Скалярное произведение. Понятие n-мерного евклидова пространства. Норма n-мерного вектора и ее свойства

.

Для каждой пары n-мерных векторов  ,   справедливо соотношение  , которое называется неравенством треугольника.

Углом j между ненулевыми n-мерными векторами   и   называют угол (от 0 до p), косинус которого равен 

      Два ненулевых вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Система векторов называется ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны. Система векторов называется ортонормированной, если вектора этой системы попарно ортогональны и имеют длину, равную единице.

 

 

3.3. Линейная зависимость  векторов.

       Линейной  комбинацией  векторов    с  коэффициентами   называется вектор  .       

Линейная комбинация векторов образуется из них с помощью операций умножения на число и сложения, следовательно, она также является вектором. По определению n-мерный  вектор     разлагается  по  системе  векторов  , если можно подобрать такие числа  , что векторы    и    равны, т. е.  . Числа   называются коэффициентами разложения.

      Система  векторов   называется линейно зависимой, если из этих векторов можно составить нулевую (равную нулю) линейную комбинацию, т. е.  , причем хотя бы один из коэффициентов линейной комбинации отличен от нуля. В противном случае система векторов   называется линейно независимой.

      Система векторов   линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных.

Если среди векторов   имеется нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

Если часть векторов системы  векторов   является линейно зависимой, то и все векторы системы линейно зависимы.

Пусть заданы две системы  векторов                              

                           ,                                        (1.1)                                                        

.                                        (1.2)

Говорят, что система векторов (1.2) линейно выражается через систему  векторов (1.1), если каждый вектор системы (1.2) линейно выражается через векторы  системы (1.1).

Если система векторов (1.2) линейно выражается через векторы системы (1.1) и  , то система (1.2) – линейно зависимая.

В n-мерном векторном пространстве любые   векторов линейно зависимы.

Ортогональная система ненулевых  векторов линейно независима. Исходя из линейно независимой системы векторов   можно построить ортогональную систему ненулевых векторов   по следующим формулам:

      

 Приведенный способ  построения ортогональной системы  векторов     по заданной линейно независимой системе   называется процессом ортогонализации системы векторов  .

 

 

 

 

 

Заключение.

    Итак, можно подвести итог.

    Скалярное произведение векторов - это операция над двумя векторами, результатом которой является число (не вектор). Оно имеет следующие свойства:

1°      - симметричность.

2°     . Обозначается   и называется скалярный квадрат.

3°    Если  , то 

4°    Если   и   и  , то  . Верно и обратное утверждение.

5°    

6°    

7°    

      Также  дали понятие n – мерного вектора, рассмотрели операции над ними, их свойства и можно заметить, что множество всех n – мерных векторов с определенными на нем операциями сложения и умножения на число порождают векторное пространство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

 

 

1. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. «Линейная алгебра» - М.: Изд-тво ГУ-ВШЭ, 1998 г.
2. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985.
3. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. М.: Дело, 2000. 
4. Рейнов Ю.И. Линейная алгебра. СПб.: Изд.-во ГУ-ВШЭ, 2006 г.