Решение уравнений и неравенств графическим способом

Уравнение  .

Данное уравнение имеет  тогда и только тогда, когда

.

Множество решений записывается в виде

.

Заметим, что  .

Особо отметим некоторые  частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного  уравнения:

а
0
1
-1

Уравнение  .

Данное уравнение разрешимо  при любом  . Все решения задаются формулой

.

Заметим, что  .

Особо отметим некоторые  частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного  уравнения:

а
0
1
-1

Уравнение  .

Данное уравнение разрешимо  при любом  . Все решения задаются формулой

.

Особо отметим некоторые  частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного  уравнения:

а
0
1
-1

Заметим, что  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тригонометрические  неравенства

 

Два тригонометрических выражения, соединенных между собой знаками «>» или «<», называются тригонометрическими неравенствами.  Тригонометрическое неравенство может быть тождественным (безусловным) и условным.

Тождественные неравенства доказываются, а условные – решаются. Тригонометрическое неравенство  называется тождественным, или безусловным, если оно справедливо при всех допустимых значениях неизвестных, входящих в неравенство.

Например:

1. tg²x ≥0 при всех xÎ R, кроме x= ^p/₂(2n+1), n Î Z;
2. ½sinx½ £ 1 при всех x Î R;

     

           3.  six + cosx  ³ Ösinx cosx, x Î [2np; ^p/₂ + 2np], n Î Z.

                    2

Тригонометрическое неравенство  называется условным, если оно справедливо  не при всех значениях неизвестных, входящих в неравенство.

Например:

1. sin x  ³  ½, что выполняется только на отрезках  [^p/₆+2kp; ⁵/₆p+2kp], k Î Z;

2. cos x £ 0, что выполняется только на отрезках [^p/₂ + 2np; ³/₂ p+2np], n Î Z;

3. ctg x < – Ö3, что выполняется в интервале (–^p/₆+np;np), n Î Z.

Решить тригонометрическое неравенство – это значит найти множество значений неизвестных, входящих в неравенство, при которых неравенство выполняется. Мы знаем, что тригонометрические функции sin x и cos x имеют наименьший положительный период 2p, а tg x и ctg x  имеют наименьший положительных период p. При решении неравенств с тригонометрическими функциями следует использовать периодичность этих функций, их монотонность на соответствующих промежутках.

Для того чтобы решить неравенство, содержащее только sin x  или только cos x, достаточно решить это неравенство на каком-либо отрезке длины 2p. Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида 2np, где n Î Z. Для неравенств, содержащих только tg x и ctg x, решения находятся в промежутке длиной p, а множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида np, где n Î Z. Тригонометрические неравенства можно решать, прибегая к графикам функций y=sin x, y=cos x, y=tg x и y=ctg x. Решим неравенства, пользуясь окружностью единичного радиуса. При решении тригонометрических неравенств в конечном итоге мы будем приходить к неравенствам sinx ^>_<a, cos x ^>_<a, sin x  ^³_£ a, cos x ^³_£a, tg x ^>_<a,  ctg x  ^>_<a, tg x ^³_£ a, ctg x ^³_£ a.

 

Составим алгоритм решения.

1. Если аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.

2. Строим в одной координатной  плоскости tOy графики функций y=sint  и y=a.

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков (поближе к оси Оу), между которыми синусоида располагается ниже прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное  неравенство для аргумента t, учитывая период синуса (t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному  аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решение тригонометрических неравенств с помощью графиков надежно  страхует нас от ошибок только в  том случае, если мы грамотно построим синусоиду.

 

Примеры решения

Для построения графика функции y=sinx выберем единичный отрезок, равный двум клеткам. Тогда по горизонтальной оси Ох значение π (≈3,14) составит шесть клеток. Рассчитываем остальные значения аргументов (в клетках).

Вот как будет выглядеть координатная плоскость.

Эти точки мы взяли из таблицы  значений синуса.   Также используем свойство нечетности функции y=sinx (sin (-x)=-sinx), периодичность синуса (наименьший период Т=2π) и известное равенство: sin (π-x)=sinx. Проводим синусоиду

.  

Проводим прямую.

Теперь нам предстоит определить такие две точки пересечения  синусоиды и прямой, между которыми синусоида располагается ниже, чем  прямая. Крайняя точка справа определена, абсцисса ближайшей искомой отстоит  от начала отсчета влево на 8 клеток. Построим ее и определим.

Между этими (выделенными) значениями аргумента и находится та часть  синусоиды, которая лежит ниже данной прямой, а значит, промежуток между  этими выделенными точками удовлетворяет  данному неравенству. Учтем период синуса, запишем результат в виде двойного неравенства, а ответ в  виде числового промежутка.

Решим второе неравенство.

Синусоиду строим так же, а прямая будет параллельна оси Оt и отстоять от нее на 1клетку вниз.

Определяем промежуток, внутри которого точки синусоиды лежат ниже прямой.

Записываем промежуток значений введенной переменной t. Возвращаемся к первоначальному значению аргумента (2х). Все части двойного неравенства делим на 2 и определяем промежуток значений х. Записываем ответ в виде числового промежутка.

Аналогично решаем и третье неравенство.

 

 

 

 

Заключение

При выполнении данной работы я изучил свойства числовых неравенств, методы решения линейных, квадратных, показательных, логарифмических и тригонометрических неравенств, что позволило мне расширить свой математический кругозор и заглянуть за рамки программы. Рассмотрев графики функций: у = ax²+bx+c, у = k /x, у = √x, у =|x|, у = x³, у = x⁴, у = ³√x, я заметила, что все эти графики строятся по правилу параллельного переноса относительно осей x и y.

На примере решения  квадратного уравнения можно  сделать выводы, что графический  способ применим и для уравнений  степени n.

Графические способы решения  уравнений красивы и понятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков могут  быть приближёнными.

 Работа над данной  темой доставила мне не только  трудности, но и удовольствие.

Я восстановил в памяти весь теоретический материал, углубила и расширила свои знания по методам решения неравенств.

Материалы моей работы можно  использовать для самостоятельной  подготовки к тестовому контролю знаний, используемому на централизованном тестировании, вступительных и выпускных  экзаменах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы и источников

 

1. Глейзер Г.И. История математики в школе. VII–VIII классы. – М.: Просвещение, 1982.
2. Журнал Математика №5 2009; №8 2007; №23 2008.
3. Графическое решение уравнений сайты в Интернете: Тол ВИКИ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3–6.htm.
4. Алгебра в таблицах. 7-11 кл.: Справочное пособие/Авт.-сост. Л.И.Звавич, А.Р.                  Рязановский. 4-е изд., стереотип – М.: Дрофа, 2000.
5. Бородуля И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства: Кн. для учителя. – М.:    Просвещение, 1989.
6. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: Кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1988.
7. Крамор В.С., Михайлов П.А Тригонометрические функции: (Система упражнений для самостоят. изучения). Пособие для учащихся. 2-е изд., доп. – М.: Просвещение, 1983.
8. Учебно-методическая газета: «Математика». – М.: Первое сентября, 2007.
9. Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.
10. Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.
11. Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.
12. Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.
13. Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание.

1.Введение.

2. Основная часть

2.1. Теоретические сведения  о числовых неравенствах.

2.2.Линейное неравенство  с одной переменной.

2.3. Линейное уравнение.

2.4. Линейная функция.

2.5. Квадратное неравенство.

2.6. Квадратичная функция.

2.7. Показательные неравенства.

2.8. Логарифмические неравенства.

2.9. Тригонометрические уравнения.

2.10. Тригонометрические неравенства.

3. Заключение.