Применение функций в экономике

Наряду с линейными, используются нелинейные функции, такие, как дробно-рациональные, степенные (квадратная, кубическая и т.д.), показательные (экспоненциальные), логарифмические и другие функции. Периодичность , колеблемость ряда экономических процессов позволяет также использовать тригонометрические функции.

Наиболее часто используются в экономике следующие функции:

1. Функция полезности(ф-я предпочтений ) – в широком смысле зависимость полезности , т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности)этого действия.
2. Производная функция- зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.
3. Функция выпуска- (частный вид производственной ф-ии )- зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.
4. Функция издержек (частный вид производственной ф-ии)- зависимость издержек производства от объема продукции.
5. Функция спроса, потребления и предложения – зависимость объема спроса , потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (цены, дохода, и др.)

Учитывая, что экономические явления и процессы обуславливаются действием различных факторов , для их исследований широко используются функции нескольких переменных . среди этих функций выделяются мультипликативные  функции, позволяющие представить зависимую переменную в виде произведения факторных переменных , обращающего его в нуль при отсутствии действия хотя бы одного фактора.

Используются также сепарабельные функции, которые дают возможность выделить влияние различных факторных переменных на зависимую переменную, и в частности, аддитивные функции , представляющие одну и ту же зависимую переменную как при суммарном , но раздельном воздействии нескольких факторов , так и при одновременном их воздействии.

Если действием побочных факторов можно пренебречь или удается зафиксировать эти факторы на определенных уровнях, то влияние одного главного фактора изучается с помощью функции одной переменной, рассматриваемой в данной и последующих главах. Приведём примеры.

1. Исследуя зависимости спроса на различные товары от дохода

    y= (x>), y=(x>), y=

(функции Л.Торнквиста), мы можем установить уровни доходов при которых начинается приобретение тех или иных товаров и уровни (точки ) насыщения для групп товаров первой необходимости(см.рис. 1).

Рис.1

2. Рассмотрев а одной системе координат кривые спроса и предложения, можно установить равновесную (рыночную) цену данного товара в процессе формирования цен в условиях конкурентного рынка (паутинообразная модель)(см.рис.2)

Рис.2

3. Изучая в теории потребительского спроса кривые безразличия(линии, вдоль которых полезность 2-х благ x и y одна и та же), например задаваемые в виде xy=U, и линию бюджетного ограничения при ценах благ и доходе потребителя I , мы можем установить оптимальные количества благ  ,имеющих максимальную полезность .(cм.рис.3)

Рис.3                                                                Рис. 4

4. Рассматривая функции издержек c(q)и дохода фирмы r(q), мы можем установить зависимость прибыли = c (q)-r(q) от объема производства   q (см.рис.4) и выявить уровни объема производства, при которых производство продукции убыточно (0<q<), дает максимальный убыток (q=)и максимальную прибыль() дает максимальный убыток (q=) и максимальную прибыль q=, и найти размеры этих убытков или прибыли.

Очевидно, что перечень подобных примеров применения функции в экономической теории и практике можно было бы продолжить.

Остановимся ещё одном важном аспекте использования функций в экономике – применение таблиц функций, которые позволяют сделать возможными различные расчеты, исключить или упростить громоздкие вычисления.

При вычислениях с помощью таблиц мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда аргумент функции задан с большей точностью, чем позволяет таблица. В этом случае мы должны прибегнуть к интерполированию(интерполяции)- приближенному нахождению неизвестных значений функции по известным ее значениям в заданных точках.

Наиболее простым является линейное интерполирование, при котором допускается, что приращение функции пропорционально приращению аргумента. Если заданное значение x лежит между приведенными в таблице значениями и  ,то считают, что (рис.5)

        

Рис.5

 

Величины называют интерполяционными поправками. Эти величины вычисляются с помощью таблицы или приводятся в дополнение к таблице .

Если по заданным значениям функции необходимо произвести обратное интерполирование.

ПРИМЕР

Функция заданна таблицей:

x	2	2.04	2.08
y	2.42	2.88	3.38

 

а) используя линейное интерполирование, найти f(2.008)

б) чему равен  x,если f(x)=3.1?

Решение :

а) имеем

2.42=0.46 .

Теперь по интерполяционной формуле получим

y=f(2.008)

б)  обратное интерполирование можно провести по той же формуле , в которой поменять местами  x и y.

  (2)

Где  x=неизвестное значение обратной функции.

Имеем 

Теперь по интерполяционной формуле (2) получим

x=.

В ряде случаев точность нахождения неизвестных значений с помощью линейного интерполирования оказывается недостаточной и используются другие методы интерполирования , например квадратичное интерполирование.

Примеры решения задач.

Задача на спрос и предложение:

Получив информацию про повышение цен на кожу, руководство компании, которая владеет сетью обувных магазинов, отдало распоряжение про сокращение  продавцов. Доказать верность этого решения при помощи графиков спроса и предложения.

 

 Ответ.

Повышение цен на кожу – это неценовой фактор (кожа – сырьё для обуви) предложения, который переместит кривую влево и вверх из положения S в положение S1. Поскольку ценовые факторы спроса по условию задачи постоянны, то кривая спроса не изменится. Следовательно перемещение кривой предложения изменит равновесный объём Q1 на  Q2. Так как Q1 > Q2, значит принятое решение было верным.

Перед повышением цен на кожу равновесная цена и объём находился в точке (Р1,Q1). После изменения цены точка равновесия - (Р2,Q2).

Задача 2

Величина рыночного спроса на рынке товара Х равна 7,5 шт., цена равна 0,75руб.,эластичностьпредложения:   эластичность спроса  . Используя эти данные, определите функцию рыночного спроса ( ) и функцию рыночного предложения ( ) товара Х.

Решение:

Уравнения линейных зависимостей спроса и предложения записываются так:

Предложение: 

Спрос: 

Подбор значения констант   совершается в два этапа.

1. Значение a1 и b1 получаем из формулы коэффициента эластичности, которая имеет вид:

Отсюда константа   – в функции спроса.

Константа   – в функции предложения.

Заменив в формуле эластичности  , получим:

Теперь в получившиеся формулы подставляем значения из условия:

 

2. Теперь, зная значение  , можно найти  .Подставим все значения в уравнение линейной зависимости спроса:

решив уравнение, получим

Теперь мы можем записать уравнение кривой предложения, подставив все найденные значения:

Таким же образом получаем  :

решив уравнение, получим

Записываем уравнение кривой спроса:

Ответ:1)Функция рыночного спроса имеет вид: 

2)Функция рыночного предложения имеет вид:  .

Задача на функцию полезности:

Решите задачу потребительского выбора, найдя функции спроса, при ценах благ p1=5, p2=1 и доходе I=40, со следующей функцией полезности U=(x1-1)1/2*(x2-6)3/4 → max.

Решение.  
Для двух товаров целевая функция потребления имеет вид:  
U=(x1-1)1/2•(x2-6)3/4  
Вектор цен равен Р=(5; 1);величина дохода равна 40.  
Предельные полезности имеют вид:  
  
  
D=40  
Необходимые условия оптимума дают следующую систему уравнений (λ — множительЛагранжа):  
  
  
5x1 +x2 =40  
После подстановки первого уравнения во второе получим:  
  
Выразив из третьего уравнения x1 и подставив в последнее равенство, будем иметь:  
  
Решаяегоотносительноx2 получим:  
x2 = 117/5  
При, x2 = 117/5 ; x1 = 83/25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                           ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подведём итоги курсовой работы.

Цель курсовой работы была выполнена - было рассмотрено понятие функции, было исследованы примеры применения функций в экономике на конкретных задачах и примерах.

 По итогам работы можно сделать вывод, что наиболее часто используются в экономике следующие функции:

1. Функция полезности – в широком смысле зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.
2. Производственная функция – зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.
3. Функция спроса, потребления и предложения – зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

Математика как основа теории принятия решений широко применяется для управления (планирования, прогнозирования, контроля) экономическими объектами и процессами. Например, прогнозы социально-экономического развития РФ, разрабатываемые МЭРТ, основаны на математическом анализе ретроспективных показателей (динамики инфляции, ВВП и т. д.) и строятся с применением таких разделов эконометрики и прикладной статистики, как корреляционный анализ, регрессионный анализ, метод главных компонент, факторный анализ и т. д.

Не следует забывать и о том, что экономическая система – не застывшая, статичная совокупность элементов, а развивающийся, меняющийся под действием внешних и внутренних факторов механизм. При этом возникает ситуация, когда решения, принятые раньше,  детерминируют частично или полностью решения, принятые позднее.

На развитие и  применение  математических  методов  огромное влияние оказало и еще окажет развитие вычислительной техники. Вычислительная техника последних поколений уже позволила на практике применить множество методов, описанных ранее лишь теоретически или на простейших примерах.  Кроме всего прочего  развитие  систем компьютерной обработки, накопления и хранения информации создает новую, весьма обширную информационную базу, которая  возможно послужит толчком к созданию новых, ранее неизвестных математических методов поиска и принятия решений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                   СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМХ ИСТОЧНИКОВ

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман: Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2008.
2. Исследование операций в экономике / Под ред. Н.Ш.Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
3. Курс лекций по дисциплине «ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В МИРОХОЗЯЙСТВЕННЫХ СВЯЗЯХ»Е.Г.Анисимов,Т.Г.Газизулин,Д.П.Бусько,И.В.Синельников.-М.: Изд-во РТА,2010.-98с .
4. Глобальная экономика(энциклопедия)/под ред.И.М.Куликова.-М.: Финансы и статистика,2011.-920с.