Шпараглка по "Матанализу"

P=lim_n→0х_n= lim_n→0y => lim_n→0z_n=P

Док-во:

Возьмем ξ>0, подберем  n>N^|, чтобы |х_n-P|<ξ, n>N^||, |y_n-P|<ξ

теперь с учетом условия:

х_n≤z_n≤y_n

P-ξ<y_n<P+ξ

P-ξ<x_n<P+ξ

P-ξ< х_n≤z_n≤y_n<P+ξ, оно будет выполнятся для n>N = max {N_ξ^|, N_ξ^||}

|z_n-P|<ξ – выполняется.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Определение предела  функции

1) x R

f:x→R

Пусть x₀ – предельная точка для множества X. Число А назыв. пределом функции f(x) в точке x₀,если для любого ξ>0 найдется Δ окрестность точки x₀(V_ξ(x₀)) такая, что для всех x≠x₀ и принадл. пересеч. Δ окрестности с множеством X (x€V_ξ(x₀) X), выполняется неравенство: |f(x)-A|<ξ(только для конечной точки), f(x)€V_ξ(A) f(x) принадлежит эпсилон окрестности точки А.

Определение предела  по КОШИ:

2) x₀-…х, то А – предел. Если последовательность x_n→x₀(x_n≠x₀) множество значений y_n=f(x_n)→А

Предел функции:

Пусть функция  y=f(x) определена на множестве D. Число а называется пределом ф-ции y=f(x) в точке x₀ и пишут limf(x)= a_n, если для любого ξ>0 сущ. Δ(ξ)>0 такое что для любого x€D

0<|x-x₀|<Δξ след нер-во |f(x)-a|<ξ

Критерий Коши:

Для того чтоб ф. y=f(x) имела предел в точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы для любого ξ>0 сущ. Δ(ξ)>0 такая что |f^|(x)-f^||(x)|<ξ, как только |x^|- x₀|<Δ(ξ) и |x^||- x₀|<Δξ. Говорят что число а есть предел функции y=f(x) при x, стремящимся к бесконечности и пишут lim_x→∞f(x)=а, если для любого ξ>0 сущ. число A(ξ)>0, такое что |f(x)-a|<ξ, как только  |x|>A(ξ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Односторонние пределы  функции

Предел справа функции f(x) в точке x₀ называется limf(x) x→x₀, x>x₀

Аналогично пределом слева функции f(x) в точке x₀ называется limf(x) x→x₀, x<x₀

lim_x→x0+0f(x) предел справа

lim_x→x0-0f(x) предел слева

Теорема связывающая односторонние  пределы и пределы функций:

для того чтобы сущ. предел функции  f(x) в точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы сущ пределы lim_x→x0f(x₀) <-> lim_x→x0-f(x)=lim_x→x0+f(x)

 

α(x) бмв x₀

lim_x→x0α(x)=0

lim_x→x0(f(x)/g(x)) [0/0]

lim_x→x0f(x)= lim_x→x0g(x)=0

 

 

§9. Односторонние пределы. Необходимое и достаточное

условия существования  предела в точке.

9.  Замечательные пределы

1ый замечательный предел:

lim_x→0(sinx/x)=1

уголBOA=x

S_ΔOBA≤S_секOBA≤S_ΔOB1A

1/2OA*BE≤1/2OA*BA(дуга)≤1/2OA*B1A

BE≤BA≤B1A

OAsinx≤OAx≤OAtgx

sinx≤x≤tgx

1≤x/sinx≤1/cosx

cosx≤sinx/x≤1

cosx=1-2sin²x/2

1-2sin²x/2≤sinx/x≤1

(1-x²/2)/1≤sinx/x≤1

sinx/x→1

2ой замечательный предел

e^iπ=-1

10. Классификация БМВ. Эквиваленты.

α(х), β(х) бмв x₀

lim_x→0(α(х)/β(х))=(k или не существует предела)

1. k≠0, то велечины  α и β одного порядка малости.

2. k=0, то БМ  α более высокого порядка малости  чем БМ β.

3. k=∞, то величина α имеет более низкий порядок малости, чем величина β.

4.если предела  не существует –> то бмв  α и β несравнимы.

 

Эквивалентные БМ

α(х), β(х) бмв  x₀

- называются эквивалентными, если предел отношения lim_x→x0(α(х)/β(х))=1

Св-ва:

1. α~β, β~γ => α~γ

lim(α/γ)=lim((α/β)*(β/γ))=lim(α/β)*lim(β/γ)=1 α и γ – эквивалентные БМ

2. α~β => β~α

3. α~α

4. α~β => α-β Если α и β  эквивалентные БМВ, то разность  между α и β есть БМВ более  высокого порядка малости.

5. если α~α^|, a β~β^|, то предел отношения α на β равен пределу отношения α^| на β^|

lim(α/β)=lim(α/α^|)lim(α^|/β^|)lim(β/β^|)=lim(α^|/β^|)

док-во 4ого св-ва:

lim((α-β)/α)=lim((α/α)-(β/α))=1-1=0

α-β – есть величина более высокого порядка чем α.

11. Непрерывность функции. Теорема  о приращении непрерывной функции.

1.Функция f(x), определенная в окрестностях некоторой точки x_n, называется непрерывной в точке x₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны lim_x→x0f(x)=f(x₀)

2. Если функция  f(x) определена в окрестностях  точки x₀, но не явл. непрерывной в точке x₀, то ф-ция называется разрывной, а точка – точкой разрыва.

3. Функция f(x) назыв. непрерывной в точке x₀, если для любого числа ξ>0, существует такое число Δ>0, что при усл. |x-x₀|<Δ выполняется нер-во: |f_x-f_x0|<ξ

4. Функция f(x) назыв. непрерывной в точке х=x₀, если приращение в точке х₀ явл. БМВ f(x)=f(x₀)+α(x), α(x) - БМВ при х→x₀

5. Ф-ция называется  непрерывной, если она непрерывна  в каждой точке ООФ. Приращение  в точке x₀, назыв. разница f(x)-f(x₀)

Δf=f(x)-f(x₀)=f(x₀+Δx)-f(x₀)

Δx – приращ. аргумента, Δf – приращение функции

переменная отличается от предела  на БМВ f(x)→f(x₀)

f(x)= f(x₀)+Δf -> для того, чтобы ф. f(x) была непрерывна в точке х₀, необходимо и достаточно чтобы к БМ приращ. аргумента Δx соотв. БМ приращ. функции Δf

 

 

12.Свойства непрерывных  функций. 

1. Сумма, разность и произведение  непрерывных в точке x₀ функций – есть функция непрерывная в точке x₀.

Замечание: Справедливо как для  функций непрерывных в данной точке, так и для функций непрерывных в целом.

f(x) и g(x) (непрерывна в точке x₀)

h(x)=f(x)g(x)

lim_x→x0h(x)= lim_x→x0f(x)g(x)= lim_x→x0f(x) lim_x→x0g(x)=f(x₀)g(x₀)=h(x)

Непрерывность – свойство нетеряемое в процессе арифметических операций.

2. Частное двух непрерывных функций  f(x)/g(x) есть непрерывная функция при условии, что g(x)→не ровно 0, в точке x₀

3. Суперпозиция непрерывных функций  – есть непрерывная функция.

4. Если y=f(x) непрерывная в x₀, тогда f(x₀)=y₀, тогда x=g(y) будет непрерывна в точке y₀

5. Все элементы функции непрерывны в своей области. Непрерывность некоторых элементарных функций:

1. f(x)=C C=const, непрерывная функция на всей ООФ

2. рациональная функция:

f(x)=(a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n)/(b₀xⁿ+b₁x^n-1+…+b_n) – непрерывна для всех х, кроме тех при которых знаменатель обращается в ноль.

таким обр. функция этого вида непрерывна на все оболасти определиния.

3. Тригонометрическая ф-ция непрерывна  на своей ООФ

4. f(x)=x – непрерывна lim_x→x0f(x)=f(x₀), lim_x→x0x=x₀

5. xⁿ=x*x…xⁿ (n-раз) xⁿ-непрерывна.

Св-ва:

1) Любой многочлен явл. непрерывной функцией P_n=a_nxⁿ+a_n+1x^n-1+…+a_n

2) Любая дробно-рациональная функция  явл. рациональной в области  задания. P_n(x)/Q_n(x)

Теорема: Любая функция, полученная из элементарных путем конечного  применения арифметических операций, или операций суперпозиции функции (обратной) является непрерывной в обл. задания.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Непрерывность суперпозиции  функции.

Т: Пусть функция φ(y) определима в промежутке y, а ф-ция f(x) – в промежутке x, причем значение последовательности функции не выходит за пределы Y, когда x изменяется в Х.

Если f(x) непрерывна в точке x₀ и x, а φ(y) непрерывна в соотв. точках y₀=f(x) и y, то и сложная функция φ(f(x)) будет непрерывна в точке x₀.

Док-во:

ξ>0, так как φ(y) непрерывна при y=y₀, то по ξ найдется такое Δ>0, что из |x-x₀|<Δ следует |φ(y)-φ(y₀)|<ξ

С другой стороны ввиду непрерывности f(x) при x=x₀ по Δ найдется такое Δ>0, что из |x-x₀|<Δ след. |f(x)-f(x₀)|=|f(x)-y₀|<Δ => |φ(f(x))-φ(y₀)|=|φ(f(x))-φ(f(x₀))|≤Δ след. φ(f(x)) непрерывная в точке x₀.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Теоремы Больцмана-Коши

1. Теорема о нулях непрерывной  функции:

Если функция  f(x) непрерывна на отрезке (a,b) и в точках а и b принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдется точка с, для которой f(c)=0

Док-во:

I₀=[a,b]

I₁=[a,b₁]

I₂=[a₁,b₁]

I₀ I₁ I₂

f(a_n)≤0, a_n→с

f(b_n)≥0, b_n→с

lim_n→∞f(a_n)≤0

lim_n→∞f(b_n)≥0 => f(c)=0

2. Теорема о промежуточном значении

Если непрерывная функция  f(x) в точке а и b принимает значение f(a)=A, и f(b)=B, то функция принимает все промежуточные значения от a до b.

Док-во:

С€(A,B)

g(x)=f(x)-C

g(a)=f(a)-C=A-C<0

g(b)=f(b)-C=B-C>0

g(c)=0 => f(c)=C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. Теорема Вейерштрасса 

 – об ограниченности непрерывной ф-ции.

O: Если функция f(x) определена на [a, b] и непрерывна, то она ограничена. m≤f(x)≤M

Док-во:

f(x) – не ограничена сверху, x_n€[a, b]

f(x_n)>n  lim_n→∞f(x_n)=∞

f(x_n)>f(x_n-1)

x_n1 I₀   I₀ I₁ I₂

x_n2 I₁ 

x_n3  I₂   {x_nk}

      I₃

 – о наименьшем и наибольшем значении функции.

f(x) x₀  f(x)≤ f(x₀) y₀=f(x₀) – наиб.

       x₀  f(x)≥ f(x₀) y₀=f(x₀) – наим.

O: Если непрерывн. функция f(x) задана на отрезке [a, b], то она имеет и наибольшее и наименьшее значение.

f(x)<M =sup(точная верхняя граница)

f(x)=

g(x)=1/(M-f(x))  1)g(x)>0 2) g(x)-непр.

Следств: непрерывн. функция заданная на отрезке принимает все значения от наименьшего до наибольшего.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16. Классификация разрывов.

Точка x₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в x₀ или не является непрерывной в этой точке.

O: точка x₀ называется точкой разрыва 1ого рода, если в этой точке f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы. lim_x→x0+0f(x)+ lim_x→x0-0f(x)

Для выполнения этого опр. не требуется чтоб функция  была определена в x= x₀, достаточно того, что она опр. слева и справа от нее. Вывод: В точке разрыва 1ого рода функция может иметь только скачок. Точка 1ого рода – устранимая точка разрыва.

O: Точка x₀ называется точкой разрыва 2ого рода, если в этой точке f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из бесконечен.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Производная, ее механический  и геометрический смысл.

S_t=gt²/2  S_t+Δt=g(t+Δt)²/2           ΔS= S_t+Δt- S_t=g/2 * (2tΔt+(Δt)²)            V_cp=ΔS/Δt= g/2 * (2t+Δt)

V_мгн=lim_Δt→0 V_ср=gt                                  V_t=gt