Применение матричной алгебры для решения экономических задач

Применение матричной алгебры для решения экономических задач

Матричный анализ — это метод исследований взаимосвязей между экономическими объектами с помощью матричных моделей.

Метод основывается на математической теории матриц и используется, главным образом, в тех случаях, когда объектом исследования являются балансовые соотношения, возникающие при изучении затрат и результатов производства, материальных, денежных, транспортных и других экономических процессов.

Матричные модели строятся в виде таблиц и отображают соотношения между затратами на производство и его результатами, нормативы затрат, производственную и экономическую структуру хозяйства.

Матричное представление информации является основным для многих классов экономико-математических моделей, в частности, приводимых к задачам линейного, а также дискретного и нелинейного программирования, для разнообразных балансовых построений, широко используется в теории игр, теории графов, математической статистике.

Матрицы и действия с матрицами

Матрицей А=(aij)m,n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

 

Числа aij ( i=1,m  j=1,n), составляющие матрицу, называются ее элементами,

i- номер строки матрицы, j – номер столбца матрицы.

Если n=m, то матрица называется квадратной порядка n.

 

Квадратная матрица Е, у которой  все элементы, лежащие на главной диагонали, равны 1, а остальные элементы - 0, называется единичной.

 

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой.

Матрица, состоящая из одного столбца, называется вектор-столбцом.

Две матрицы А=(aij)m,n и B=(bij)m,n равны, если равны их соответствующие элементы, т.е. A=B тогда и только тогда, когда aij=bij ( i=1,m  j=1,n)

 

Суммой двух матриц А=(aij)m,n и B=(bij)m,n называется матрица С=A+B, элементы которой сij  равны сумме соответствующих элементов aij и bij матриц А и В.

Произведением матрицы А=(aij)m,n на число α называется матрица В=αА, элементы которой bij равны aij=αbij ( i=1,m  j=1,n)

Матрица (-А)=(-1)А называется противоположной  матрице А.

Если матрицы А и В одинаковых размеров, то их разность равна

А-В=А+(-В)

Произведением матрицы А порядка m×k на матрицу В порядка k×n называется матрица С=АВ порядка m×n, элементы которой сij равны сij = ai1b1j+ ai2b2j+…+ aikbkj, ( i=1,m  j=1,n)

Из данного выражения следует правило умножения  матриц: чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца матрицы С, необходимо все элементы i-ой строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные результаты сложить.

Пример 1. Найти произведение АВ матриц 
 

 

Решение:

 

Пример 2. Найти произведение АВ матриц 

 

Решение:

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки). Обозначение транспонированной матрицы: A’ 
Например,

Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем n-го порядка этой матрицы.

Пусть дана матрица

 

 

Тогда ее определитель второго порядка вычисляется по формуле

 

Пример 3. Вычислить определитель матрицы

 

 

 

Решение:

 

 

 

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

Пример 4. Вычислить определитель матрицы В:

 

 

 

 

Решение:

 

 

Вычисление определителей n-го порядка производится на основании свойств определителей и следующей теоремы: определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

 

Алгебраическое дополнение Аij элемента аij равно  

Аij =(-1)i+jМij,

где Мij-минор элемента аij, получаемый путем вычеркивания в определителе |A| i-й строки и j-го столбца.

Минором порядка r матрицы A называется определитель Mr, составленный из элементов, расположенных на пересечении r строк и r столбцов матрицы.

Минор Mr, расположенный в первых  r строках и в первых r столбцах, называется угловым или главным минором.

Пример 5. Вычислить все миноры второго порядка матрицы А:

 

Решение:

 

 

 

Квадратная матрица А-1 порядка n называется обратной к матрице А, если она удовлетворяет соотношению:

А-1А=АА-1=Е

Квадратная матрица А порядка n называется невырожденной , если ее определитель отличен от нуля. В противном случае матрица А называется вырожденной.

 

Для всякой невырожденной матрицы А=(аij) существует  единственная обратная матрица, равная

 

где А* - присоединенная матрица, (i,j)-й элемент которой есть алгебраическое дополнение  Аij элемента аij матрицы А:

 

Первый способ нахождения обратной матрицы рассмотрим на конкретном примере:

 

Пример . Вычислить обратную матрицу для матрицы А.

 

 

Решение:

Определитель матрицы |А|=4*8-6*7=-10≠0

Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно, для матрицы А существует единственная обратная матрица.

 

Вычислим присоединенную матрицу А*:

А11= (-1)1+1 М11 =М11= 8,

 А12= (-1)1+2 М12 =-М12 = -7,

А21= (-1)2+1 М21 =М21  =-6,

 А22= (-1)2+2 М22 =М22 = 4,

т.е.

 

Тогда

 

 

 

Проверкой убеждаемся, что АА-1 = Е

Вычислите обратную матрицу для матрицы А:

Определитель матрицы |А|=

=3*8*2+2*5*7+5*4*1-7*8*1-2*5*2-5*4*3=

=48+70+20-56-20-60=2≠0

Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно, для матрицы А существует единственная обратная матрица.

 

 

 

Решение:

Вычислим присоединенную матрицу А*:

А11= (-1)1+1 М11 =М11=8*2-5*4=-4 ,

 А12= (-1)1+2 М12 =-М12 =-(2*2-4*1)=0 ,

А13= (-1)1+3 М13 =М13  =2*5-8*1=2,

 А21= (-1)2+1 М21 =-М21 =-(5*2-5*7)=25 ,

А22= (-1)2+2 М22 =М22  =3*2-7*1=-1,

 А23= (-1)2+3 М23 =-М23 =-(3*5-5*1)=-10 ,

 А31= (-1)3+1 М31 =М31 =5*4-7*8=-36 ,

А32= (-1)3+2 М32 =-М32  =-(3*4-2*7)=2,

 А33= (-1)3+3 М33 =М33 =3*8-5*2=14,

 

 

 

 

 

 

Второй способ нахождения обратной матрицы –  
на основании элементарных преобразований Жордана-Гаусса над строками матрицы:

 

• перемена местами двух строк;
• умножение строки матрицы на любое число, отличное от нуля;
• прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на любое число, отличное от нуля.

Для того, чтобы вычислить обратную матрицу А-1 для матрицы А, необходимо составить матрицу В=(А\Е), затем путем элементарных преобразований привести матрицу А к виду единичной матрицы Е, тогда на месте единичной матрицы получим матрицу А-1.

Пример . Вычислить обратную матрицу для матрицы А:

 

Решение. Составим матрицу В(0) вида

 

 

 

 

Элемент b11=1 и первую строку, содержащую данный элемент, назовем направляющими. Осуществим элементарные преобразования, в результате которых первый столбец преобразуется в единичный столбец с единицей в первой строке. Для этого ко второй и третьей строкам прибавим первую строку, соответственно  умноженную на 1 и -2. В результате  данных преобразований получим матрицу В1.

В матрице В(1) преобразуем в единичный второй столбец. В качестве направляющего элемента выберем элемент b22=3.  Так как направляющий элемент b22≠1, разделим вторую (направляющую) строку на 3. Затем к первой строке прибавим вторую, умноженную на -3. Получим матрицу

В матрице В(2) преобразуем в единичный третий столбец. В качестве направляющего элемента выбираем элемент b33=4. Делим направляющую (третью) строку на 4 и ко второй строке прибавляем третью, умноженную на 4/3. Получим матрицу

 

 

 

 

Откуда,

Вычислите обратную матрицу для матрицы А:

Технология выполнения операций над матрицами в среде EXCEL

Функции Excel

 

При выполнении операций над матрицами, решении систем линейных уравнений, решений задач планирования по модели межотраслевого баланса можно применять следующие функции Excel из категории «Математические»:

• МУМНОЖ – умножение матриц
• ТРАНСП – транспонирование матрицы
• МОПРЕД – вычисление определителя матрицы
• МОБР – вычисление обратной матрицы.

Умножение матриц с помощью функции МУМНОЖ

 

Функция МУМНОЖ возвращает произведение матриц (матрицы хранятся в массивах 1 и 2).

Синтаксис: =МУМНОЖ(массив1;массив2)

Результатом является массив с таким же числом строк, как массив 1, и с таким же числом столбцов, как массив 2.

Пример 1. Найти произведение АВ матриц

 

 

1. Введите матрицы А в ячейки А2:В3 и В в ячейки D2:Е3
2. Выделите ячейки G2:H3 для результата умножения
3. Введите формулу умножения матриц

      =МУМНОЖ(А2:В3;D2:E3)

4. Для ввода формулы нажмите клавиши Ctrl+Shift+Enter  

Пример 2. Найти произведение АВ матриц

 

Решение:

• Введите матрицы А в ячейки А2:С3 и В в ячейки F2:H4
• Выделите диапазон ячеек для результата умножения – D6:F7
• Введите формулу умножения матриц
• =МУМНОЖ(А2:С3;F2:H4)
• Нажмите клавиши Ctrl+Shift+Enter

Транспонирование матрицы с помощью функции ТРАНСП

 

Функция ТРАНСП возвращает вертикальный диапазон ячеек в виде горизонтального и наоборот.

Синтаксис: ТРАНСП(массив)

Функция ТРАНСП должна быть введена как формула массива в интервал, который имеет столько же строк и столбцов, сколько столбцов и строк  соответственно имеет аргумент «массив».

Пример. Транспонировать матрицу , записанную в ячейках А1:А3.

 

1. Выделить ячейки С1:Е1. В них будет размещен результат транспонирования матрицы.
2. Набрать формулу =ТРАНСП(А1:А3) и завершить ввод клавишами Ctrl+Shift+Enter

Результат:

Задание. Транспонируйте матрицу  

 

Внимание!  В выходном диапазоне должно быть 3 столбца и 2 строки.

Вычисление определителя матрицы с помощью функции МОПРЕД

 

Синтаксис:  =МОПРЕД(массив),

где массив  - это числовой массив с равным количеством строк и столбцов (т.е. квадратная матрица).

 

Пример 3. Вычислить определитель матрицы 

 

Решение:

Вычисление обратной матрицы с помощью функции МОБР

 

Функция МОБР возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве.

Синтаксис: МОБР (массив),

 где массив  - это числовой  массив с равным количеством  строк и столбцов (т.е. квадратная  матрица).

 

 

Пример . Вычислить обратную матрицу для матрицы А:

 

Решение:

1. Занести исходную матрицу в ячейки А1:В2
2. Выделить диапазон ячеек D1:Е2 для получения обратной матрицы.
3. Занести формулу =МОБР(А1:В2) и нажать Ctrl+Shift+Enter

Решение в MS Excel

Вычислите обратную матрицу для матрицы А:

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Пример. Решить систему линейных уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы) 
3x1- x2       = 1  
2x1+x2-3x3=-5  
x1+2x2+ x3= 8

 

Представим данную систему в виде матричного уравнения    АХ=В

 

Решение:

Так как АХ=В, то X=В/А=BA-1

Найдем матрицу А-1 , обратную матрице А, с помощью функции МОБР:

 

 

 

 

Найдем неизвестную матрицу Х, используя функцию МУМНОЖ

 

Получаем решение системы: х1=1, х2=2, х3=3

 

Решите системы линейных уравнений матричным методом:

 

2х1+х2+3х3=7

2х1+3х2 +х3=1

3х1+2х2+х3=6

 

2х1-х2+2х3=3

х1+х2 +2х3=-4

4х1+х2+4х3=-3

 

3х1-х2+2х3=12

х1+2х2 +4х3=6

5х1+х2+2х3=3

 

Ответы:

 

Х1=3

Х2=-2

Х3=1

 

Х1=1

Х2=-3

Х3=-1

 

Х1=0

Х2=-4,5

Х3=3,75

Модель межотраслевого баланса

Пример. Даны коэффициенты прямых затрат аij и конечный продукт Yi для трехотраслевой экономической системы

 

1. Определить коэффициенты полных затрат, вектор валового выпуска, межотраслевые поставки продукции
2. Проверить продуктивность матрицы А
3. Заполнить схему межотраслевого баланса