Разложение кусочной функции в ряд Фурье

Считая функцию периодической, определить полупериод функции . Построить график  функции y = f(x) на интервале [0; b].

Определить коэффициенты ряда Фурье по формулам:

Составить ряд Фурье:

Вычислить первые три гармоники ряда Фурье.

Найти первое, третье и десятое приближение функции рядом Фурье.

Построить  3  графика,  где  найденные  приближения  накладываются  на  график  заданной функции на интервале [0; b].  

На интервале  [--b; 2b]  построить график функции  y = f1(x) –периодического продолжения функции y = f (x).  На этот график наложить график десятого приближения рядом Фурье.

 

График функции:

Найдем коэффициенты тригонометрического ряда по формуле:

 

 

 

 

Рассмотрим интеграл:

 

 

Первые три гармоники ряда Фурье:

Найдем первое, третье и десятое приближение функции рядом Фурье.

График функции и первое приближение:

 

График функции и третье приближение:

 

\График функции и десятое приближение:

 

Строим интервал  [--b; 2b] и график функции и 10-го приближения вместе:

 

Часть 2.

 

Считая функцию периодической  и нечетной, определить полупериод функции: 

 На интервале  [-b; b]    построить  график  функции    y = f2(x) –  продолжения  функции    y = f (x) нечетным образом.

Определить коэффициенты ряда Фурье по формулам:

Составить ряд Фурье:

Вычислить первые три гармоники ряда Фурье.

Найти десятое приближение функции рядом Фурье.

Построить  график f(x) и 10  приближение  рядом Фурье на интервале [-b; b].  

На интервале  [--3b; 3b]  построить график функции  y = f1(x) –периодического продолжения функции y = f (x).  На этот график наложить график десятого приближения рядом Фурье.

 

Продолжаем функцию нечетным образом:

  График функции:

 Тогда используем указанные формулы:

Первые три гармоники ряда Фурье:

Десятое приближение функции рядом Фурье

 

График f(x) и 10 приближение  рядом Фурье на интервале [-b; b].  

Тот же график на интервале  [--3b; 3b]

 

График f(x) и 50 приближение  рядом Фурье на интервале [-b; b].  

Часть 3.

1.  Считая  функцию  периодической  и  четной,  определить  полупериод  функции: l = b .  На интервале  [--b; b]    построить  график  функции y = f3(x) –  продолжения  функции y = f (x) четным образом.

2. Определить коэффициенты ряда Фурье по формулам:

3. Составить ряд Фурье

Вычислить первые три гармоники ряда Фурье.

Найти десятое приближение функции рядом Фурье.

Построить  график f(x) и 10  приближение  рядом Фурье на интервале [-b; b].  

На интервале  [--3b; 3b]  построить график функции  y = f1(x) –периодического продолжения функции y = f (x) четным образом.  На этот график наложить график десятого приближения рядом Фурье.

 

Продолжаем функцию четным образом:

График функции:

Тогда используем указанные формулы:

Рассмотрим интеграл:

 

 

Первые три гармоники ряда Фурье:

Десятое приближение функции рядом Фурье

 

График f(x) и 10 приближение  рядом Фурье на интервале [-b; b].  

Тот же график на интервале  [--3b; 3b]

 

График 50 приближения: