Решение балансовых уравнений

Решение балансовых уравнений

БАЛАНСОВАЯ  МОДЕЛЬ

 

      Изучение балансовых  моделей, представляющих собой одно  из важнейших направлений и  экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения  отдельной дисциплины. Наша цель  – проиллюстрировать на примере  балансовых расчетов применение  основных понятий линейной алгебры.

ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

 

      Пусть рассматривается  экономическая система, состоящая  из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично  идет на внешнее потребление  ( конечный продукт ), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ).

 

      Обозначим через xi валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через yi – конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление ( средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. ).

 

      Таким образом, разность  xi - yi составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.

 

      Обозначим через xik часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере хk.

 

                                                                                                                    Таблица 1

 

      №                                потребление                             итого на        конечный   валовый 

 

       отрас.                                                                           внутре            продукт      выпуск

 

                                                                                            производ.          (  уi )               (   хi  )

 

  №               1          2         …         k           …         n       потребление

 

  отрас.                                                                                    ( ∑ хik )

 

           

 

            1       х11      х12        …       х1k           …         х1n            ∑ х1k                   у1                 х1     

 

           

 

         2     х21       х22        …       х2k          …         х2n          ∑ х2k               у2                х2

 

          

 

            …    …        …        …        …          …         …              …                …                …

 

            

 

             i       хi1       xi2        …        xik         …          xin            ∑ xik               yi                xi

 

            …    …        …        …        …         …          …              …                …                …

 

             n      xn1       xn2       …        xnk        …          xnn           ∑ xnk              yn                xn

 

  итого

 

  произв.

 

  затраты   ∑ хi1      ∑ xi2     …      ∑ xik       …       ∑ xin

в  k-ю

 

  отрасль

 

                                                                                                                   

 

      Очевидно, величины, расположенные  в строках таблицы 1 связаны следующими  балансовыми равенствами :

 

       х1 - ( х11 + х12 + … + х1n ) = у1    

 

          х2 - ( х21 + х22 + … + х2n ) = у2                   ( 1 )

 

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

       xn - ( xn1 + xn2 + … + xnn ) = yn

 

      Одна из задач балансовых  исследований заключается в том, чтобы на базе данных об  исполнение баланса за предшествующий  период определить исходные данные  на планируемый период.

 

      Будем снабжать штрихом  ( х’ik , y’i и т.д. ) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха – аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства ( 1 ) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.

 

      Будем называть совокупность  значений y1 , y2 , … , yn , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором :

 

       _

 

       у = ( у1 , у2 , … , yn ) ,    ( 2 )

а совокупность значений x1 , x2 , … , xn ,определяющих валовый выпуск всех отраслей – вектор-планом :

 

       _

 

       x = ( x1 , x2 , … , xn ).      ( 3 )

 

      Зависимость между  двумя этими векторами определяется  балансовыми равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных хk , содержат n2 неизвестных xik , которые в свою очередь зависят от xk.

 

      Поэтому преобразуем  эти равенства. Рассчитаем величины  aik из соотношений :

 

                xik

 

       aik = –––  ( i , k = 1 , 2 , … , n ).

 

                 xk

 

     

 

      Величины aik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты aik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что

 

       x’ik        xik  

 

      –––  = ––– = aik = const     ( 4 )     

 

        x’k        xk

 

      Исходя из этого предложения имеем

 

       xik = aikxk ,         ( 5 )

т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска xk. Поэтому равенство ( 5 ) называют условием линейности прямых затрат.

 

      Рассчитав коэффициенты  прямых затрат aik по формуле ( 4 ), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу

 

                       a11 a12 … a1k … a1n

 

                       a21 a22 … a2k … a2n

 

             A=     ………………….

 

                       ai1 ai2 … aik … ain

 

                       an1 an2 … ank … ann

которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы aik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной.

 

      Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл.1

 

      Подставляя значения  xik = aik = xk во все уравнения системы ( 1 ), получим линейную балансовую модель :

 

       x1 - ( a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ) = y1

 

       x2 - ( a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ) = y2                      ( 6 )

 

       ……………………………………

 

       xn - ( an1x1 + an2x2 + … + annxn ) = yn   ,     

характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1

 

      Система уравнений  ( 6 ) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:

 

          _        _    _

 

       Е·х - А·х = У , или окончательно

 

                     _     _

 

       ( Е - А )·х = У ,            ( 6' )

где Е – единичная матрица n-го порядка и

 

                     1-a11   -a12 …  -a1n

 

      E - A=     -a21   1-a22 …  -a2n

 

                       …………………

 

                       -an1    -an2 … 1-ann

 

     

 

      Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных ( xi и  yi ). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальные n - переменных.

 

      Будем исходить из  заданного ассортиментного вектора  У = ( y1 , y2 , … , yn ) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = ( х1 , х2 , … хn ).

 

      Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей:

 

 

 

              

 

                            

 

                                                                                                                                        табл.2

 

         № отрас               Потребление              Итого           Конечный       Валовый    

№                                                                           затрат           продукт          выпуск

отрас                          1                         2

 

                                          

 

                                           0.2                      0.4  

 

                 1               100                    160                  260                  240                    500

 

                                           0.55                    0.1

 

                 2               275                     40                    315                  85                     400     

 

  Итого затрат                                                                575

 

  в k-ю                       375                     200       

 

  отрасль …                                                            575                            

 

      Пусть исполнение баланса  за предшествующий период характеризуется  данными, помещенными в табл.2

 

      Рассчитываем по данным  этой таблицы коэффициенты прямых  затрат:

 

                100                       160                       275                           40

 

       а11 = –––– = 0.2 ; а12 = –––– = 0.4 ; а21 = –––– = 0.55 ; а22 = –––– = 0.1

 

                 500                       400                      500                          400

 

      Эти коэффициенты записаны  в табл.2 в углах соответствующих  клеток.

 

      Теперь может быть  записана балансовая модель ( 6 ), соответствующая данным табл.2

 

       х1 - 0.2х1 - 0.4х2 = у1

 

       х2 - 0.55х1 - 0.1х2 = у2

 

      Эта система двух  уравнений может быть использована  для определения х1 и х2 при заданных значениях у1 и у2, для использования влияния на валовый выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д.

 

      Так, например, задавшись  у1=240 и у2=85, получим х1=500 и х2=400, задавшись у1=480 и у2=170, получим х1=1000 и х2=800 и т.д.

 

  РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ  УРАВНЕНИЙ

С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ.

 

      Вернемся снова к  рассмотрению балансового уравнения  ( 6 ).

 

      Первый вопрос, который  возникает при его исследование, это вопрос о существование  при заданном векторе У>0 неотрицательного  решения х>0, т.е. о существовании  вектор-плана, обеспечивающего данный  ассортимент конечного продукта  У. Будем называть такое решение  уравнения ( 6' ) допустимым решением.

 

      Заметим, что при любой  неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя.

 

      Так, например, если

 

        

 

        0.9  0.8                         0.1   -0.8    и уравнение ( 6' )

А=                 , то Е - А =

 

        0.6  0.9                        -0.6  0.1

запишется в виде    0.1   -0.8    х1     у1    или в развернутой форме

 

                                 -0.6    0.1    х2     у2

 

       0.1х1 - 0.8х2 = у1               ( α )

 

       -0.6х1 + 0.1х2 = у2

 

          

 

      Сложив эти два уравнения  почленно, получим уравнение

 

       -0.5х1 - 0.7х2 = у1 + у2,

которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х1 и х2, если только у1>0 и у2>0 ( кроме х1=х2=0 при у1=у2=0 ).

 

      Наконец уравнение  вообще может не иметь решений  ( система ( 6 ) – несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) – неопределенная ).

 

      Следующая теорема, доказательство  которой мы опускаем, дает ответ  на поставленный вопрос.

 

      Теорема.  Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0, удовлетворяющий неравенству ( Е - А )·х>0, т.е. если уравнение ( 6' ) имеет неотрицательное решение x>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет для любого У>0 единственное неотрицательное решение.

 

      При этом оказывается, что обратная матрица ( Е - А ) будет обязательно неотрицательной.

 

      Из способа образования  матрицы затрат следует, что для  предшествующего периода выполняется  равенство ( Е -А )·х' = У', где вектор-план  х' и ассортиментный вектор У' определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У'>0. Таким образом, уравнение ( 6' ) имеет одно неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение ( 6' ) всегда имеет допустимый план и матрица ( Е - А ) имеет обратную матрицу.

 

      Обозначив обратную  матрицу ( Е - А )-1 через S = || sik+ ||, запишем решение уравнения ( 6'' ) в виде

 

       _        _

 

       х = S·У          ( 7 )

 

      Если будет задан  вектор – конечный продукт  У и вычислена матрица S = ( E - A )-1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х.