Теоретические аспекты применения экономико-математических методов и моделей к решению экономических задач

 

Для приведения надо вычесть минимум  по первому столбцу: h₁=1. При этом нижняя граница станет равной 47+1 = 48. Сравнивая нижние границы 
φ ( ) = 67 и φ ( ) = 48 < 67 выделяем подмножество маршрутов , которое с большей вероятностью содержит маршрут минимальной длины.

 

Рис. 1 Ветвление на первом шаге

Приведенная платежная матрица  для 

	1	2	3	5	6
2	0	∞	15	29	24
3	14	13	∞	5	0
4	∞	0	9	2	2
5	1	41	22	∞	0
6	12	0	0	0	∞

 

Далее продолжаем процесс  ветвления. Найдем степени Θ_ij нулевых элементов этой матрицы Θ₂₁ =16, Θ₃₆ = 5, Θ₄₂ = 2, Θ₅₆ = 2, Θ₆₂ = 0, Θ₆₃ =9, Θ₆₅ = 2. Наибольшая степень Θ₂₁. Затем множество разбивается дуге (2, 1) на два новых и .

В матрице для  вычеркиваем строку 2 и столбец 1. дуги (1, 4) и (2, 1) образуют связный путь (2, 1, 4), положим c₄₂= ∞, чтобы предотвратить появления цикла 2→1→ 4 → 2.

 

 

	2	3	5	6
3	13	∞	5	0
4	∞	9	2	2
5	41	22	∞	0
6	0	0	0	∞

 

Для приведения надо вычесть  минимум по строке 4: r₄=2. При этом нижняя граница станет равной 48+2 = 50.

Нижняя граница для , полученная как на предыдущем шаге ветвления, равна 48 + 16 = 64. Сравнивая нижние границы φ ( ) = 64 и φ ( ) = 50 < 64 выбираем для дальнейшего разбиения подмножество маршрутов .

Рис. 2 Ветвление на втором шаге

 

Приведенная платежная матрица  для 

 

	2	3	5	6
3	13	∞	5	0
4	∞	7	0	0
5	41	22	∞	0
6	0	0	0	∞

 

Степени Θ_ij нулевых элементов этой матрицы Θ₃₆ = 5, Θ₄₅ = 0, Θ₅₆ = 22, Θ₆₂ = 13, Θ₆₃ =7, Θ₆₅ = 0. Наибольшая степень Θ_56. Затем множество разбивается дуге (2, 1) на два новых и .

Нижняя граница для равна 50 + 22 = 72. В матрице для вычеркиваем строку 5 и столбец 6 и полагаем c₆₅= ∞. Получим матрицу:

 

	2	3	5
3	13	∞	5
4	∞	7	0
6	0	0	∞

 

Для приведения надо вычесть  минимум по строке 3: r₃=5. При этом нижняя граница станет равной 50+5 = 55. Выбираем для дальнейшего разбиения подмножество маршрутов .

 

Рис. 3 Ветвление на третьем шаге

Приведенная платежная матрица  для 

	2	3	5
3	8	∞	0
4	∞	7	0
6	0	0	∞

 

Степени Θ_ij нулевых элементов этой матрицы Θ₃₅ = 8, Θ₄₅ = 7, Θ₆₂ = 8, Θ₆₃ =7. Выбираем Θ₃₅ = 8. Разбиваем на и .

Нижняя граница для равна 55 + 8 = 64. В матрице для вычеркиваем строку 3 и столбец 5 и полагаем c₆₃= ∞. Получим

	2	3
4	∞	7
6	0	∞

 

 

 

 

Для приведения надо вычесть  минимум по строке 4: r4=7. При этом нижняя граница станет равной 55+7 = 62. После приведения получим

	2	3
4	∞	0
6	0	∞

 

 

 

 

Из матрицы 2´2 получаем два перехода с нулевой длинной: (4, 3) и (6, 2).

 

Рис. 4 Ветвление на четвертом шаге

 

Рис. 5 Дерево ветвления с оценками

 

Полученный маршрутом коммивояжера z₀ = (1, 4, 3, 5, 6, 2, 1) или (A-D-C-E-F-B-A).

 

 

 

 

 

 

Выводы

 

   Можно выделить,  по крайней мере,  четыре аспекта применения математических методов в решении практических проблем.  

1. Совершенствование   системы  экономической  информации. Математические

методы позволяют упорядочить  систему  экономической информации,  выявлять недостатки в имеющейся информации и вырабатывать требования для подготовки новой информации  или ее корректировки.  Разработка и применение экономико-математических моделей указывают пути совершенствования  экономической информации, ориентированной  на  решение  определенной системы задач планирования и  управления.  Прогресс  в  информационном обеспечении планирования  и управления опирается на бурно развивающиеся технические и программные средства информатики.

2. Интенсификация и повышение  точности экономических расчетов. Формализация экономических задач и применение ЭВМ  многократно ускоряют типовые, массовые расчеты, повышают точность и сокращают трудоемкость,  позволяют проводить многовариантные экономические обоснования сложных мероприятий, недоступные при господстве "ручной" технологии.

3. Углубление количественного  анализа экономических проблем.  Благодаря

применению  метода  моделирования  значительно усиливаются возможности

конкретного  количественного  анализа, изучение многих факторов, оказывающих влияние на экономические процессы, количественная  оценка последствий изменения условий развития экономических объектов и т.п.

4. Решение принципиально  новых экономических задач.  Посредством

математического моделирования  удается  решать  такие экономические  задачи,

которые иными средствами решить практически невозможно,  например:

нахождение оптимального варианта народнохозяйственного плана, имитация

народнохозяйственных мероприятий, автоматизация контроля за функционированием сложных экономических объектов. Сфера практического применения метода моделирования ограничивается возможностями  и эффективностью формализации экономических проблем и ситуаций, а также состоянием информационного, математического, технического обеспечения используемых моделей. Стремление во что бы то ни стало применить математическую модель  может не дать хороших результатов из-за отсутствия хотя бы некоторых необходимых условий.

   В соответствии  с  современными  научными представлениями системы разработки и принятия хозяйственных решений должны сочетать формальные  и неформальные методы,  взаимоусиливающие и взаимодополняющие друг друга. Формальные методы являются, прежде всего,  средством  научно  обоснованной подготовки материала для действий человека в процессах  управления.  Это  позволяет продуктивно использовать опыт и интуицию человека, его способности решать плохо формализуемые задачи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

1. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984.

   2.  Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. М.:Наука, 1984.

  3. Янч Э. Прогнозирование научно-технического прогресса. / Пер. с англ.

– М.: Прогресс, 1974.