Решение дифференциальных уравнений методами Эйлера и Милна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Метод Эйлера – разные подходы к построению

Рассмотрим несколько  способов вывода метода Эйлера для  решения ОДУ. При этом будем считать, что вычисления проводятся с расчетным шагом 

 

расчетными точками (узлами) служат точки

 

промежутка  и целью является построение таблицы

			…
			…

приближенных значений решения задачи (2.1)–(2.2) в расчетных точках .

 

Отметим, что все рассматриваемые  численные процессы решения задачи Коши для ОДУ, и в частности, метод Эйлера, являются шаговыми методами (являясь итерационными лишь по форме),  в которых на каждом шаге выполняются однотипные действия; при этом уточнения решения (характерного для итерационных методов) здесь не происходит.

 

1. Геометрический способ.

Пользуясь тем, что в точке  известно и значение решения (согласно (2.2)), и значение его производной (согласно (2.1)), можно записать уравнение касательной к графику искомой функции

 в точке :

(3.1)

При достаточно малом шаге ордината

(3.2)

этой касательной, полученная подстановкой в правую часть (3.1) значения , по непрерывности должна мало отличаться от ординаты решения задачи (2.1)–(2.2). Следовательно, точка пересечения касательной (3.1) с прямой может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую

,

которая уже приближенно отражает поведение касательной к в точке . Подставляя сюда , иначе, пересекая эту «касательную» прямой , приближение значения значением

,

и т.д. В итоге этого  процесса, определяемого формулой

,   (3.3)

и называемого (явным) методом Эйлера, график решения данной задачи Коши (2.1)–(2.2) приближенно представляется ломаной, составленной из отрезков приближенных касательных (рис. 1), откуда происходит другое название метода (3.3) – метод ломанных [2].

 

Из геометрической интерпретации  метода Эйлера видно, что с уменьшением  шага увеличивается точность расчетов, а следовательно и конечного результата.

 

 

2. Применение формулы Тейлора.

Описываемый здесь способ вывода метода Эйлера тесно связан с предыдущим. Линеаризуя решение в окрестности начальной точки по формуле Тейлора, имеем

 

Отсюда при  получаем

(3.4)

Точное равенство (3.4), переписанное в виде

 

говорит о том, что здесь  мы имеем одновременно как саму формулу  Эйлера для вычисления значения , так и ее остаточный член

(3.5)

где – некоторая точка интервала .

 

Остаточный член (3.5) характеризует локальную (или, иначе, шаговую) ошибку метода Эйлера, т. е. ошибку, совершаемую на одном шаге. Очевидно, что от шага к шагу, т. е. при многократном применении формулы (3.3), возможно наложение ошибок. За шагов, т. е. в точке , образуется глобальная ошибка.

Известный факт: порядок глобальной ошибки (относительно шага ) на единицу ниже, чем порядок локальной ошибки, а порядком глобальной ошибки и определяется порядок соответствующего численного процесса решения задачи Коши.

 

Таким образом, локальная  ошибка метода Эйлера, согласно (3.5), есть , глобальная - , т.е. метод Эйлера относится к методам первого порядка (т.е. имеет первый класс точности). Это означает, что если, например, уменьшить шаг в 10 раз (на порядок), точность результата повысится тоже в 10 раз (на один порядок) [2].

 

3. Разностный способ.

Рассматривая уравнение  (2.1) в точке , с учетом  (2.2) имеем равенство

 

Применяя к его левой  части аппроксимацию производной  правым разностным отношением первого  порядка точности

 

получаем 

 

что идентично равенству  (3.4), поставляющему формулу для вычисления вида (3.2) и локальный остаточный член (3.5). Ясно, что для получения общей расчетной формулы (3.3) можно было сразу применить аппроксимацию по формуле

 

в равенстве

(3.6)

заменив неизвестное точное значение известным приближенным значением .

 

Порядок получающегося таким способом метода численного интегрирования дифференциальной задачи (2.1)–(2.2) совпадает с порядком аппроксимации производной в левой части уравнения (2.1) [2].

 

 

 

 

4. Квадратурный способ

Проинтегрируем левую  и правую части уравнения (2.1) в границах от до :

 

Отсюда, с учетом того, что  одной из первообразных для служит , получаем

 

или, с использованием начального условия (2.2),

 

Таким образом, данное дифференциальное уравнение (2.1) с начальным условием (2.2) преобразовалось в интегральное уравнение. При из него получится равенство

 

Применение к интегралу  в правой части равенства (3.7) простейшей (одноточечной) формулы левых прямоугольников, имеющей в общем случае вид

 

дает приближенную формулу

 

правая часть которой, очевидно, совпадает с выражением (3.2) для подсчета значения . В общем случае расчетная формула (3.3) метода Эйлера получается численным интегрированием посредством простейшей формулы левых прямоугольников в равенстве

 

в предположении, что на каждом i-ом шаге в роли начальной точки выступает точка . Зная точность используемой в (3.8) квадратурной формулы, легко прийти к тому же выражению локальной ошибки метода Эйлера, что и при других способах его построения [2].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Несколько простых модификаций метода Эйлера

Разовьем последний из подходов к построению метода Эйлера. Очевидно, применение к интегральному  равенству (3.8) других простейших квадратурных формул будет порождать новые методы численного интегрирования задачи Коши (2.1)–(2.2).

 

1. Неявный (обратный) метод Эйлера

Если в (3.8) использовать простейшую квадратурную формулу правых прямоугольников

 

придем к методу

(4.1)

Этот метод называется неявным (или обратным) методом Эйлера, поскольку для вычисления неизвестного значения по известному значению требуется решать уравнение, в общем случае нелинейное. Данный метод, также как и явный метод Эйлера (3.3), является методом первого порядка.

 

2. Неявный метод Эйлера-Коши (метод трапеций)

Применение к интегралу  в (3.8) простейшей квадратурной формулы трапеций, имеющей в общем случае вид

 

приводит тоже к неявному методу

(4.2)

который называется неявным методом Эйлера-Коши или методом трапеций. Квадратурная формула трапеций, как известно, на порядок точнее формул правых и левых прямоугольников. Отсюда вытекает более высокий (на единицу) порядок точности метода трапеций (4.2) по сравнению с явным и неявным методами Эйлера(3.3) и (4.1), т.е. метод трапеций (4.2) – это метод второго порядка.

 

3. Метод Эйлера-Коши (метод Хойна)

Некоторый интерес представляет совместное применение явного метода Эйлера и неявного метода Эйлера-Коши.

По форме равенство  (4.2) представляет собой скалярную задачу о неподвижной точке относительно неизвестного значения . Поэтому, если в правую часть (4.2) подставить хорошее начальное приближение , подсчитываемое по формуле (3.3), то тогда само это равенство можно считать шагом метода простых итераций для уточнения этого значения. Таким образом, получаем гибридный метод

(4.3)

который называют (явным) методом Эйлера-Коши или методом Хойна (или Хьюна[5]). Данный метод имеет второй порядок точности.

 

4. Метод Эйлера-Коши с итерационной обработкой

Можно достичь большей точности, если, исходя из того же начального приближения

 

сделать не одну, а несколько  итераций по методу трапеций:

(4.4)

Такой вариант совместного  применения метода Эйлера и метода трапеций называют (усовершенствованным) метом Эйлера-Коши с итерационной обработкой (или, иначе, методом Эйлера с пересчетом). Делать много итераций по формуле (4.4) не рекомендуется (обычно их выполняют не более трех-четырех). Совпадение определенного числа разрядов в полученных числах и говорит о точности, с которой решено методом простых итераций уравнение (4.2) относительно , а вовсе не о том, что с такой точностью найдено значение . Данный метод имеет второй порядок точности.

 

5. Уточненный метод Эйлера

Что бы получить следующую  модификацию метода Эйлера проинтегрируем уравнение (2.1) по отрезку . Имеем

 

откуда следует равенство

 

Применяя к последнему интегралу одноточечную квадратурную формулу средних прямоугольников, имеющую в общем случае вид 

 

 

и заменяя значения и известными приближенными значениями и соответственно, из (4.5) выводим метод для подсчета приближенного значения

(4.6)

который называется уточненным методом Эйлера [3].

 

Как известно, квадратурная формула прямоугольников (средней  точки) имеет тот же порядок точности, что и квадратурная формула трапеций, так что уточненный метод Эйлера (4.6) также является методом второго порядка. Подтверждением этого факта может служить вывод метода (4.6) на разностной основе. Применив к равенству (3.6) формулу симметричной аппроксимации второго порядка точности, получим

 

откуда после приближенной замены

 

следует (4.6).

 

Другие названия этого  метода: метод Нистрёма (Нюстрема) второго порядка, метод Милна второго порядка.

 

Обратим внимание на одно принципиальное отличие метода (4.6) от всех других рассмотренных до этого момента методов: метод (4.6) является двухшаговым. Здесь для вычисления значения привлекаются два предыдущих значения и . Двухшаговость накладывает определенные ограничения, по крайней мере, на начало численного процесса: значение не может быть найдено непосредственно этим методом с тем же шагом . Поэтому недостающую вторую начальную для процесса (4.6) точку приходится получать другим путем, например, явным методом Эйлера, а чтобы не сделать сразу большой ошибки, рекомендуется осуществлять постепенное вхождение в процесс (4.6). Так, «разгон» можно выполнить по формулам

(4.7)

а далее уже переключаться  на счет по формуле (4.6)

 

Пример 1.

Дано уравнение  с начальным условием . Найдем приближенное значение решения в точке методом Эйлера и несколькими его модификациями, принимая (т.е. за два шага).

Решение:

Для начала, найдем точное решение данного линейного уравнения. Для этого сделаем замену:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для нахождения данного интеграла используем метод интегрирования по частям, используя формулу

 

 

 

 

Принимая во внимание начальное  условие , имеем:

 

 

Отсюда можем найти  точное значение решения в точке (обозначим его )

 

Теперь проведем подсчет  приближенных значений решения

 

Явный метод Эйлера (3.3)

 

 

Начинаем процесс вычислений

 

, 

 

 

 

 

 

 

Достигли нужной точки, процесс  вычислений закончен.

(см. также приложение А).

 

Неявный метод Эйлера (4.1)

 

 

Начинаем процесс вычислений

 

, 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Достигли нужной точки, процесс  вычислений закончен.

 

Метод трапеций (4.2)

 

 

Начинаем процесс вычислений

 

, 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Достигли нужной точки, процесс  вычислений закончен.

 

Метод Хойна (4.3)

 

 

Начинаем процесс вычислений

 

,