Теоретические основы математики

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 28 Ноября 2013 в 21:25, контрольная работа

Краткое описание

Понятие дроби и положительного рационального числа (ПРЧ).
Умножение и деление ПРЧ.
Мн-во ПРЧ как расширение мн-ва нат чисел. 1 докажем, что N Q+
Сложение и вычитание положительных рациональных чисел.
Решение задач на нахождение части числа.

Прикрепленные файлы: 1 файл

том.docx

— 25.97 Кб (Скачать документ)

Понятие дроби и положительного рационального числа (ПРЧ).  
Пусть требуется измерить отрезок а единичным отрезком е.  
Отрезок е укладывается в отрезке а три раза и часть отрезка остается длина отрезка а может быть выражена натуральным числом. . Разделим отрезок е на 4 равные части. Измерим отрезок а отрезком е1 . а=13е1 = е. называется дробью. Пусть даны отрезок а и единичный отрезок е, причем отрезок е является суммой отрезков равных е1 . Если отрезок а состоит из m отрезков, равных е1 , то его длина может быть представлена в виде . Символ называется дробью ( m и n – натуральные числа). Знаменатель дроби m показывает, на сколько равных частей разделили отрезок е. Числитель дроби n показывает, сколько таких частей взяли. Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему. Дроби, выражающие длину одного и того же отрезка и единицы длины е называют равными дробями. Дроби, которые выражают длину одного и того же отрезка равны, т.к. длина отрезка представляется одним числом; поэтому считают, что равные дроби это различные записи одного и того же ПРЧ. ПРЧ - называется класс дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть запись данного числа. Мн-во ПРЧ обозначают Q+ . Если ПРЧ а представлено , а ПРЧ в , то а=в тогда и только тогда, когда mq=np. Основное свойство дробей. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и тоже число, то получим дробь разную данной. Если числитель и знаменатель дроби взаимно простые числа, то дробь называют несократимой. 

Умножение и деление ПРЧ. Если ПРЧ а представлено , а ПРЧ в , то произведение ПРЧ а и в представлено .  ав= , если а=,а в= . Законы умножения. Переместительный закон умножения: а∙b=b∙а. Сочетательный закон умножения: (а∙b)∙с=а∙(b∙с) Распределительный закон: а∙(b±с)=а∙b±а∙с. Частным двух чисел ПРЧ называется такое число с, для которого выполняется равенство а:в=с ↔а=вс. Пусть а=,а в= , покажем, что с= . Проверим равенство а=вс.  а=вс = * = = = . Чтобы выполнить деление двух дробей нужно первую дробь умножить на дробь обратную данной. Правило деления: (a · b) : c = a · (b : c) = (a : c) · b - деления произведения на число; (a + b) : c = a : c + b : c - деление суммы на число; (a - b) : c = a : c - b : c - деление разности на число; a : (b ·c) = (a: b) :c = (a : c) : b - деление числа на произведение.

Мн-во ПРЧ как расширение мн-ва нат  чисел. 1 докажем, что N   Q
Измерим отрезок а отрезком е и получим а=2е. Разобьем отрезок е на 2ч. Измерим отрезок а отрезком е1. а= . Т.к. мы измерили один и тот же отрезок, то длина его выражена равными числами. Получим, что 2= . Таким образом, 2 мы представили в виде дроби .  
2= N   Q+. Числа, которые дополняют мн-во нат чисел до мн-ва ПРЧ называют дробными. 2. Покажем, что на мн-ве Q+ выполняется операция, которая не выполняется на мн-ве N. Покажем, что деление на Q+ выполнимо всегда: m, n – нат числа; m:n= : = что знак : и черта дроби – это одно и то же. Десятичной называется дробь вида m/10n, где m и n нат числа. Десятичная дробь имеет особую запись. Напр.: = 0,7; = 0,013.

Сложение и вычитание  положительных рациональных чисел. Если положительное рациональное число а представлено дробью , а положительное рациональное число в представлено дробью то их суммой называется число а+в представлено дробью .  Закрасим разными цветами этого прямоугольника. синим. А вместе: += 
+ = .  - =    → . - =  
Опр: разностью ПРЧ а и в называется такое число с, которое удовлетворяет условию: а-в=с<->а=в+с. Теорема о существовании разности: Если разность прч существует, то a≥ в. Теорема о единстве разности тоже верна(если разность ПРЧ сущ., то она единственна). Законы сложения: 1. А+в=в+а(перемест) 2. (а+в)+с=а+(в+с) (сочетательный) Законы вычитания: 1. (а+в)-с=(а-с)+в=(в-с)+а   2. А-(в+с)=(а-в)-с=(а-с)-в

N

Q+

1.Есть наименьший множитель  - 1

1.Нет наименьшего ПРЧ

2.Упорядоченно

2.Упорядоченно

3.Бесконечно

3.Бесконечно

4.Дискретно  (разрывно)

4.Плотно


1. Докажем, что на мн-ве Q+ нет наименьшего ПРЧ. (док-во от противного). Предположим, что число наименьшее ПРЧ (m и n нат числа). Для нат чисел существует следующее за ним n+1. Сравним и . Приведем к общему знаменателю:   и   - знаменатели равны, значение дроби зависит от числителя    и . mn+m › mn что больше дробь    . получили противоречие, т.к. наименьшее число наименьшего ПРЧ нет

2.Покажем, что  Q + упорядочено. А: {; ; ; }. R: «меньше». R-антисимметрично на A т.к xRy--->yRx; R транзитивно A т.к   R ; R à R ;  R-отношение порядкаà А-упорядоченное множество. А Q + Q + тоже упорядочено.

3-4. Покажем, что между  двумя ПРЧ, существует  мн-во  других ПРЧ. Напр.: и . Найдем среднее арифметическое этих чисел () . Продолжая аналогичным образом можно найти бесконечное мн-во дробей располож на числовой прямой между числами и . мн-во Q+  плотно и бесконечно.

Решение задач  на нахождение части числа. 1.длина дороги 20 км. Заасфальтировали 2/5 дороги. Сколько км заасфальтировано? (чертеж) 1.20:5=4(км) 2.4*2=8(км)-дороги заасфальтировали 20:5*2=8(км) Ответ: 8 км дороги заасфальтировали Чтобы найти часть числа, выраженную дробью, надо это число разделить на знаменатель и умножить на числитель дроби. 
Решение задач на нахождение числа по его части.1. Какова длина дороги, если 2/5 ее составл 8 км? 8:2*5=20(км) Ответ:20 км Чтобы найти число по его части, выраж дробью, надо разделить эту часть на числитель и умножить на знаменатель дроби. 
Нахожд. Какую часть одно число составл от другого. Задача: От домика папы Карло до школы 5 км. Буратино прошел 2 км. Какую часть пути он прошел Решение: длина всей дороги 5 км, поэтому 1 км сост 1/5 часть дороги, а 2 км, сост 2/5 длины дороги. Значит буратино  прошел 2/5 всего пути. Чтобы выразить дробью часть, которую одно число составляет от другого, надо 1-е число разделить на второе.


 

 Таблица умножения.

2·1=2;         3·1=3;         4·1=4;       5·1=5;         6·1=6;       7·1=7;          8·1=8;         9·1=9.

2·2=4;         3·2=6;         4·2=8;       5·2=10;       6·2=12;      7·2=14;       8·2=16;       9·2=18.

2·3=6;         3·3=9;         4·3=12;      5·3=15;       6·3=18;      7·3=21;       8·3=24;      9·3=27.

2·4=8;         3·4=12;       4·4=16;      5·4=20;       6·4=24;      7·4=28;       8·4=32;      9·4=36.

2·5=10;       3·5=15;       4·5=20;      5·5=25;       6·5=30;      7·5=35;       8·5=40;      9·5=45.

2·6=12;       3·6=18;       4·6=24;      5·6=30;       6·6=36;      7·6=42;       8·6=48;      9·6=54.

2·7=14;       3·7=21;       4·7=28;      5·7=35;       6·7=42;      7·7=49;       8·7=56;      9·7=63.

2·8=16;       3·8=24;       4·8=32;      5·8=40;       6·8=48;      7·8=56;       8·8=64;      9·8=72.

2·9=18;       3·9=27;       4·9=36;      5·9=45;       6·9=54;      7·9=63;       8·9=72;      9·9=81.

2·10=20;     3·10=30;     4·10=40;     5·10=50;     6·10=60;    7·10=70;     8·10=80;    9·10=90.


Информация о работе Теоретические основы математики