Применение комплексных чисел для решения задач в профессиональной деятельности

Под законом Ома в  комплексной форме понимают:

 

Í = Ú / Z

 

Сопротивление в цепи переменного тока характеризуется  не только величиной активного сопротивления r (то, что подразумевается под сопротивлением, когда говорится о цепях постоянного тока), но и индуктивностью L и электрической емкостью С.

Индуктивность - физическая величина, характеризующая магнитные свойства электрической цепи.

Электрическая ёмкость — характеристика проводника, мера его способности накапливать электрический заряд.

Комплексное сопротивление  участка цепи представляет собой  комплексное число, вещественная часть  которого соответствует величине активного  сопротивления, а коэффициент при мнимой части – реактивному сопротивлению.

Активное сопротивление — сопротивление электрической цепи или её участка, обусловленное необратимыми превращениями электрической энергии в другие виды энергии (в тепловую энергию). Реактивное сопротивление - это сопротивление обусловленное передачей энергии электрическому или магнитному полю (и обратно), с учётом поверхностного эффекта (эффект затухания электромагнитных волн по мере их проникновения в глубь проводящей среды). В результате этого эффекта, например, переменный ток высокой частоты, при протекании по проводнику распределяется не равномерно по сечению, а преимущественно в поверхностном слое.

Z = R + iX,

 

где Z — импеданс, R — величина активного сопротивления, X — величина реактивного сопротивления, i — мнимая единица.

 

Импедансом  называется отношение комплексной амплитуды напряжения гармонического сигнала, прикладываемого к двухполюснику, к комплексной амплитуде тока, протекающего через двухполюсник. При этом импеданс не должен зависеть от времени.

 

 

Здесь:

• j — мнимая единица;
• ω — циклическая частота;
• U(ω), I(ω) — амплитуды напряжения и тока гармонического сигнала на частоте ω;
• φ_u(ω), φ_i(ω) — фазы напряжения и тока гармонического сигнала на частоте ω;
• , — Комплексные амплитуды напряжения и тока гармонического сигнала на частоте ω;

 

Исторически сложилось, что обозначение  импеданса, комплексных амплитуд и  других комплекснозначных функций  частоты записывают как f(jω), а не f(ω). Такое обозначение показывает, что мы имеем дело с комплексными представлениями гармонических функций вида e^jωt. Кроме того, над символом, обозначающим комплексный сигнал или комплексный импеданс, обычно ставят «домик» или точку: чтобы отличать от соответствующих действительных (некомплексных) величин.

Алгебраическая форма

Если рассматривать  комплексный импеданс как комплексное  число в алгебраической форме, то действительная часть соответствует активному сопротивлению, а мнимая — реактивному. Рассмотрение действительной части полезно при расчёте мощности, выделяемой в двухполюснике, поскольку мощность выделяется только на активном сопротивлении.

Тригонометрическая форма

Если рассматривать  импеданс как комплексное число  в тригонометрической форме, то модуль соответствует отношению амплитуд напряжения и тока (сдвиг фаз не учитывается), а аргумент — сдвигу фазы между током и напряжением, то есть на сколько ток отстаёт от напряжения.

Фаза колебаний — аргумент периодической функции или описывающей гармонический колебательный процесс (ω — угловая частота, t— время, — начальная фаза колебаний, то есть фаза колебаний в начальный момент времени t = 0). Фаза обычно выражается в угловых единицах (радианах, градусах) или в циклах (долях периода): 1 цикл = 2π радиан = 360°. Сдвиг фаз — разность начальных фаз переменных величин, изменяющихся по синусоидальному закону с одинаковой частотой. Сдвиг фаз измеряется в градусах, радианах или долях периода. В электротехнике большое практическое значение имеет сдвиг фаз между напряжением и током, определяющий коэффициент мощности в цепях переменного тока.

Механические  приложения комплексных чисел

Комплексные числа также  используются в описании процессов  плоского течения жидкости, обтекания  профилей жидкостью, волновые движения жидкости. Но поскольку эти процессы не явны для понимания, их рассмотрение на данном этапе считаю нецелесообразным.

 

 

4. Применение комплексных чисел в электротехнике

В электротехнике тема «Переменный  ток» занимает значительное место. Это  объясняется тем, что большинство  электротехнических установок работает на переменном токе, который изменяется синусоидально.

Уравнение переменного напряжения имеет вид , где u – мгновенное значение напряжения; – максимальное значение (амплитуда) напряжения; w – угловая частота; t – время; – начальный фазовый угол; – электрический угол. Это уравнение связывает две переменные величины: напряжение u и время t. С течением времени напряжение изменяется синусоидально.

Аналогичный вид имеют  уравнения и других синусоидально  изменяющихся величин: тока , э.д.с. и т.д.

При расчете цепей  переменного тока приходится использовать синусоидально изменяющиеся величины, т.е. производить сложение, вычитание, умножение и деление уравнений  указанного выше типа.

Сложение синусоидальных величин трудоемко, особенно если приходится складывать большое число уравнений. Синусоидальная величина однозначно представлена вращающимся вектором, длина которого равна амплитуде, а начальное положение определяется углом , вращение вектора происходит с угловой скоростью w. Операции производятся с уравнениями, имеющими одинаковую угловую частоту, то есть все векторы, заменяющие уравнения, вращаются с одинаковой угловой скоростью. Следовательно, их взаимное расположение не меняется, отпадает необходимость вращения векторов. Так как векторы заменяют синусоидальные величины, то сложение или вычитание, возможно, заменить сложением или вычитанием векторов.

Переменная синусоидальная величина обладает свойствами:

1. Переменная синусоидальная  величина может быть однозначно  представлена вектором. Длина вектора  равна амплитуде; угол наклона  равен начальному фазовому углу.

2. Сложение (и вычитание)  синусоидальных величин можно  заменить сложением (и вычитанием) векторов.

Кроме сложения и вычитания  синусоидальные величины приходится умножать и делить. И здесь на помощь приходят комплексные числа.

Комплексное число может быть изображено на плоскости вектором, длина которого равна модулю комплексного числа, а угол наклона – аргументу. В электротехнике в отличие от математики мнимая единица обозначается буквой j. Если имеется комплексное число A=a+jb, то его можно представить вектором, где – модуль комплексного числа; – аргумент комплексного числа.

Комплексное число имеет  три формы: алгебраическую – A=a+jb; тригонометрическую – ; показательную – .

Комплексное число однозначно представлено вектором, а определенному  вектору соответствует определенное комплексное число.

Таким образом, если переменная синусоидальная величина может быть представлена вектором, а определенному  вектору соответствует определенное комплексное число, то переменная синусоидальная величина может быть представлена комплексным числом. Такие величины как: напряжение и ток, сопротивление и проводимость, мощность выражаются комплексными числами.

Напряжение  и ток. Имеется уравнение . В электротехнике за длину вектора берется не максимальное, а действующее значение. Оно обозначается большой буквой U без индекса и вычисляется путем деления максимального значения на .

Синусоидальная величина, выраженная комплексным числом, называется комплексом и обозначается прописной буквой с точкой наверху . Комплекс напряжения можно написать в трех формах алгебраической – , тригонометрической – и показательной – .

Таким образом, в комплексе  напряжения модуль равен действующему значению, аргумент – начальному фазовому углу, активная составляющая – вещественной части комплекса напряжения, реактивная – мнимой части.

Аналогично для тока: _{, , , , .}

Пример. Дано: ток в комплексной форме Написать уравнение тока.

Решение. Для того чтобы написать уравнение, надо знать амплитуду и начальный фазовый угол. Поэтому надо найти модуль – действующее значение и аргумент – начальный фазовый угол заданного комплекса тока:

, , ,

.

Сопротивление и проводимость. Имеется цепь (рис. 1): r – активное сопротивление (лампа накаливания); – индуктивное сопротивление (катушка); z – общее сопротивление цепи, называемое полным.

Рис.1 Рис.2

Сопротивления r, , z образуют прямоугольный треугольник сопротивления  
(рис. 2). Угол – угол сдвига фаз. Сопротивления не являются синусоидальными величинами, однако отрезок z может быть выражен комплексным числом, считая, что отрезок r откладывается по оси вещественных чисел, а отрезок – по оси мнимых чисел.

Сопротивление в комплексной  форме обозначается буквой Z. Для цепи на рис.2 комплекс сопротивления записывается: – алгебраическая форма; – тригонометрическая форма; – показательная форма.

Модуль  ; аргумент . Таким образом, в комплексе сопротивления модуль равен полному сопротивлению, а аргумент – сдвигу фаз.

Мощность. Комплекс мощности получится, если комплекс напряжения умножить на сопряженный комплекс тока: , где – комплекс мощности, – сопряженный комплекс тока.

После умножения получим  комплексное число, у которого вещественная часть равна активной мощности, а мнимая часть – реактивной мощности:

, где P – активная мощность, Q – реактивная мощность.

Пример. ,6; . Определить активную P и реактивную Q мощность.

Решение. Переведем комплексы напряжения и тока в показательную форму, для этого найдем модуль и аргумент тока и напряжения:

, , ,

, , .

Определим сопряженный  комплекс тока: ,

Найдем активную и  реактивную мощности: P=975Вт, Q=171 вар.

Алгебраическая форма  комплексного числа удобна при сложении и вычитании, показательная –  при умножении и делении; тригонометрическая служит для перевода показательной формы в алгебраическую.

На занятиях преподаватели  могут использовать примеры, не вдаваясь углубленно в электротехнику, задания  рассматривая их только с математической точки зрения. В качестве дополнительного материала, самостоятельной работы можно предложить задания типа:

1. Дано: а) ; б) ; в) ; г)

Найти модуль и аргумент комплексного числа.

2. Дано: а) ; б) ; в) .

Написать комплексные  числа в показательной и алгебраической формах.

3. Дано: а) ; б) ; в) ;г) ;  
   д) ; е) ; ж) .

Перевести алгебраическую форму комплексного числа в показательную  и наоборот.

4. Выполнить сложение, умножение, деление комплексных чисел.

Дано: а) ; б) ; в) .

            

                                     5. Заключение

Применение комплексных  чисел позволяет удобно и компактно  сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках .Как видно из описанных выше примеров математическая теория комплексных чисел нашла свое прикладное применение во многих областях знаний –электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, экономике, компьютерной и космической индустрии. И как следствие служит человеку во многих отраслях промышленного машиностроения в сфере проектирования и разработки новых видов техники. Именно поэтому нам надо расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях.

 

 

 

                                                  6. Литература

 

 

1.Теоретические основы электротехники: Теория электрических цепей и электромагнитного поля: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / под ред. С.А. Башарина, В.В. Федорова. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 304 с.

2. Большая Советская  Энциклопедия

3. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии, М. Физматгиз, 1963

4. Андронов И.К. Математика  действительных и комплексных  чисел, М. Просвещение, 1975

5. Алешков Ю.З., Смышляев  П.П. Теория функций комплексного  переменного и ее приложения, изд-во ЛГУ, 1986

6. Роджерс Э. Физика  для любознательных, М., 1971

 

                          7.  Интернет – ресурсы

 

1. http://catalog.studentochka.ru/1606.html - комплексные числа в экономике
2. http://www.moluch.ru/archive/37/4252/ - комплексные числа в электротехники