Решение уравнений, содержащих параметр

Так  как  а ≠ -1  и а ≠ 1, то  .

 

 

 

 

 

Для  того  чтобы  значения  х  являлось  решением  уравнения, должно  выполняться условие х > 1, то  есть  .

Выясним,  при  каких  значениях  параметра  а,  это неравенство истинно:

, .

Так  как  а > 0, то  полученная  дробь положительна, если  1 – а⁴ > 0, то  есть  при а < 1.

Итак, при  0 < a < 1  x > 1, значит  при 0 < a < 1,  х  является корнем  исходного уравнения.

Ответ: при  а ≤ 0, а = 1  уравнение не  имеет смысла;

при   а > 1  решений нет;

при  0 < a < 1  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тригонометрические  уравнения, содержащие параметр

 

Решение любых  тригонометрических уравнений основывается на сведении их к простейшим, так же и с  теми тригонометрическими уравнениями, содержащими параметр. Рассмотрим пример.

 

Пример 7. Решить уравнение

.

Решение.  Имеем .

Достаточно рассмотреть  три случая:

1. .
2. .

.

Делая замену , получаем, что или . То есть или . Проверим, являются ли найденные значения переменной корнями. Подставляя значения переменной в уравнение, получаем, что не подходит, тогда корнями являются значения .

 

 

3. 

Делая замену , получаем или . Аналогично, как и при , проверкой устанавливаем, что только и не являются корнями. Тогда является корнем. Итак,

Ответ. При  , ;

при  ;

при  , .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

графический метод решения уравнений, содержащих параметр

 

       Существуют такие уравнения с параметром, где нужно найти, например, количество корней, корни на заданном промежутке или целые корни удовлетворяющие уравнению. Этот класс задач удобно решать построением соответствующего графика. Задачи, содержащие параметр, требуют к себе своеобразный подход, здесь необходимо грамотное и тщательное исследование. Для применения графических методов требуется умение выполнять дополнительное построение различных графиков, вести графические исследования, соответствующие данным значениям параметра. Уравнения с параметром вызывают серьезные трудности логического характера. Каждое такое уравнение – это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства невозможно, но, тем не менее, каждое из них должно быть решено. Легче всего это сделать с помощью графического представления зависимости переменной от параметра .

Пример 8.  Сколько корней для каждого значения параметра имеет уравнение:

 

 

 

 

 

 

Решение. Рассмотрим функцию . Она непрерывна и имеет производную на интервале . Найдем точки локального максимума и минимума этой функции, для этого сначала найдем производную функции :

 

Приравниваем её к нулю:  , это уравнение имеет два корня

Так как функция  непрерывна на интервале и на интервалах ,   на интервале , то точка есть точка локального максимума, а точка локального минимума функции

Найдем , используя все написанное выше, получим, что схематический график функции :

 

 

 

1. если , то прямая пересекает функцию только в одной точке.
2. то прямая пересекает функцию в двух точках.
3. если , то прямая пересекает функцию в трех точках.

Ответ: для каждого единственный корень, для два корня, для каждого три корня.

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Исследуя уравнения с  параметрами, мы имеем дело не с одним, а с целым классом семейств, порождаемых им уравнений.

Проработав значительную литературу, я пришла к выводу, что  эти вопросы в существующих  учебниках для массовых школ обделены вниманием, так как рассматриваются под грифом «для тех, кому интересно» или как материал необязательный для изучения. Но они требуют намного серьезного отношения, потому что многие реальные процессы в реальной жизни описываются уравнениями с параметрами. И я убеждена, что ничто так сильно не развивает логическое мышление как красивое решение уравнения с параметром.

Есть широкое поле деятельности для тех. Кто хочет рассмотреть  или продолжить данную тему, так  как существует ещё целый класс  неравенств, систем неравенств и уравнений  с параметрами, их решение и аналитическим  и графическим методом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

1. Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами: учеб. пособие/ П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир – Киев, 1992.
2. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1986.
3. Никольский С.М.  Алгебра и начала математического анализа: учебник для 11 класса. – М.: Просвещение, 2011.
4. Здоровенко, М.Ю. Учимся решать задачи с параметрами: рациональные уравнения и неравенства. / М.Ю. Здоровенко, В.М.  Караулов – Киров, 1999.
5. Ивлев Б.М. Задачи  повышенной трудности по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. / Б.М. Ивлев, А.М. Абрамов и др. – М.: Просвещение, 1990.
6. Потапов М.К.  Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа(дидактические материалы) для 11 класса. – М.: Просвещение, 2012.

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 

 

Найти все значения параметра  , при каждом из которых уравнение

 имеет  ровно четыре корня.

 

Решение:  Функция определена на множестве R для каждого значения  . Она четная, так как .

 

Обозначим через t, Уравнение

 

имеет четыре корня только тогда, когда  оно имеет два  положительных корня(в этом случае будет уже четыре корня: ). Это условие выполняется тогда и только тогда, когда:  , ,

 

то есть,                                    

Решениями системы неравенств являются все  из множества . Следовательно, для каждого из этих значений   исходное уравнение имеет ровно четыре корня.

 

 

 

 

Найти все значения параметра , при каждом их которых уравнение

 

имеет ровно три  корня.

Решение. Рассмотрим функцию . Она определена для всех , кроме нуля.                                                                          Для функцию можно задать формулой , но этой параболе принадлежат только те точки, для которых . Вершина параболы находится в точке и пересекает ось ординат в .                                    
Для функцию можно задать формулой

. Этому графику  принадлежат лишь те точки  параболы  с вершиной , для которых . Построим график:

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение имеет ровно  три корня только тогда, когда  прямая пересекает график функции ровно в трех точках, то есть только при

 

 

 Для каждого значения параметра решить систему уравнений:

 

Решение. Складывая и вычитая уравнения, получаем:

 

 

Так как синус определён  только на промежутке , данная система имеет решение только при . Тогда перепишем уравнения, подставив вместо параметра ноль:

  

Из этой системы следует, что

 

Ответ: для нет решений;  
для

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для каждого значения параметра  решить уравнение:

 

Решение. После преобразований уравнение примет вид

, обозначим  через t:

 

После решения квадратного  уравнения относительно параметра  получим, что, тогда

 

так как  , , под корнем должно находиться неотрицательное число, поэтому

 

1)                                            2)  

                                                                   

                                                       

Ответ: при ;

 при  .

 

 

 

 

 

 

Найдите все значения параметра р, при каждом из которых число различных корней уравнения

  (1) равно числу различных корней уравнения (2)

Решение. При уравнение (1)  равносильно уравнениям

 

Графиком дробно-линейной функции  является гипербола.

Для каждого числа уравнение имеет единственный корень , поэтому Е(у)= и каждое свое значение функция принимает один раз.  Если , т.е. если р=0 или р = 7, то уравнение (1) не имеет корней. При каждом из остальных р уравнение (1) имеет единственный корень.

Если р+3=0, то р= -3 и уравнение (2)  линейное. У него один корень х =. Поэтому р =-3 удовлетворяет условию задачи.

При уравнение (2) - квадратное. Найдем его дискриминант:

D/4 = (p + 9)²-27(р + 3) = р² -9р = р(р-9). Если D> 0, т.е. если р(-;0) (9;+), то уравнение (2) имеет 2

различных корня. Поэтому такие р не удовлетворяют условию задачи.

 

 

 

Если 0<р<9, то уравнение (2) не имеет корней, т.к.        

D < 0. Для таких р уравнение (1) не имеет корней только при р=7 Значит, только р = 7 удовлетворяет условию задачи.

Если р=0, то уравнение (1) не имеет корней, а уравнение (2) имеет 1 корень. Если р = 9, то уравнения (1) и (2) имеют по одному корню. Поэтому р=9 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: -3, 7, 9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решить уравнение:

 

Решение. Обозначим через t и перепишем в виде:

 

Решая это квадратное уравнение, получаем:

 уравнение  имеет смысл только при , поэтому

 

 

Так как  и ,то 

 

 

 

 

 
 

 

Учитывая ограничения  дискриминанта, параметр определен  на промежутке

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:  
1) ,

при ; при нет решений.

2),

при ; при нет решений;