Статистикалық математикада кездейсоқ оқиғалар дегеніміз кездейсоқ шамалар болып табылады

Статистикалық математикада кездейсоқ оқиғалар дегеніміз  кездейсоқ шамалар болып табылады.

Кездейсоқ шама деп  тәжірибеден табылатын мәнін  алдын ала болжай алмайтын шаманы айтады. Кездейсоқ шама тұрақты мәнге  тең емес, оның әртүрлі көп мәндері  болады, ал әрбір жеке өлшем оның бір ғана мәнін көрсетеді.

Кездейсоқ шаманы сипаттау үшін алдымен оның мүмкін болатын  мәндерін білу қажет. Кездейсоқ шаманы дискретті (үздікті) және үздіксіз шамалар  деп екіге бөледі. Дискретті кездейсоқ  шаманың мүмкін болатын мәндерін алдын ала білуге болады. Мысалы, мерген жүз рет атқанда оқты нысанаға неше рет тигізуі мүмкін болатынын айта аламыз, яғни: 0; 1; 2; 3; ...99; 100 рет тигізуі мүмкін. Бір килограмм бұршақта бұршақ денінің саны 500; 501: 502;...1998; 1999; 2000 т.с.с болуы мүмкін деп те айта аламыз.

Ал үздіксіз кездейсоқ  шаманың мәндерін күн бұрын білуге болмайды, олар белгілі бір аралықты толассыз толтырып жатады. Мысалы, үздіксіз шама ретінде сызық кесіндісінің ұзындығын, уақыт аралығын т.б. келтіруге  болады.

Кездейсоқ шама – ықтималдық теориясының негізгі ұғымдарының бірі.Кездейсоқ шама – жағдайға тәуелді белгілі бір ықтималдығы бар әр түрлі мән алатын қандай да бір шама. Кездейсоқ шаманың маңызды сипаттамасының біріне оның таралу (үлестірілу) ықтималдығы жатады. Егер Х кездейсоқ шамасы шекті не шексіз әр түрлі х1, х2, ... хn, ... мәндер тізбегін қабылдаса, онда X кездейсоқ шамасының таралу ықтималдығы (таралу заңы) сол х1, х2, ... хn, ... мәндері мен оларға сәйкесті p1, p2, ..., pn, ...ықтималдықтарды =[a, b] кесіндісі үшін aDкөрсету арқылы беріледі. Кездейсоқ шаманың мұндай түрі дискретті кездейсоқ шама деп аталады. Басқа бір жағдайларда таралу ықтималдығы әрбір <x<b теңсіздігінің PХ(a, b) ықтималдығын көрсету арқылы беріледі. Әсіресе кездейсоқ шама. үшін: PХ(a, b)=(x)dx теңдігін қанағаттандыратын pХ(x)функциясы (ықтималдық тығыздығы) табылатын жағдайлар жиі кездеседі. Кездейсоқ шаманың мұндай түрі үздіксіз кездейсоқ шама деп аталады. Кездейсоқ шама таралу ықтималдығының кейбір жалпы қасиеттері онша көп емес сандық сипаттамалар мөлшерімен жеткілікті дәрежеде толық сипатталады. Ондай сипаттамалардың қатарына Х кездейсоқ шамасының математикалық үміті (EХ) және оның дисперсиясы (DХ) жатады.^[1]

Дискрет кездейсоқ  шама^[2] - әр мәнінің пайда болу ықтималдылығы көрсетілген дискрет шама.

Үзіліссіз кездейсоқ  шама^[3] - ықтимапдықтың тығыздық функциясы көрсетілген кездейсоқ шама.

6. КЕЗДЕЙСОҚ  ШАМА. ТАҢДАУ ӘДІСТЕРІНІҢ ЭЛЕМЕНТТЕРІ 
6.1. Кездейсоқ шама. 
Ықтималдықтар теориясындағы маңызды ұғымдардың бірі – кездейсоқ шама. Ендеше келесі мысалға көңіл бөлейік: 
1) Қалалық көлік қозғалысын бақылауда бір сағат ішінде кездейсоқ қиылыстан өтетін машиналар саны – кездейсоқ мән қабылдайды. 
2) Хаттар санағында кездейсоқ пошта бөліміне әр кун сайын түсетін хаттар саны - әр түрлі кездейсоқ мән қабылдайды. 
Бұл мысалдар мазмұны бойынша әр түрлі, бірақ олардың ортақ мағынасы бар: 
1) Әр мысалда кездейсоқ оқиғаны бейнелейтін шама туралы айтылады. 
2) Бұр әрбір шама кездейсоқ тәжірибе нәтижесіндегі сәйкес мән қабылдайды. 
Анықтама: Алдын ала белгісіз, тек тәжірибе нәтижесінде анықталатын бір мәнді шаманы кездейсоқ шама деп атайды. 
Кездейсоқ шама кездейсоқ оқиғамен тығыз байланысты. Егер кездейсоқ оқиға тәжірибенің сапалық сипаттамасы болса, ал кездейсоқ шама оның сандық сипаттамасы береді. 
Мына мысалдарға назар аударайық: 
1) Оқты 4 рет атқандағы дәл тигізу саны; 
2) Ұялы телефонға бір күнде түскен хаттар саны; 
3) Қаңтар айындағы қалаға жауған қардың мөлшері. 
 
Бұл арада кездейсоқ шамалар алдын-ала көрсетілген жеке тиянақты мәндерді қабылдайды.  
Анықтама: Мәндері жеке дара тиянақты сандар болатын кездейсоқ шаманы дискретті кездейсоқ шама деп атайды. 
Басқа типті кездейсоқ шамалар да бар. Мысалы: 
1) нысанаға атқанда тигізген нүктенің абсциссасы; 
2) белгілі биіктікке көтерілгенде ұшатын аппараттың жылдамдығы; 
3) денені аналитикалық таразымен өлшегенде кететін қателіқ; 
4) кездейсоқ алынған дәннің салмағы. 
Берілген кездейсоқ шаманың мүмкін болатын мәндері бір-бірінен алшақ емес. Олар үзіліссіз шеткі нүктелері бар, ал кейде анықталмаған қандай да бір сандық аралықты толтырады. 
 
Анықтама: Мәндері үзіліссіз белгілі бір [а; b] кесіндісінде (мұндагы а < b, а және b тиянақты нақты сандар) орналасқан кездейсоқ шаманы үзіліссіз кездейсоқ шама деп атайды. 
х1, х2,..., хn мәндері болатын X дискретті шамасын қарастырайық. Әрбір мәннің болуы мүмкін, бірақ ақиқат емес. X кездейсоқ шамасы х1, х2,..., хn мәндері қандай да бір р1, р2, ...,рп ықтималдықтарын қабылдайды. 
Анықтама: Дискретті кездейсоқ шаманың мүмкін болатын мәндері және олардың ықтималдықтарының арасындағы сәйкестік берілген кездейсоқ шаманың таралу заңдылығы деп аталады. 
Дискретті X кездейсок шамасының таралу заңдылығын кестемен берген ыңғайлы: 
Х х1 х2 ... хn 
р p1 p2 … pn 
Кестенің бірінші жолында кездейсоқ шаманың барлык мүмкін болатын мәндері, ал екінші жолында олардың ыктималдықтары көрсетілген. 
Практикада кездейсоқ шаманы сипаттау үшін кейбір сандық параметрлерді, мысалы, кездейсок шаманың мүмкін болатын мәндер жиынында шоғырланатын қандай да бір орта мән және орта мәнге байланысты олардың орналасуын сипаттайтын қандай да бір санды анықтаса жеткілікті. Осындай ұғымның бірі — математикалық күтім. 
Мысал 1: 100 лотерея билеті шығарылған. Оның 40 билеті иесіне 50 теңгеден, 10 билеті 250 теңгеден, 5 билеті 500 теңгеден ұтыс әкеледі, ал калған билеттер ұтыссыз. Бір билетке қандай орташа ұтыс сәйкес келеді? 
Шешуі. X кездейсоқ шамасының мәндері0; 50; 250;500теңге 
десек, олардың ұтыс ыктималдықтары сәйкесінше —болады.  
Мына кестеде оқиғаның таралу заңдылығы берілген: 
X 0 50 250 500 
р 0,45 0,4 0,1 0,05 
Мысалы, қандай да бір ойыншы барлық 100 билетті сатып алса, онда ол 7000 теңге ұтар еді. Ал бір билеттің орташа ұтысы 70 теңге болады (өйткені 7000 : 100 = 70). 
Сонда (0 • 45 + 50 • 40 + 250 • 10 + 500 • 5) : 100 = 0 • 0,45 + + 50 • 0,4 + 250 • 0,1 + 500 • 0,05. 
Жауабы: 70 теңге. 
1-мысалдағы соңғы теңдіктің оң жағында тұрған өрнек кездейсоқ шама мәндерінің сәйкес ықтималдықтарына көбейтінділерінің қосындысын береді. 
Анықтама: X кездейсоқ шамасы мәндерінің сәйкес ықтималдық мәндеріне көбейтінділерінің қосындысын X кездейсоқ шамасының математикалық күтімі деп атайды. 
Математикалық күтімнің белгіленуі: М(Х). 
 
Анықтама бойынша математикалық күтім есептеу формуласы: 
М(Х) = хІ + х2р2 + ... + хп-1 рn-1 + хпрп. (1) 
Мысал 2: Машина жасауда керекті тетікті дайындау үшін 1, 2, 3, 4, 5 үлгі қолданылады. Ол үлгілердің ықтималдығы мына кестеде берілген: 
X 1 2 3 4 5 
р 0,2 0,4 0,7 0,5 0,1 
10 машина жасауда қолданылатын үлгілер сандарының орташа мәні қандай болады? 
Шешуі. Алдымен бір машинаға қажетті орта мәнді анықтаймыз. Содан кейін қорытындыны 10-ға көбейтеміз. 
М(Х) = 1 • 0,2 + 0,4 + 3 • 0,7 + 4 • 0,5 + 5 • 0,1 = 5,6. 
Сонда 5,5 • 10 = 56. Жауабы: 56. 
Математикалық күтімнің қасиеттері: 
1)егер С — тұрақты болса, онда 
М(С) = С, М(СХ) = СМ(Х); 
2) егер Х, Y,Z кездейсоқ шамалар болса, онда М(Х+ Ү + 2) = М(Х) + М(Ү) + М(2) 
Кездейсоқ шама мәнінің математикалық күтімге қатысты қандай мөлшерде шашырай орналасуының сандық сипаттамасын беретін ұғымдардың бірі — дисперсия. Бұл ұғымның анықтамасын берместен бұрын ауытқудың анықтамасын берейік. 
Анықтама: X кездейсоқ шамасымен М(Х) математикалық күтімнің айырымы, яғни Х-М(Х) ауытқу деп аталады, 
X- М(Х) ауытқуы мен оның квадраты (X - М(Х))2 кездейсоқ шамалар болып табылады. 
Енді X кездейсоқ окиғасы дисперсиясының анықтамасын берейік. 
Анықтама: Ауытқудың екінші дәрежесінің математикалық күтімі X кездейсоқ шамасының дисперсиясы деп аталады. 
Дисперсияның белгіленуі В(Х). 
Анықтама бойынша дисперсияның формуласы: 
D(X)= M[X-M(X)]2  
Дисперсияның қасиеттері: 
1) егер С тұракты болса, онда 
D(Х) = 0; 
D(СХ) = С2D(Х); 
2) D(X) = М(Х2) – М2(Х);  
3) X және Ү кездейсоқ шамалар болса, онда 
D(Х+Ү) =D)(Х) + D(Ү). 
Математикалық күтімнің қасиеттерін қолданып, (2) және (3) формулаларының мәндес екенін дәлелдеуге болады. 
Мысал 3. Дискретті кездейсоқ шама мына таралу заңдылығымен берілген: 
 
X 0 1 2 3 4 
р 0,2 0,4 0,3 0,08 0,02 
Кездейсоқ шаманың дисперсиясын табыңдар.  
Шешуі. Алдымен математикалық күтімді М(Х), содан кейін М(Х2) есептейміз: 
М(Х) = 0 • 0,2 + 1 • 0,4 + 2 • 0,3 + 3 • 0,08 + 4 • 0,02 = 1,32, МСХ2) = 0 • 0,2 + 1 • 0,4 + 4 • 0,3 + 9 • 0,08 + 16 • 0,02 = 2,64. (3) формула бойынша: D(Х) = 2,64 - 1,7424 = 0,8976. 
Жауабы: 0,8976. 

Күнделікті  өмірде орындалатын да, орындалмайтын  да оқиғалар жиі кездеседі. Таңертең тұрып терезеден далаға қарасақ, далада күн ашық болуы да, бұлтты болуы да, жаңбыр жаууы да, қар  жаууы да мүмкін. Бұлардың бәрінің  орындалу мүмкіндіктері тең. Мұнда бірі орындалса, басқалары орындалмайтын жағдай бар. Және олар кездейсоқ оқиға болып табылады. Асықты лақтырғанда оның бүк, шік, тәйкі немесе алшы жағы жоғары қарап түсуі де – кездейсоқ оқиға. Сонымен, кездейсоқ оқиға деп белгілі бір тұрақты жағдайда орындалуы мүмкін немесе орындалмауы мүмкін оқиғаны айтады.  
Мысал 1: Асықты лақтырып ойнағанда, ол асықтың бүк жағы жоғары қарап немесе шік жағы жоғары қарап, әлде болмаса, тәйкі жағы немесе алшы жағы жоғары қарап түсуі мүмкін. Мұнда бірі орындалса, басқалары орындалмайтын жағдай бар. Асықты лақтырғанда оның бүк, шік, тәйкі немесе алшы жағы жоғары қарап түсуі кездейсоқ оқиға болып табылады.  
 
Біз қадағалап отырған нәтиже қанша рет шығатындығын анықтау үшін бірнеше рет бір-біріне тәуелсіз тәжірибелер жүргізіледі. Тәжірибе деп нәтижесін байқауға болатын объектіні түсінеміз. Мысалы: емтихан тапсыру, мылтықтан оқ ату, ойын тасын лақтыру, т.б. 
 
Негізі тәжірибеге дейін бізге қолайлы оқиғаның орындалатынын, не болмаса орындалмайтынын анықтау мүмкін емес, оны тек тәжірибе соңында ғана көреміз. Біз ықтималдықтар теориясында кездейсоқ тәжірибеге қатысты барлық оқиғаларды кездейсоқ оқиғалар дейміз және кездейсоқ оқиға болып мына оқиғалар саналады:  
 
1. жалған — ешқашан орындалуы мүмкін емес оқиға, 
 
2. айқын — әрбір тәжірибе барысында орындалатын оқиға. 
 
Мысал 2: Жұмыртқаны пісіргенде пайда болатын оқиғаларды қарастырайық: 
 
А= жұмыртқаның пісуі ; 
 
В= жұмыртқаның піспеуі ; 
 
С= піскен жұмырқадан балапанның шығуы  
 
А, В оқиғалары – кездейсоқ оқиғалар, яғни айқын оқиғалар, С оқиғасы – жалған оқиға. 
 
Мысал 3: Немесе ойын тасын (біртекті куб) тастағанда, ол алты жағына түсуі мүмкін. Егер оларды 1, 2, 3, 4, 5, 6 деп белгілесек, 7 түсуі жалған, осы алты жағының бірі түсуі айқын оқиғалар. 
 
Ал жұп ұпайдың түсуі, түспеуі кездейсоқ оқиға, өйткені оның яғни 2, 4, 6 жағының түсуін алдын-ала болжай алмаймыз. Ол нәтижеге байланысты. Нәтиже дегеніміз, кездейсоқ тәжірибені аяқтайтын және бір-бірін өзара жоққа шығаратын нұсқалардың бірі.  
 
Мысалы 4: 
 
1. Тиынды лақтырғанда — екі нәтиже: елтаңба және цифр жағының түсуі  
2. Ойын тасын лақтырғанда — 6 нәтиже: 1, 2, 3, 4, 5, 6 жағының түсуі