Теорема Птолемея и составление тригонометрических таблиц

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

 

Липецкий государственный педагогический университет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат по истории математики

 

на тему:

Теорема Птолемея и составление тригонометрических таблиц

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                 Выполнила

                                                                                 студентка 5 курса

                                                                                 группы МФ-5                                  

                                                                                 Волокитина Олеся     

                                                                           

                                                                                 Проверила:

                                                                                 Фомина

                                                                                 Татьяна Петровна

 

 

 

 

 

Липецк 2010

Теорема Птолемея и составление тригонометрических таблиц.

Теорема Птолемея названа по имени древнегреческого ученого Клавдия Птолемея, доказавшего эту теорему. Кла́вдий Птолеме́й  (ок. 87—165) — древнегреческий астроном, математик, оптик, теоретик музыки и географ.

Это теорема элементарной геометрии, утверждающая, что произведение длин диагоналей вписанного в круг четырехугольника равна сумме произведений длин его противоположных сторон. Она устанавливает зависимость между сторонами и диагоналями четырехугольника, вписанного в окружность.

Дан произвольный четырехугольник ABCD, вписанный в окружность. Имеет место равенство:AC*BD=AB*CD+BC*AD.

Эта теорема используется при решении задач по элементарной геометрии, при доказательстве частного случая теоремы сложения синусов.

Ранее теорема Птолемея имела следующую формулировку: «прямоугольник, построенный на диагоналях вписанного в круг четырехугольника равен сумме прямоугольников, построенных на противоположных сторонах».

Для доказательства проводится отрезок BP так, чтобы . Из подобия треугольников ABP и DBC следует, что

AB*CD=AP*BD.

Из подобия треугольников PBC и ADB следует, что

BC*AD=PC*BD.

Складывая почленно два последних равенства, получаем:

AB*CD+BC*AD=AC*BD.

Теорема Птолемея является центральной в вычислении хорд Птолемея, в следствие чего была создана им тригонометрическая таблица.

Первые тригонометрические таблицы были, вероятно, составлены Гиппархом Никейским (180-125лет до н.э.). Гиппарх был первым, кто свел в таблицу соответствующие величины дуг и хорд для серии углов. Систематическое использование полной окружности в установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд. Возможно, Гиппарх взял идею такого деления у Гипсикла, который ранее разделил день на 360 частей, хотя такое деление дня могли предложить и вавилонские астрономы.

Позднее Клавдий Птолемей (90-168 гг. н.э.) в «Альмагесте» расширил Гиппарховы «Хорды и окружности». Его 13 книга самая значимая тригонометрическая работа всей античности.

Основываясь на своей теореме, Птолемей находил по хордам двух дуг хорды их разности и суммы и по хорде какой-нибудь дуги хорду ее половины и таким образом составил свою таблицу хорд (тригонометрическая таблица).

Пусть в круге данного радиуса R известны хорды AB=c, AC=b и пусть требуется найти хорду BC=a, соответствующую разности дуг, стягиваемых хордами AC и AB. Проводя диаметр AD и применяя теорему Птолемея к четырехугольнику ABCD, имеем:

b*BD=c*CD+a*2R.

Откуда

.

Отрезки BD и CD можно определить по теореме Пифагора, так как они являются катетами прямоугольных треугольников ABD и ACD, в которых известная гипотенуза AD=2R и катеты b и с.

В своих расчетах Птолемей использовал хорды, длина которых была известна из геометрии. Этими хордами были стороны правильных многоугольников, вписанных в круг: треугольника (хорда дуги в ), квадрата ( ), шестиугольника ( ), пятиугольника ( ) и десятиугольника ( ).

Взяв хорду, соответствующей и применив свою теорему, Птолемей вычислил хорды дуг

Ни таблица Гиппарха, ни Птолемея не сохранились до настоящего дня, хотя свидетельства других древних авторов снимают сомнения об их существовании.

Древнегреческие математики в своих построениях, связанных с измерением дуг круга, использовали технику хорд. Перпендикуляр к хорде, опущенный из центра окружности, делит пополам дугу и опирающуюся на нее хорду. Половина поделенной пополам хорды – это синус половинного угла, и поэтому функция синус известна также как «половина хорды». Благодаря этой зависимости, значительное число тригонометрических тождеств и теорем, известных сегодня, были также известны древнегреческим математикам, но в эквивалентной хордовой форме.

Для компенсации отсутствия таблицы хорд математики времен Аристарха иногда использовали хорошо известную теорему, в современной записи - , где , совместно с другими теоремами.

Техника тригонометрических вычислений достигла дальнейшего значительного развития в астрономических трудах индийских ученых 5-12 веков. В отличии от Птолемея они вычисляли уже не хорды, а полухорды, линии синуса, основываясь на выражении длин сторон правильных вписанных многоугольников через длину радиуса круга.

Тригонометрические функции угла θ внутри единичной окружности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. Глейзер Г.И. «История математики в школе: пособие для учителей».– М., 1981.
2. Белл Э.Т. «Творцы математики».– М., 1979.
3. Рыбников К.А. «История математики».– М.:МГУ, 1994.