Шпаргалка по "Кинематике"

1. Какие способы задания движения точки применяются в кинематике и в чем они состоят? Как определить траекторию при координатном способе задания точки?

Движение точки в пространстве определяется тремя основными способами: векторным, координатным и естественным.

Векторный: выберем некоторый неподвижный центр О и проведём из центра в точку М, движение которой изучаем, радиус-вектор r. При движении точки М радиус-вектор изменяется по величине и направлению. Каждому моменту времени t соответствует определённое значение r. Следовательно, радиус-вектор однозначно определяет положение точки М. таким образом, чтобы определить движение точки, нужно задать её радиус-вектор в виде однозначной и непрерывной функции времени r: r=r(t).

Координатный: Если координаты точки заданы как однозначные функции времени: x=x(t), y=y(t), z=z(t), то положение точки М в пространстве известно в каждый момент времени. Эти уравнения определяют закон движение точки и называются уравнениями её движения.

Естественный: этот способ задания движения применяется в том случае, когда траектория точки, относительно выбранной системы отсчёта, известна. При движении точки М криволинейная координата s будет изменяться с течением времени, то есть: s=s(t). Зная это уравнение, можно определить положение точки в каждый момент времени. Его называют уравнением движение или законом движения вдоль заданной траектории.

Зададим положение точки в пространстве координатным особом: x=x(t), y=y(t), z=z(t) (*). Чтобы определить положение точки в начальный момент времени (t=0) необходимо в уравнения (*) подставить t=0. Теперь, для определения траектории точки: s=s(t) воспользуемся формулой длины дуги кривой: или, с учётом того, что дифференцирование производиться по времени, можно переписать так: . Знак «+» берётся в том случае, когда точка движется в сторону с положительного отсчёта криволинейной координаты s.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Какая зависимость существует между радиус-вектором движущейся точки и вектором скорости этой точки? Как направлен вектор скорости криволинейного движения точки по отношению к её траектории?

Разложим радиус вектор по ортам декартовой системы координат: . Теперь продифференцируем равенство по времени. В результате получим разложение скорости по ортам : , разложение можно представить так: , где , , - проекции вектора скорости на оси координат. Таким образом, проекции скорости на неподвижные декартовы оси координат равны первым производным по времени соответствующих координат движущейся точки.

При векторном: Для того, чтобы точно вычислить скорость точки в данный момент времени, необходимо перейти в формуле перейти к пределу при стремлении промежутка времени к нулю, то есть: . Этот предел представляет собой первую векторную производную по времени от радиус-вектора точки по времени . Как следует из этих формул, вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону её движения.

При координатном: Найдём модуль скорости, зная её проекции: . Для определения направления вектора скорости воспользуемся направляющими косинусами:

, , . В итоге мы всё же прижжем к выводу, что вектор скорости направлен по касательной к траектории.

При естественном: , известно, что . Вектор есть единичный вектор касательной к траектории (её орт), направленный в сторону возрастания криволинейной координаты s. Обозначая орт касательной запишем начальную формулу так: , домножим левую и правую часть уравнения на единичный вектор : . Перепишет выражение так: . Таким образом, видно, что вектор скорости направлено по касательной к траектории точки.

3. Как определяется модуль и направление скорость точки при координатном способе задания движения?

, , Таким образом, проекции скорости на неподвижные декартовы оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат движущейся точки. Из равенств следует, что проекции скорости точки на координатные оси равны скорости проекций этой точки на те же оси. Зная проекции вектора скорости точки, найдём его модуль: .

Для определения направления вектора  скорости воспользуемся направляющими  косинусами:

, , .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Какая зависимость существует между радиус-вектором движущейся точки и вектором ускорения точки? Как направлен вектор ускорения криволинейного движения точки по отношению к её траектории, в какой плоскости он лежит?

, при стремлении  к нулю получаем следующий предел: , этот предел называют ускорение точки в данный момент времени. Так как вектор скорости есть первая производная радиус-вектора точки по времени, то: . Таким образом, ускорение точки в данный момент времени, есть векторная величина, равная первой производной от вектора скорости или второй производной от радиус-вектора по времени.

Установим теперь положение вектора  относительно траектории. Отметим, что плоскость треугольника МАВ, образованного векторами , и , при будет поворачиваться вокруг вектора , т.е. вокруг касательной к траектории в точке М, и займёт в пределе определённое предельной положение. Это предельное положение плоскости МАВ называется соприкасающейся плоскостью в точке М траектории. Вектор среднего ускорения направлен так же, как и , т.е. в сторону вогнутости кривой, и всё время находиться в плоскости треугольника МАВ. Предел вектора при есть вектор , который расположен в предельном положении треугольника МАВ, т.е. в соприкасающейся плоскости траектории точки М. Итак, вектор полного ускорения точки находиться в соприкасающейся плоскости траектории точки М направлен в сторону вогнутости траектории.

5. Как определяется модуль и ускорение точки при координатном способе задания движения?

Разложим радиус вектор по ортам декартовой системы координат: . Теперь дважды дифференцируем равенство по времени. В результате получим разложение ускорения по ортам i, j, k: , разложение можно представить так: , где , , - проекции вектора ускорения на оси координат. То есть, проекции вектора ускорения на неподвижные оси координат равны первым производным по времени от соответствующих проекций вектора скорости или вторым производным от соответствующих координат точки. По этим проекциям определяем величину вектора ускорения: .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Какие оси называются естественными осями? Дайте из определения и приведите соответствующий рисунок.

Единичный вектор касательной - , нормали - , бинормали - . Через эти векторы проходят плоскости: ( , ) – соприкасающаяся, ( , ) – нормальная, ( , ) – спрямляющая. Три взаимно перпендикулярных направления, которые определяются векторам , , , образуют естественную систему координат, или так называемый естественный (подвижный) трёхгранник. Оси этой системы координат называются естественными осями (касательная, нормаль, бинормаль).

- Единичный вектор всегда направлен в сторону вогнутости кривой.

- Предельное положение секущей,  проходящей через две точки  кривой M и , когда стремиться к M, называется касательной к кривой в точке M. Единичным вектором этой касательной является вектор . Плоскость, образованная взаимно перпендикулярными векторами и называется соприкасающейся.

- Единичный вектор нормали всегда направлен в сторону вогнутости кривой, а геометрическое место нормалей к данной кривой называют нормальной плоскостью.

7. Чему равны проекции вектора скорости точки на естественные оси? Запишите соответствующие формулы.

, ,

8. Чему равны проекции вектора ускорения точки на естественные оси? Запишите соответствующие формулы.

 Формула представляет собой  разложение ускорения точки М по ортам естественного трёхгранника. Составляющие вектора ускорения по направлениям и соответственно равны: , . Проекция ускорения на направление касательной: , называется касательным или тангенциальным ускорением. Проекция ускорения на главную нормаль: , называется нормальным ускорением. Так как ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости, то проекция ускорения точки на бинормаль равна нулю.

 

 

 

 

 

 

 

9. Напишите формулу для определения касательного ускорения точки. Что оно собой характеризует? Укажите, в каких случаях оно равно нулю?

Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине. Касательное ускорение равно нулю, при движении точки с постоянной по модулю скоростью и в моменты времени, когда скорость достигает экстремальных значений. При движение равномерное.

Формула для определения касательного ускорения (проекция ускорения на направление касательной): . Или, если единичный вектор касательной определяем формулой: , то запишем:

10. Напишите формулу для определения нормального ускорения точки. Что оно собой характеризует? Укажите, в каких случаях оно равно нулю?

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Нормальное ускорение равно нулю при прямолинейном движении ( ), в точках перегиба криволинейной траектории и с в моменты, когда скорость точки обращается в нуль.

Формула для определения нормального  ускорения (проекция ускорения на направление нормали): . Или, если единичный вектор касательной определяем формулой: , то запишем:

11. Чему равно ускорение точки при равномерном криволинейном движении. Как это ускорение направлено и по какой формуле вычисляется?

Формула для определения касательного ускорения (проекция ускорения на направление  касательной): . Формула для определения нормального ускорения (проекция ускорения на направление нормали): . Модуль полного ускорение точки вычисляется по теореме Пифагора: . Определим направление вектора : - угол между вектором полного ускорения и нормалью.

 

12. Какое движение твердого тела называется поступательным? Перечислите свойства поступательного движения твёрдого тела.

- Поступательным движением твёрдого тела называется такое движение, при котором любая прямая, проведённая в теле во всё время движения, остаётся параллельной своему первоначальному направлению.

СВ1: При поступательном движении твёрдого тела всё его точки описывают одинаковые траектории, которые при параллельном переносе совпадают.

СВ2: При поступательном движении всё точки твёрдого тела движутся с одинаковыми скоростями и ускорениями для любого момента времени.

 

 

13. Какое движение твердого тела называется движением вокруг неподвижной оси? Запишите уравнение вращательного движения. Сделайте соответствующий рисунок.

Вращательное движение. Это такое  движение твёрдого тела, при котором  все точки этого тела описывают  концентрические окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Уравнение или закон вращательного движения вокруг неподвижной оси: .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Что называется угловой скоростью и угловым ускорением тела? Напишите формулы для их определения.

Угловой скоростью тела называется физическая величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота тела во времени, то есть: . Угловая скорость равна первой производной по времени от угла поворота тела.

Угловым ускорением называется такая физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости тела во времени: . Угловое ускорение тела в данный момент времени равно первой производной по времени от угловой скорости или второй производной от угла поворота.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. Какое вращение твердого тела называется равномерным, какое равномерно-переменным? Запишите уравнения равномерного и равнопеременного вращательного движения.

- Вращение тела называют равномерным,  если угловая скорость тела  постоянна, то есть угловое ускорение равно нулю: , .

- Равнопеременным  вращением называется такое вращательное  движение тела, при котором его  угловое ускорение постоянно  (угловая скорость с каждым  одинаковым промежутком времени изменяется да одну и ту же величину): , .

Равномерное: => => . Произвольную константу С определяем из начального условия: . В результате находим: . Тогда: - з-н равномерного вращательного движение твёрдого тела.

Равнопеременное: => => . Произвольную константу С определяем из начального условия: . Тогда: - з-н изменения угловой скорости при равнопеременном вращательном движении твёрдого тела.

Далее: => => . Произвольную константу С определяем из начального условия: . В результате находим: . Окончательно: - з-н равнопеременного вращательного движения твёрдого тела.

16. Какая зависимость существует между угловой скоростью вращающегося тела и числом его оборотов в минуту?

, n – число оборотов в минуту [об/мин], - угловая скорость [ ].

Пример: n=23 об/мин, найти угловую скорость тела. Решение: .

17. Как изображается угловая скорость тела в виде вектора, как определить направление этого вектора?