к которому при-
водит данная совокупность ходов
• объем информации каждой стороны о поведении другой.
Парная игра — игра в которой участвуют только две стороны (два игрока).
Парная игра c нулевой суммой — парная игра, в которой сумма платежей равна нулю,
т.е. проигрыш одного игрока равен выигрышу второго.
В зависимости от отношения каждого из игроков к значению функции выигрыша парные
игры подразделяются:
• Парная игра c нулевой суммой (антагонистическая) — парнаяигра,вкоторойсум-
ма платежей равна нулю, т.е. проигрыш одного игрока равен выигрышу второго.
• Неантагонистическая игра — парная игра,в которой игроки преследуют разные,
но не прямо противоположные цели.
2
| Page 3 |
1.2. Ходы
Ход —
• выбор одного из предусмотренных правилами игры действий
• осуществление этого выбора
Ходы бывают двух типов:
• Личный ход —
+ сознательный выбор одного из предусмотренных правилами игры действий
+ осуществление этого выбора
• Случайный ход — Случайным ходом называется выбор из ряда возможностей,
осуществляемый не решением игрока, а каким-либо механизмом случайного вы-
бора.
Ниже рассматриваются парные игры с нулевой суммой, содержащие только личные ходы.
У каждой стороны отсутствует информация о поведении другой.
3
| Page 4 |
1.3. Стратегии
Стратегия игрока — совокупность правил, определяющих выбор действий при каждом
личном ходе этого игрока в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры.
В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на конечные и бесконечные.
• Бесконечная игра — игра, в которой хотя бы у одного одного из игроков имеется
бесконечное число стратегий.
• Конечная игра —игра,
стратегий. Число последовательных ходов у любого из игроков определяет под-
разделение игр на одноходовые и многоходовые, или позиционные.
+ В одноходовой игре каждый игрок делает только один выбор из возможных
вариантов и после этого устанавливает исход игры.
+ Многоходовая, или позиционная , игра развивается во времени, представляя
собой ряд последовательных этапов, каждый из которых наступает после хода
одного из игроков и соответствующего изменения обстановки.
В одноходовой игре каждый игрок делает только один выбор из возможных вариантов и
после этого устанавливает исход игры.
Оптимальная стратегия игрока — стратегия, которая при многократном повторении иг-
ры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш (или, что то
же, минимально возможный средний проигрыш).
о разумном поведении игроков. Просчеты и ошибки игроков, неизбежные в
каждой конфликтной ситуации, а также элементы азарта и риска в теории игр
не учитываются.
4
| Page 5 |
1.4. Матричная игра
Матричная игра — одноходовая конечная игра с нулевой суммой.Матричная игра явля-
ется теоретико-игровой моделью конфликтной ситуации, в которой противники для до-
стижения диаметрально противоположных целей делают по одному выбору (ходу) из ко-
нечного числа возможных способов действий.В соответствии с выбранными способами
действий (стратегиями) определяется достигаемый результат. Рассмотрим на примере.
Пусть имеются два игрока A и B, один из которых может выбрать i-ю стратегию из m
своих возможных стратегий A
1
,A
2
,...A
m
, а второй выбирает j-ю стратегию из своих воз-
можных стратегий B
1
,B
2
,...B
m
. В результате первый игрок выигрывает величину a
ij
, а
второй проигрывает эту величину. Из чисел a
ij
, составим матрицу
A = (a
ij
) =
a
11
a
11
··· a
1n
a
21
a
22
··· a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
··· a
mn
Матрица A = (a
ij
),i = 1,m,j = 1,n называется платежной матрицей или матрицей
игры m × n.
В этой матрице строки всегда для стратегий выигрывающего (максимизирующего) иг-
рока A, то есть игрока, который стремится к максимизации своего выигрыша. Столбцы
отводятся для стратегий проигрывающего игрока B, то есть игрока, который стремится
к минимизации критерия эффективности.
Нормализация игры — процесс сведения позиционной игры к матричной
игре Игрой в нормальной форме — позиционная игра, сведенная к матрич-
нойигре Напомним,что,
игровой моделью конфликтной ситуации, в которой противники для дости-
жения своих целей последовательно делают по одному выбору (ходу) из ко-
нечного числа возможных способов действий на каждом этапе развития этой
ситуации.
ны игры
Цена игры — ожидаемый выигрыш (проигрыш) игроков.
Решение игры может быть найдено либо в чистых стратегиях — когда игрок должен
следовать одной единственной стратегии, либо в смешанных , когда игрок должен c
определенными вероятностями применять две чистые стратегии или более. Последние в
этом случае называются активными .
5
| Page 6 |
Смешанная стратегия одного игрока — вектор, каждая из компонент которого показы-
вает частоту использования игроком соответствующей чистой стратегии.
Максимин или нижняя цена игры — число
α = max
i
min
j
a
ij
Максиминная стратегия (строка) — стратегия, которую выбрал игрок, чтобы максими-
зировать свой минимальный выигрыш.
Очевидно, что при выборе наиболее осторожной максиминной стратегии игрок A обеспе-
чивает себе (независимо от поведения противника) гарантированный выигрыш не менее
α.
Максимин или верхняя цена игры — число
β = min
j
max
i
a
ij
Минимаксная стратегия (столбец) — стратегия, которую выбрал игрок, чтобы миними-
зировать свой максимальный проигрыш.
Очевидно, что при выборе наиболее осторожной минимаксной стратегии игрок B не дает
возможности ни при каких обстоятельствах игроку A выиграть больше, чем β.
Нижняя цена игры всегда не превосходит верхней цены игры
α = max
i
min
j
a
ij
⩽ min
j
max
i
a
ij
= β
Теоремма 1 (основная теорема теории матричных игр). Каждая конечная игра имеет по
крайней мере одно решение, возможно, в области смешанных стратегий.
6
| Page 7 |
2. Игры с седловой точкой. Решение в чистых стратегиях
Игра с седловой точкой — игра, для которой
α = max
i
min
j
a
ij
= min
j
max
i
a
ij
= β
Для игр с седловой точкой нахождение решения состоит в выборе максиминной и мини-
макcной стратегий, которые являются оптимальными.,
Чистая цена игры — общее значение нижней и верхней цены игры
α = β = ν
2.1. Примеры
Пример 1
Найти решение в чистых стратегиях игры, заданной матрицей
A =
8 4 7
6 5 9
7 7 8
Решение: определим верхнюю и нижнюю цену игры. Для этого найдем минимальное из
чисел a
ij
в i-й строке
α
i
= min
j
a
ij
и максимальное из чисел a
ij
в j-м столбце
β
j
= max
i
a
ij
Числа α
i
(минимумы строк) выпишем рядом с платежной матрицей справа в виде доба-
вочного столбца. Числа β
i
(максимумы столбцов) выпишем под матрицей в виде доба-
вочной строки:
α
i
8 4 7 4
6 5 9 5
7 7 8 7
β
j
8 7 9
7
| Page 8 |
Находим максимальное из чисел α
i
α = max
i
α
i
= 7
и минимальное из чисел β
j
β = min
j
β
j
= 7
α = β — игра имеет седловую точку. Оптимальной стратегией для игрока является стра-
тегия A
3
, а для игрока B — стратегия B
2
, чистая цена игры ν = 7
Пример 2
Задана платежная матрица:
A =
2 2 1 1 2
0 1 1 1 1
1 1 1 1 2
1 2 1 1 2
Найти решение игры в чистых стратегиях.
Решение:
2 2 1 1 2 1
0 1 1 1 1 0
1 1 1 1 2 1
1 2 1 1 2 1
β
j
2 2 1 1 2
α = β = 1. Игра имеет шесть седловых точек. Оптимальными стратегиями будут:
• A
1
и B
3
или B
4
• A
3
и B
3
или B
4
• A
4
и B
3
или B
4
8
| Page 9 |
3. Решение игры в смешанных стратегиях
При α ̸= β. случае, когда при выборе своих стратегий оба игрока не имеют информации
о выборе другого, игра имеет решение в смешанных стратегиях.
• S
A
= (p
1
,p
2
,...,p
m
)—смешаннаястратегияигрокаA,
,A
2
,...,A
m
применяются о вероятностями
p
1
,p
2
,...,p
m
,
m
∑
i=1
p
i
= 1, p
i
⩾ 0,i = 1,m
• S
B
= (q
1
,q
2
,...,q
n
)—смешаннаястратегияигрокаB ,вкоторойстратегииB
1
,B
2
,...,B
m
применяются о вероятностями
q
1
,q
2
,...,q
m
,
n
∑
i=1
q
i
= 1, q
i
⩾ 0,i = 1,n
Если:
• S
∗
A
— оптимальная стратегия игрока A ,
• S
∗
B
— - оптимальная стратегия игрока B ,
то цена игры —
ν =
n
∑
j=1
m
∑
i=1
a
ij
· p
∗
i
· q
∗
i
Следующая теорема дает ответ на вопрос, как найти решение для игр 2 × 2, 2 × n, m × 2
Теоремма 2 (как найти решение для игр 2 × 2, 2 × n, m × 2 ). Если один из игроков
применяет оптимальную смешанную стратегию, то его выигрыш равен цене игры ν вне
зависимости от того, с какими вероятностями будет применять второй игрок стра-
тегии, вошедшие в оптимальную (в том числе и чистые стратегии).
9
| Page 10 |
3.1. Игра 2 × 2
Рассмотрим игру 2 × 2 о матрицей:
(
a
11
a
21
a
21
a
22
)
Пусть игра не имеет решения в чистых стратегиях. Найдем оптимальные стратегии S
∗
A
и
S
∗
B
. Сначала определим стратегию S
∗
A
= (p
∗
1
,p
∗
2
). Согласно теореме, если сторона A бу-
дет придерживаться стратегии ν, то независимо от образа действий стороны B выигрыш
будет оставаться равным цене игры ν. Следовательно, если сторона A придерживается
оптимальной стратегии S
∗
A
= (p
∗
1
,p
∗
2
), то сторона B может, не меняя выигрыша, приме-
нять любую из своих стратегий. Тогда при применении игроком B чистой стратегии B
1
или B
2
игроке получит средний выигрыш равный цене игры:
a
11
p
∗
1
+ a
21
p
∗
2
= ν ← при стратегии B
1
a
12
p
∗
1
+ a
22
p
∗
2
= ν ← при стратегии B
2
Принимая во внимание, что p
∗
1
+ p
∗
2
= 1:
p
∗
1
=
a
2
2−a
2
1
a
11
+a
22
−a
12
−a
21
p
∗
2
=
a
1
1−a
1
2
a
11
+a
22
−a
12
−a
21
Цена игры:
ν =
a
22
a
11
− a
12
a
21
a
11
+ a
22
− a
12
− a
21
Аналогично находится оптимальная стратегия игрока B: S
∗
B
= (q
∗
1
,q
∗
2
).
Принимая во внимание, что q
∗
1
+ q
∗
2
= 1:
q
∗
1
=
a
2
2−a
1
2
a
11
+a
22
−a
12
−a
21
q
∗
2
=
a
1
1−a
2
1
a
11
+a
22
−a
12
−a
21
3.1.1. Примеры
Пример 3
Найти решение игры c матрицей
A =
(
−1 1
1 −1
)
10
| Page 11 |
Решение: игра не имеет седловой точки, так как α= -1, β = 1, α ̸= β. Ищем решение в
смешанных стратегиях. По формулам для p
∗
и q
∗
получаем p
∗
1
= p
∗
2
= 0.5 и q
∗
1
= q
∗
2
= 0.5,
ν = 0 Таким образом,
S
∗
A
= (0.5, 0.5)
S
∗
B
= (0.5, 0.5)
Пример 4
Найти решение игры c матрицей
A =
(
2 5
6 4
)
Решение: игра не имеет седловой точки, так как α= 4, β = 5, α ̸= β. Ищем решение в
смешанных стратегиях. По формулам для p
∗
и q
∗
получаем p
∗
1
= 0.4, p
∗
2
= 0.6 и q
∗
1
= 0.2
q
∗
2
= 0.8, ν = 4.4 Таким образом,
S
∗
A
= (0.4, 0.6)
S
∗
B
= (0.2, 0.8)
11
| Page 12 |
3.1.2. Геометрическая интерпретация
Игре 2 × 2 можно дать простую геометрическую интерпретацию. Возьмем единичный
участок оси абсцисс, каждой точке которого поставим в соответствие некоторую сме-
шанную стратегию S = (p
1
,p
2
) = (p
1
, 1 − p
1
) причем вероятность p
1
стратегии A
1
будет
равна расстоянию от точки S
A
до правого конца участка, а вероятность p
2
, стратегии A
2
— расстоянию до левого конца.
.
.y
.x
.P
∗
2
.S
∗
A
.P
∗
1
.B
1
.B
′
1
.a
11
.a
21
.N
.I
.I
.II
.II
В частности, левый конец участка (точка с абсциссой = 0) отвечает стратегии A
1
, правый
конец участка (x = 1) — стратегии A
2
На концах участка восстанавливаются два перпендикуляра к оси абсцисс:
• ось I − I — откладывается выигрыш при стратегии A
1
• ось II − II — откладывается выигрыш при стратегии A
2
Пусть игрок B применяет стратегию B
1
; она дает на осях I − I и II − II соответственно
точки с ординатами a
11
и a
21
. Проводим через эти точки прямую B
1
− B
′
1
. При любой
смешанной стратегии S
A
= (p
1
,p
2
) выигрыш игрока определяется точкой N на прямой
B
1
−B
′
1
, соответствующей точке S
A
на оси абсцисс, делящей отрезок в отношении p
2
: p
1
.
Очевидно, точно таким же способом может быть построена и прямая B
2
− B
′
2
, определя-
ющая выигрыш при стратегии B
2
.
12
| Page 13 |
.
.y
.x
.P
∗
2
.S
∗
A
.P
∗
1
.B
2
.B
′
2
.a
21
.a
22
.N
.I
.I
.II
.II
Необходимо найти оптимальную стратегию S
∗
A
, т.е. такую, при которой минимальный
выигрыш игрока A (при наихудшем для него поведении игрока B ) обращался бы в мак-
симум. Для этого строиться нижняя граница выигрыша игрока A при стратегиях B
1
,B
2
,
т.е. ломаная B
1
NB
′
2
;. На этой границе будет лежать минимальный выигрыш игрока A при
любой его смешанной стратегии, точка N, в которой этот выигрыш достигает максимума
и определяет решение и цену игры.
.
.y
.x
.P
∗
2
.S
∗
A
.P
∗
1
.B
2
.B
′
2
.B
1
.B
′
1
.N
.I
.I
.II
.II
Ордината точки N есть не что иное, как цена игры ν, ее абсцисса равна
∗
2
, а расстояние
до правого конца отрезка равно
∗
1
, т.е. расстояние от точки S
∗
A
до концов отрезка равны
вероятностям
∗
2
и
∗
1
стратегий A
2
и A
1
оптимальной смешанной стратегии игрока A. в
данном случае решение игры определялось точкой пересечения стратегий B
1
и B
2
.
Ниже показан случай, когда оптимальной стратегией игрока является чистая стратегия
A
2
. Здесь стратегия A
2
(при любой стратегии противника) выгоднее стратегии A
1
,
13
| Page 14 |
.
.y
.x
.P
∗
2
.B
2
.B
′
2
.B
1
.B
′
1
.ν = a
21
.I
.I
.II
.II
.S
∗
A
= A
2
.
.y
.x
.P
∗
2
.B
2
.B
′
2
.B
1
.B
′
1
.ν = a
21
.I
.I
.II
.II
.S
∗
A
= A
2
Правее показан случай, когда заведомо невыгодная стратегия имеется у игрока B. Гео-
метрическая интерпретация дает возможность наглядно изобразить также нижнюю цену
игры α и верхнюю β
.
.y
.x
.P
∗
2
.S
∗
A
.P
∗
1
.B
2
.B
′
2
.B
1
.B
′
1
.N
.α = a
22
.β = a
21
.I
.I
.II
.II
На том же графике можно дать и геометрическую интерпретацию оптимальных страте-
гий игрока B . Нетрудно убедиться, что доля q
∗
1
стратегии B
1
оптимальной смешанной
стратегии S
∗
B
= (q
∗
1
,q
∗
2
) равна отношению длины, отрезка KB
2
к сумме длин отрезков
KB
1
и KB
2
на оси I − I:
.
.y
.x
.P
∗
2
.S
∗
A
.P
∗
1
.B
2
.B
′
2
.B
1
.B
′
1
.K
.L
.N
.I
.I
.II
.II
14
| Page 15 |
q
∗
1
=
KB
2
KB
2
+ KB
1
или
q
∗
1
=
LB
′
2
LB
′
2
+ LB
′
1
Оптимальную стратегию S
∗
B
= (q
∗
1
,q
∗
2
) можно найти и другим способом, если поменять
местами игроков B и B, а вместо максимума нижней границы выигрыша рассмотреть
минимум верхней границы.
.
.y
.x
.q
∗
2
.S
∗
B
.q
∗
1
.A
2
.A
′
2
.A
1
.A
′
1
.N
.I
.I
.II
.II
15
| Page 16 |
3.2. Игры 2 × n и m × 2
Решение игр 2 × n и m × 2 основывается на следующей теореме.
Теоремма 3. У любой конечной игры m × n существует решение, в котором число ак-
тивных стратегий каждой стороны не превосходит наименьшего из чис->ел m и n.
Согласно этой теореме у игры 2 × n всегда имеется решение, в котором каждый игрок
имеет не более двух активных стратегий. Стоит только найти эти стратегии, и игра 2 × n
превращается в игру 2 × 2, которая решается элементарно. Нахождение активных стра-
тегий может выполняться графическим способом:
1) строится графическая интерпретация;
2) определяется нижняя граница выигрыша;
3) выделяются на нижней границе выигрыша две стратегии второго игрока, которым
соответствуют две прямые, пересекающиеся в точке с максимальной ординатой (ес-
ли в ней пересекаются более двух прямых, берется любая пара) — эти стратегий
представляют собой активные стратегии игрока B.
Таким образом, игра 2 × n сведена к игре 2 × 2.
Также может быть решена игра m×2, с той разницей, что строится не нижняя, а верхняя
граница выигрыша и на ней ищется не максимум, а минимум.
Пример 5
Найти решение игры
A =
(
7 9 8
10 6 9
)
Решение: используя геометрический метод, выделяем активные стратегии. Прямые B
1
−
B
′
1
, B
2
− B
′
2
и B
3
− B
′
3
соответствуют стратегиям B
1
, B
2
, B
3
. Ломаная B
1
NB
2
— нижняя
граница выигрыша игрока . Игра имеет решение S∗
A
= (
2
3
,
1
3
); S∗
B
= (0.5;0.5;0); v = 8.
16
| Page 17 |
.
.y
.x
.P
∗
2
.S
∗
A
.P
∗
1
.B
1
.B
′
1
.B
2
.B
′
2
.B
3
.B
′
3
.N
.I
.I
.II
.II
17
| Page 18 |
Предметный указатель
игра, 2
2 × 2, 10
2 × 2, 9
геометрия, 12
примеры, 10
2 × n, 9, 16
m × 2, 9, 16
бесконечная, 4
в нормальной форме, 5
конечная, 4
многоходовая, 4
одноходовая, 4
матричная, 5
парная, 2
c нулевой суммой, 2
антагонистическая, 2
неантагонистическая, 2
решение, 5
в смешанных стратегиях, 5, 9
в чистых стратегиях, 5
с седловой точкой, 7
цена, 5
верхняя, 6
нижняя, 6
чистая, 7
максимин, 6
матрица
игры, 5
платежная, 5
минимакс, 6
нормализация игры, 5
стратегия, 4
максиминная, 6
минимаксная, 6
оптимальная, 4
смешанная, 5
теория игр, 2
ход, 3
личный, 3
случайный, 3
чистая цена игры, 7
18