Признаки сходимости числовых рядов

Тогда: 1) при q < 1 ряд (1.1) сходится;

2) при q > 1 ряд (1.1) расходится;

3) при q = 1 о сходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительные исследования.

Замечание: Ряд (1.1) будет расходиться и в том случае, когда

Пример 3.3. Исследовать на сходимость ряд

.

Применим предельный признак  Даламбера.

В нашем случае  .

Тогда 

Следовательно, исходный ряд  сходится. 

 

Пример 3.4. Исследовать на сходимость ряд

Применим предельный признак  Даламбера:

Следовательно, исходный ряд  сходится.

Пример 3.5. Исследовать на сходимость ряд

Применим предельный признак  Даламбера:

Следовательно, исходный ряд  расходится. 

 

Замечание. Применение предельного признака Даламбера к гармоническому ряду   не дает ответа о сходимости этого ряда, т. к. для этого ряда

Теорема 3.3. (Предельный признак Коши*). 

 

Пусть члены положительного ряда (1.1) таковы, что существует предел  

 

Тогда:  1) при q < 1 ряд (1.1) сходится;

2) при q > 1 ряд (1.1) расходится;

3) при q = 1 о сходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительные исследования. 

 

Пример 3.6. Исследовать на сходимость ряд

Применим предельный признак  Коши:

 

Следовательно, исходный ряд  сходится.

Теорема 3.4. (Интегральный признак Коши).

Пусть функция f(x) непрерывная неотрицательная невозрастающая функция на промежутке

Тогда ряд   и несобственный интеграл   сходятся или расходятся одновременно.

Пример 3.7. Исследовать на сходимость гармонический ряд

Применим интегральный признак  Коши.

В нашем случае функция   удовлетворяет условию теоремы 3.4. Исследуем на сходимость несобственный интеграл 

Имеем  .

Несобственный интеграл расходится, следовательно, исходный гармонический  ряд расходится также.

 

Пример 3.8. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд

Функция   удовлетворяет условию теоремы 3.4.

Исследуем на сходимость несобственный  интеграл 

Рассмотрим следующие  случаи:

1) пусть   Тогда обобщенный гармонический ряд есть гармонический ряд, который расходится, как показано в примере 3.7.

2) пусть   Тогда

Несобственный интеграл расходится, и, следовательно, ряд расходится;

3) пусть   Тогда

Несобственный интеграл сходится, и, следовательно, ряд сходится.

Окончательно имеем

 

Замечания. 1. Обобщенный гармонический ряд будет расходиться при  , т. к. в этом случае не выполняется необходимый признак сходимости: общий член ряда не стремится к нулю.

2. Обобщенный гармонический  ряд удобно использовать при  применении признака сравнения.

Пример 3.9. Исследовать на сходимость ряд

Члены ряда положительны и  меньше соответствующих членов сходящегося  обобщенного гармонического ряда

т. к.   и параметр 

Следовательно, исходный ряд  сходится (по признаку сравнения).

Перейдем к рассмотрению рядов, члены которых могут быть как положительными, так и отрицательными.

 

4. Знакочередующиеся  ряды. Признак сходимости Лейбница

 

Определение 4.1. Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого любые рядом стоящие члены имеют противоположные знаки.

Такие ряды удобнее записывать в виде

                                             (4.1)

 

или в виде

,                                     (4.2)

где 

Для определения сходимости знакочередующихся рядов существует весьма простой достаточный признак.

Теорема 4.1. (Достаточный признак сходимости Лейбница*).

Для того чтобы  знакочередующийся ряд (4.1)((4.2)) сходился, достаточно, чтобы абсолютные значения его членов убывали и стремились к нулю при возрастании n.

Таким образом, если   и   то знакочередующийся ряд (4.1)((4.2)) сходится. 

 

Пример 4.1. Ряд

                  (4.3)

сходятся, т. к. для него выполняются  все условия признака сходимости Лейбница. 

 

5. Знакопеременные  ряды 

 

Рассмотрим числовые ряды

      (5.1)

 

с произвольными членами, т. е. члены ряда могут быть как  положительными, так и отрицательными. Такие ряды называются знакопеременными.

Образуем новый ряд, составленный из абсолютных величин (модулей) членов ряда (5.1), т. е. ряд

     (5.2)

Теорема 5.1. Если ряд   сходится, то сходится и исходный ряд 

Вообще говоря, обратное утверждение неверно, т. е. из сходимости ряда (5.1) не следует сходимость ряда (5.2). Например, как было показано выше ряд   сходится, в то время как ряд   расходится.

Определение 5.1. Ряд (5.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. 

 

Определение 5.2. Сходящийся ряд (5.1) называется условно сходящимся, если ряд (5.2) расходится.

Таким образом, ряд   является абсолютно сходящимся.

Абсолютно сходящиеся ряды обладают тем свойством, что у  них можно любым образом менять местами члены ряда. При такой  перестановке будут получаться также  абсолютно сходящиеся ряды, при этом сумма ряда не изменяется. Как указывалось  в разделе 2, условно сходящиеся ряды таким свойством не обладают.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Решение многих задач сводится к  вычислению значений функций и интегралов или к решению дифференциальных уравнений, содержащих производные  или дифференциалы неизвестных  функций.

Однако точное выполнение указанных  математических операций во многих случаях  оказывается весьма затруднительным  или невозможным. В этих случаях  можно получить приближенное решение  многих задач с любой желаемой точностью при помощи рядов.

Ряды представляют собой простой  и совершенный инструмент математического  анализа для приближенного вычисления функций, интегралов и решений дифференциальных уравнений.

Теория рядов создавалась в  тесной связи с теорией приближенного  представления функций в виде многочленов. Впервые это сделал И. Ньютон (1642 – 1727). в 1676г. В его письме к секретарю Лондонского Королевского Общества появилась формула:

,

которую мы знаем как формулу  бинома Ньютона.

Здесь мы видим функцию  , представленную в виде многочлена. Но если число  не является натуральным, в правой части равенства получается не полином, а бесконечная сумма слагаемых, то есть ряд.

Развивая идею Ньютона, английский математик Брук Тейлор (1685 – 1731) в 1715г. доказал, что любой функции, имеющей в точке   производные всех порядков, можно сопоставить ряд:

.

Мы не можем пока поставить знак равенства между функцией  , принимающей конечное значение для любого значения  , и стоящим справа функциональным рядом.

Для того, чтобы вместо знака “ ” можно было поставить знак равенства, необходимо провести некоторые дополнительные рассуждения, связанные именно с бесконечностью числа слагаемых в правой части равенства и касающиеся области сходимости ряда.

При   формула Тейлора принимает вид, в котором называется формулой Маклорена:

.

Колин Маклорен (1698 – 1746), ученик Ньютона, в работе “Трактат о флюксиях” (1742) установил, что степенной ряд, выражающий аналитическую функцию, - единственный, и это будет ряд Тейлора, порожденный такой функцией. В формуле бинома Ньютона коэффициенты при степенях   представляют собой значения  , где  .

Итак, ряды возникли в XVIII в. как способ представления функций, допускающих  бесконечное дифференцирование. Однако функция, представляемая рядом, не называлась его суммой, и вообще в то время  не было еще определено, что такое  сумма числового или функционального  ряда, были только попытки ввести это  понятие.

Например, Л. Эйлер (1707-1783), выписав  для функции соответствующий  ей степенной ряд, придавал переменной  конкретное значение  . Получался числовой ряд. Суммой этого ряда Эйлер cчитал значение исходной функции в точке  . Но это не всегда верно.

О том, что расходящийся ряд не имеет  суммы, ученые стали догадываться только в XIX в., хотя в XVIII в. многие, и прежде всего Л. Эйлер, много работали над понятиями сходимости и расходимости. Эйлер называл ряд   сходящимся, если его общий член   стремится к нулю при возрастании  .

В теории расходящихся рядов Эйлер  получил немало существенных результатов, однако результаты эти долго не находили применения. Еще в 1826г. Н.Г. Абель (1802 – 1829) называл расходящиеся ряды “дьявольским измышлением”. Результаты Эйлера нашли  обоснование лишь в конце XIX в.

В формировании понятия суммы сходящегося  ряда большую роль сыграл французский  ученый О.Л. Коши (1789 – 1857); он сделал чрезвычайно  много не только в теории рядов, но и теории пределов, в разработке самого понятия предела. В 1826г. Коши заявил, что расходящийся ряд не имеет суммы.

В 1768г. французский математик и  философ Ж.Л. Д’Аламбер исследовал отношение последующего члена к предыдущему в биномиальном ряде и показал, что если это отношение по модулю меньше единицы, то ряд сходится. Коши в 1821г. доказал теорему, излагающую в общем виде признак сходимости знакоположительных рядов, называемых теперь признаком Д’Аламбера.

Для исследования сходимости знакочередующихся  рядов используется признак Лейбница.

Г.В. Лейбниц (1646 – 1716), великий немецкий математик и философ, наряду с  И. Ньютоном является основоположником дифференциального и интегрального  исчисления.

 

 

Список использованной литературы 

 

1. Высшая математика: Общий  курс: Учеб. – 2-е изд., перераб. / А. И. Яблонский, А. В. Кузнецов, Е. И. Шилкина и др.; Под общ. ред. С. А. Самаля. – Мн.: Высш. шк., 2000.– 351 с.

2. Марков Л. Н., Размыслович Г. П. Высшая математика. Часть 2. Основы математического анализа и элементы дифференциальных уравнений. – Мн.: Амалфея, 2003. – 352 с.

3. Организация научно-исследовательской  деятельности в системе педагогического  образования (профиль «Математическое  образование»): Учебное пособие/сост. Т.И. Кушнир, З.И. Янсуфина, В.Г. Ярков.- Тобольск: ТГСПА им.Д.И. Менлелеева, 2012.-152с.

    4. Письменный Д.Т., Курс лекций по высшей математике. М., “Айрис Пресс”, 2005, часть 2 – 256 с.

    5. Выгодский М.Я., Справочник по высшей математике. М., “Наука”, 1975–872с.

 

* Риман Георг Фридрих Бернхард (1826 – 1866), немецкий математик.

[*] Даламбер Жан Лерон (1717 – 1783), французский философ и математик, один из представителей французского просвещения XVIII века.

* Коши Огюстен Луи (1789 – 1857), французский математик.

* Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646 – 1716), выдающийся немецкий философ и математик.