Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

 

 

2. Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например матрицу

 

  .

В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них: 

.

3) Если в матрице в ходе  преобразований появилась нулевая  строка, то ее также следует удалить.

4) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля. Рассмотрим, например, матрицу 

.

Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2: 

.

Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.

5) К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу из практического примера:

.

Сначала распишем преобразование очень подробно. Умножаем первую строку на –2: 

,

и ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на –2: 

.

Теперь первую строку можно разделить «обратно» на –2: 

.

 Как видите, строка, которую  прибавляли – не изменилась. Всегда меняется строка, к которой прибавляют.

На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче: 

 
Еще раз: ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. «Переписываю матрицу и переписываю первую строку: 

»

«Сначала первый столбец. Внизу нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на –2: 

, и ко второй строке прибавляю  первую: 2 + (–2) = 0. Записываю результат  во вторую строку:  

»

«Теперь второй столбец. Вверху –1 умножаю на –2: 

. Ко второй строке прибавляю  первую: 1 + 2 = 3. Записываю результат  во вторую строку:  

»

«И третий столбец. Вверху –5 умножаю на –2: 

. Ко второй строке прибавляю  первую: –7 + 10 = 3. Записываю результат  во вторую строку:  

»

! ВНИМАНИЕ: рассмотренные манипуляции нельзя использовать, если Вам предложено задание, где матрицы даны «сами по себе». Например, при «классических» действиях с матрицами  что-то переставлять внутри матриц ни в коем случае нельзя! 
 
Вернемся к нашей системе 

.

Она практически разобрана по косточкам.

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) Ко второй строке прибавили  первую строку, умноженную на  –2. И снова: почему первую строку  умножаем именно на –2? Для  того чтобы внизу получить  ноль, а значит, избавиться от  одной переменной во второй  строке.

(2) Делим вторую строку на 3.

 

Цель элементарных преобразований – привести матрицу к ступенчатому виду: 

.

В оформлении задания прямо так и отчеркивают простым карандашом «лестницу», а также обводят кружочками числа, которые располагаются на «ступеньках». Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид или треугольный вид.  

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходная система уравнений:  

Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении – снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса.

В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: 

.

Рассмотрим первое уравнение системы 

и подставим в него уже известное значение «игрек»: 
 

Ответ: 

 

Пример:

Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 1

Решить методом Гаусса систему уравнений: 

Запишем расширенную матрицу системы: 

Наша цель – с помощью элементарных преобразований привести матрицу к треугольной матрице.

Сначала смотрим на левое верхнее число:  
 
Почти всегда здесь должна находиться единица. Вообще говоря, устроит и –1 (а иногда и другие числа), но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки: 

Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения. Уже легче.

Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах: 

Нули получаем как раз с помощью «трудного» преобразования. Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2: 

Результат записываем во вторую строку: 

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –3: (–3, –6, 3, –27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –3: 

Результат записываем в третью строку: 

На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг: 

Не нужно считать всё сразу и одновременно. Порядок вычислений и «вписывания» результатов последователен и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО и ВНИМАТЕЛЬНО: 
 
А мысленный ход самих расчётов я уже рассмотрел выше.

Далее нужно получить единицу на следующей «ступеньке»: 

В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение: 

На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь: 

 

 

 

 

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2: 
 
    Попробуйте разобрать это действие самостоятельно – мысленно умножьте вторую строку на –2 и проведите сложение.

    В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходная система линейных уравнений: 
 

    Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх.

    В третьем уравнении у нас уже готовый результат: 

   Смотрим на второе уравнение: 

 
 

   И, наконец, первое уравнение: 

 
 
 

Ответ: 

 

 

 

 

 

 

 

4.Заключение

     В заключение, хотелось бы сказать о том, что к Основным недостатком метода Крамера (если это можно назвать недостатком) является трудоемкость вычисления определителей, когда число уравнений системы больше трех;

    Основная проблема при нахождении решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом заключается в трудоемкости нахождения обратной матрицы, особенно для квадратных матриц порядка выше третьего;

   К достоинствам  метода Гаусса относятся:

1. матрицы ограниченного размера менее трудоёмкие по сравнению с другими методами.
2. Позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение.
3. Позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений — ранг матрицы системы.

     Исходя из всего вышеперечисленного мы единогласно приходим к выводу о том, что метод гаусса является наиболее удобным способом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Список используемой литературы
1. http://bibliofond.ru/view.aspx?id=457343
2. http://pers.narod.ru/study/methods/02.html
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D1%85_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9
4. http://www.cleverstudents.ru/system_of_equations/solving_systems_of_linear_equations.html
5. http://ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%9A%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B0
6. https://ru.wikipedia.org/wiki/
7. http://mathprofi.ru/metod_gaussa_dlya_chainikov.html
8. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — Изд. 3-е, перераб., М.: «Наука», 1970. — 400 c