Автор работы: Пользователь скрыл имя, 27 Сентября 2013 в 17:06, контрольная работа
Математической статистикой называется раздел математики, изучающий методы получения и обработки результатов наблюдений для установления закономерности в массовых случайных явлениях.
Математическая статистика рассматривает 2 основные задачи:
Указание методов сбора и обработки результатов, наблюдений;
Оценивание результатов, наблюдений и проверка статистических гипотез.
Введение…………………………………………………………………….3
Исходные данные…………………………………………………………..4
Интервальный вариационный ряд………………………………………...6
Построение гистограммы. Гипотеза о законе распределения…………..7
Нахождение точечных оценок числовых характеристик генеральной совокупности Х и точечных оценок неизвестных параметров выдвинутого закона………………………………………………………..8
Нахождение теоретической функции f(x) и ее построение на гистограмме……………………………………………………………….10
Проверка критерия Пирсона. Нахождение интервальных оценок МХ и DX………………………………………………………………………….11
Вывод………………………………………………………………………14
Для нахождения точечных оценок параметров закона распределения генеральной совокупности Х, воспользуемся формулами, которые связывают числовые характеристики и параметры для каждого закона.
Для показательного закона (параметр ), т. к. , то или .
6. Нахождение теоретической функции f(x) и ее построение на гистограмме.
Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, если ее функция плотности имеет вид:
Найдем оценки M(X) и D(X) по формулам:
С учетом формулы имеем оценку параметра закона распределения:
Значение функции плотности получаем по формуле:
Заменяя его оценкой и беря в качестве x для i-го разряда .
i |
|
|
|
1 |
0,85113 |
0,340452 |
2 |
0,55923 |
0,223692 |
3 |
0,367395 |
0,146958 |
4 |
0,241395 |
0,096558 |
5 |
0,158655 |
0,063462 |
6 |
0,104265 |
0,041706 |
7 |
0,068481 |
0,0273924 |
8 |
0,0449925 |
0,017997 |
9 |
0,029568 |
0,118272 |
10 |
0,019425 |
0,00777 |
∑ |
0,9778 |
Наиболее употребляемым и простым для критерием для проверки статистических гипотез является критерий Пирсона. Он основан на изучении меры расхождения между статистическим и теоретическим распределением, которая оценивается по сумме квадратов расхождений по всем частичным интервалам.
Пирсон доказал, что мера расхождений зависит от числа частичных интервалов и определяется по формуле:
или
По таблице критерия согласия (или таблицы Пирсона) находим , которое , которое зависит от уровня значимости и от параметра , где - число частичных интервалов, таких что :
если в каком-то частичном интервале , то объединяют соседние интервалы и число равно числу объединенных интервалов,
- равно числу неизвестных
параметров, предполагаемого закона
распределения ген.
для показательного закона .
Затем проверяем равенство: , если оно выполнилось, то делаем вывод, что произошло практически невозможное событие и выдвинутую нулевую гипотезу отвергаем;
если же , то с вероятностью гипотезу можно считать правдоподобной или не противоречащей опытным данным.
Таблица 4.
i |
|
|
|
|
|
1 |
0,34 |
0,340452 |
-0,0226 |
0,000030005 |
2 |
0,2 |
0,223692 |
-1,1846 |
0,125465118 |
3 |
0,1 |
0,146958 |
-2,3479 |
0,750232639 |
4 |
0,2 |
0,096558 |
-5,1721 |
5,540839373 |
5 |
0,16 |
0,1701546 |
-0,50773 |
0,03030065 |
|
|
|
1)
2)
3)
4)
5)
Найдем интервальные оценки MX и DX.
Для МХ:
Для DX:
Возьмем уровень значимости и найдем критическое значение по таблице критерия согласия (или таблице Пирсона).
.
Так как неравенство истинно ( , а ), то с вероятностью гипотезу можно считать правдоподобной или не противоречащей опытным данным.
Вывод.
В ходе расчетно-графической работы установлено, что генеральная совокупность Х распределена по показательному закону. Проверив это по критерию Пирсона, установили что с вероятностью гипотезу можно считать правдоподобной или не противоречащей опытным данным.
Определены точечные оценки числовых характеристик генеральной совокупности Х и точечные оценки неизвестных параметров выдвинутого закона. Построена теоретическая функция плотности f(x). Найдены интервальные оценки МХ и DX.