Решение уравнений, содержащих абсолютную величину (модуль)

Государственное бюджетное  общеобразовательное учреждение

Челно-Вершинская средняя  общеобразовательная школа

(Образовательный центр)

муниципального района Челно-Вершинский

Самарской области

 

 

Окружная научно-практическая конференция

«Первые шаги в науку»

Секция «математика»

 

 

 

Исследовательская работа

«Решение уравнений,

содержащих  абсолютную величину (модуль)»

 

 

 

Автор:

ученица 8 класса «В» 

Мурзякова Надежда;

Руководитель  проекта:

Телегова Т.П.

 

 

 

с. Сергиевск

2012 год

 

Содержание.

 

Введение 

Глава 1. Теория уравнений, содержащих абсолютную величину (модуль).

1. Понятие модуля. Основные свойства.
2. Методы решений уравнений, содержащих абсолютную величину (модуль).

1. Метод решения уравнений вида |f(x)|=c, где с –

некоторое число.

2. Метод решения уравнений вида |f(x)|=g(x),

         где f(x) и g(x) – некоторые функции.

3. Метод решения уравнений вида |f(x)|=|g(x)|.
4. Метод промежутков.
5. Графическое решение простейших уравнений, содержащих знак модуля.
6. Метод введения новой переменной.
7. Модуль как расстояние на числовой прямой (геометрическая интерпретация модуля).

Глава 2. Задания  повышенной трудности, задания олимпиад, ЕГЭ   разных лет.

Заключение.

Литература.

 

 

 

 

 

Введение.

Актуальность. Принимая участие в различных олимпиадах по математике, решая задания малого мехмата МГУ, я нередко сталкивалась с уравнениями, содержащими знак модуля. В 8 классе на уроках алгебры мы решали простейшие уравнения с модулем. Однако для более глубокого изучения данной темы времени на уроках не хватает. Учитывая, что уровень олимпиадных заданий достаточно высок и, как правило, я испытывала трудности в решении таких уравнений, мне стало интересно рассмотреть некоторые методы решений уравнений, содержащих модуль. В дальнейшем эти знания  могут пригодиться на ЕГЭ.

Объект исследования: решение уравнений, содержащих абсолютную величину (модуль).

Предмет исследования: уравнения, содержащие абсолютную величину (модуль).

Цель учебно-исследовательской  работы: освоить некоторые способы решения уравнений, содержащие знак модуля.

Задачи.

1. Изучить теоретический материал.
2. Рассмотреть примеры с решениями и закрепить знания путем решения заданий повышенной трудности, заданий различных олимпиад, вариантов ЕГЭ,
3. В дальнейшем полученные знания применять при решении уравнений, содержащих знак модуля, в старших классах.

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Теория уравнений, содержащих абсолютную величину (модуль).

 

1. Понятие модуля. Основные свойства.

Слово «модуль» произошло  от латинского слова «modulus», что в  переводе означает «мера». Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании  и других точных науках.

В архитектуре-это исходная единица измерения, устанавливаемая  для данного  архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике-это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения  различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и т.п.

Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального  напряжения в материале к относительному удлинению.

Рассмотрим понятие  модуля в математике.

Определение. Модулем, или абсолютным значением действительного числа а называется число, обозначаемое через |а| и определяемое следующим образом:

                                  а, если а>0,

                   |а|=    

                                  -а, если а<0.

Таким образом, модуль любого действительного числа неотрицателен.

Модуль - абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета   до точки на числовой прямой.

Рассмотрим некоторые  свойства модулей.

|a|= |-a|;

|a_1*a_2*…*a_n|=|a₁|_*|a₂|_*…|_*a_n|;

|a+b|<|a|+|b|;

|a-b|>||a|-|b||;

 √a²=|a|.

2. Методы решений уравнений, содержащих абсолютную величину (модуль).

Уравнение - это равенство, содержащее переменные.

Уравнение с модулем - это уравнение, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Например: |x|=1

Решить уравнение - это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.

1.2.1. Метод решения уравнений вида |f(x)|=c, где с – некоторое число.

Пример 1. Решите уравнение |x + 2| = 3.

Решение.  Рассмотрим два случая.

1)  x+2>0. В этом случае уравнение принимает вид: x+2=3, его решением является х=1.  Условие x+2>0 для х=1 выполняется, поэтому найденное значение является также и корнем исходного уравнения.

2)  х+2<0. Уравнение принимает вид x+2= -3, откуда х=-5. Условие x+2<0 для х=-5 выполняется, поэтому найденное значение является также и корнем исходного уравнения.

Ответ:  -5; 1.

Теперь можно записать в общем  виде метод решения уравнений вида |f(x)|=c, где с – некоторое число. Выделим три случая.

1) c>0. Тогда, рассуждая, как в разобранной задаче, получим равносильный переход:

                              f(x)=c,

|f(x)|=с  

                              f(x)= -c.

2) c=0. Поскольку модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равняется нулю, то при с=0 уравнение |f(x)|=с   равносильно уравнению f(x)=0.  

3) c<0. Так как модуль числа не может принимать отрицательных значений, при c<0 уравнение |f(x)|=с не имеет решений.

Рассмотрим теперь более  сложную задачу, где в правой части  уравнения стоит не константа, а  некоторая функция, зависящая от х.

 

2. Метод решения уравнений вида |f(x)|=g(x),

где f(x) и g(x) – некоторые функции.

Пример 2. Решите уравнение |2x+5|=3x-1.

Решение. Рассмотрим два  случая.

1)  2x+5>0. В этом случае уравнение принимает вид: 2x+5=3х-1, его решением является х=6.  Условие 2x+5>0 для него выполняется, поэтому х=6 является  корнем исходного уравнения.

2) 2х+5<0. Уравнение в этом случае сводится к такому: -(2x+5)=3х-1, откуда х=-4/5. Однако для этого значения не выполнено условие 2x+5<0, поэтому х=-4/5 не является  корнем исходного уравнения.

Ответ:  6.

Разобравшись с решением примера 2, можно записать в общем  виде метод решения уравнений вида |f(x)|=g(x), где f(x) и g(x) – некоторые функции.

Справедлив равносильный переход

                                     f(x)>0,

                                     f(x)=g(x);                                 (*)

|f(x)|=g(x)  

                                    f(x)<0,                 (1)

                                    f(x)=-g(x).

Этот переход можно записать и в другом виде. Заметим, что систему (1) можно заменить системой

                                     f(x)<0,                

                                     f(x)=-g(x).

 

Выполним равносильные преобразования:

                                     f(x)>0,                                     g(x)>0,     

                                     f(x)=g(x);                                 f(x)=g(x);

|f(x)|=g(x)                                  

                                     f(x)<0,                                 g(x)>0,

                                     f(x)=-g(x).                                 f(x)=-g(x).

           f(x)=g(x),

           f(x)=-g(x);

           g(x)>0.              

Таким образом      

                                                       f(x)=g(x),

          |f(x)|=g(x)                            f(x)=-g(x);          (**)

                                                      g(x)>0.    

 

В некоторых задачах удобнее  пользоваться равносильным переходом (*), а в некоторых – переходом (**). Например, решая уравнение 

|х|=5х² – 12х – 8, гораздо удобнее воспользоваться переходом (*), т.к. при использовании (**) пришлось бы проверять для найденных значений выполнение равенства 5х² – 12х – 8>0; применяя же (*) получаем два неравенства х>0 и x<0.

Решение уравнений  с использованием  переходов  (*) и (**) рассмотрим в Главе 2.

 

3. Метод решения уравнений вида |f(x)|=|g(x)|.

Заметим, что модули чисел a и b равны в одном из двух случаев:  a=b или a=- b. Таким образом, имеет место следующий  равносильный переход

                                                           f(x)=g(x),                                                  

                  |f(x)|=|g(x)|                                f(x)=-g(x).

 

Пример 3. Решите уравнение |х²+4х+13|=| х²+9х+8|.

Решение.

                                                 х²+4х+13= х²+9х+8,                      5х-5=0,

|х²+4х+13|=| х²+9х+8|            

                                                 х²+4х+13= -  (х²+9х+8).               2х²+13х+21=0.

 

 

Решим квадратное уравнение: D=13² – 4*2*21=1, х_1,2=(- 13+1)/4,

х₁= - 7/2, х₂= - 3. Решением линейного уравнения 5х-5=0 является х₃=1.

Ответ.  -7/2;  -3;  1.

 

4. Метод промежутков.

Если уравнение содержит несколько знаков модуля, то при  его решении можно использовать метод, который заключается в  рассмотрении промежутков, на которых  функции, стоящие под знаком модуля, не меняют своего знака.

Алгоритм решения уравнений, содержащих несколько модулей.

1. Найти нули подмодульных выражений, то есть выражения в каждом модуле приравнять к нулю; решить каждое уравнение.
2. Отметить корни каждого уравнения на координатной оси. Таким образом, вся координатная ось разбивается на некоторое число промежутков (каждый из концов промежутков включают в один из двух соседних промежутков).
3. Решать исходное уравнение в каждом промежутке, раскрывая все модули в уравнении для данного промежутка.
4. На каждом промежутке отыскиваются корни того уравнения, которое на этом промежутке получается, и затем отбираются те из них, которые принадлежат данному промежутку. Они и будут корнями исходного уравнения на рассматриваемом промежутке.
5. Объединить все корни, найденные на промежутках: они и есть корни исходного уравнения.

Пример 4. Решить уравнение | х – 1| + | х – 2| + | х – 3| = 6, используя данный алгоритм.

1. Найдем нули подмодульных выражений.

     х – 1=0            х = 1;  х – 2=0            = 2;   х – 3=0            х = 3.

2. Отметим нули подмодульных выражений на координатной оси, разделив его на промежутки.

Получилось 4 промежутка: а) (- ; 1]; б) (1; 2]; в) (2; 3]; г) (3; + ).

3. 4. Решим исходное уравнение на каждом из промежутков, раскрывая модули для данного промежутка.

а) ( - ; 1]:  | х – 1| = – (х – 1) ; |х – 2| = – (х – 2); | х– 3| = – (х – 3 ).

На данном промежутке уравнение |х – 1| + |х – 2| + |х – 3| = 6 равносильно уравнению – (х – 1) – (х – 2) – (х – 3) = 6. Решая это уравнение, получаем корень: х = 0. Этот корень принадлежит промежутку  ( –  ; 1], следовательно на рассматриваемом промежутке исходное уравнение имеет единственный корень х = 0.