Прикладні аспекти теорії ігор

 

 

2. Класифікація ігр і загальні відомості про методи їх розв'язування

    Реальні конфліктні ситуації приводять до різних видів ігор. У залежності від виду гри розробляється і метод її розв'язування. На даний час немає цілком чітко сформованої класифікації ігор. Однак можливо відзначити основні напрямки (табл.2.1).

Таблиця. 2.1

      

    У залежності від кількості гравців розрізняють ігри одного, двох і  n  гравців. Ігри одного гравця (типу пасьянсів) не представляють інтересу і не розглядаються в теорії ігор. Ігри двох гравців -  найбільш розповсюджені, їхньому дослідженню присвячено багато робіт і досягнуті найбільші успіхи, як у теорії, так і в практичних додатках. Ігри трьох і більше гравців менш досліджені через виникаючі принципові труднощі і технічні можливості одержання розв'язку. Чим більше гравців - тим більше проблем.

    По кількості стратегій ігри поділяються на кінцеві і нескінченні. Якщо в грі всі гравці мають кінцеве число можливих стратегій, то вона називається кінцевою. Якщо ж хоча б один із гравців має нескінченну кількість можливих стратегій, то така гра називається нескінченною. Звідси випливає, що поняття нескінченної гри пов'язується не з тривалістю проведення гри, а з необмеженою кількістю стратегій.

   По характеру взаємодії ігри поділяються на:

1) бескоаліційні: гравці не мають права вступати в угоди, утворювати коаліції;

2) коаліційні (кооперативні): гравці  можуть вступати в угоди, утворювати коаліції.

У кооперативних іграх коаліції наперед визначені.

   По характеру виграшів ігри поділяються на: ігри з нульовою сумою (загальний капітал усіх гравців не змінюється, а перерозподіляється між гравцями; сума виграшів усіх гравців дорівнює нулеві) і ігри з ненульовою сумою.

    Зокрема  гра двох гравців з ненульовою сумою називається антагоністичною, тому що цілі гравців у ній прямо протилежні: виграш одного гравця відбувається тільки за рахунок програшу іншого.

     Багато економічних і військових ситуацій можна розглядати як ігри з нульовою сумою. Прикладом гри з ненульовою сумою можуть бути торговельні взаємини між країнами. У результаті застосування своїх стратегій усі країни можуть бути у виграші. Усяка гра, у якій треба вносити внесок деякій особі за право брати участь у ній, є грою з ненульовою сумою. Дійсно, у цьому випадку завжди у виграші виходить деяка особа, що не приймає участі в грі, а одержує внесок від гравців, що втрачають свій капітал за рахунок цих внесків. Іншим прикладом є лотерея: у ній організатор завжди має виграш, а учасники гри - особи, що купили лотерейні квитки, - у сумі одержують виграш менший, ніж вони внесли.

    По вигляду функцій виграшу ігри поділяються на: матричні, біматричні, неперервні, опуклі, сепарабельні, типу дуелей і ін.

    Матрична гра - це кінцева гра двох гравців з нульовою сумою, у якій задаються виграші  гравця 1 у вигляді матриці (рядок матриці відповідає номерові застосовуваної стратегії гравця 1, стовпець - номерові застосовуваної стратегії гравця 2; на перетині рядка і стовпця матриці знаходиться виграш гравця 1, що відповідає застосовуваним стратегіям). Виграш другого гравця дорівнює програшу першого. Для матричних ігор доведено, що кожна з них має розв'язок і він може бути легко знайден шляхом зведення гри до задачі лінійного програмування.

    Біматрична гра - це кінцева гра двох гравців з ненульовою сумою, у якій виграші кожного гравця задаються матрицями окремо для відповідного гравця (у кожній матриці рядок відповідає стратегії гравця 1, стовпець - стратегії гравця 2, на перетині рядка і стовпця в першій матриці знаходиться виграш гравця 1, у другій матриці - виграш гравця 2). Для біматричних ігор також розроблена теорія оптимальної поведінки гравців, однак розв'язувати такі ігри складніше, ніж звичайні матричні.

    Неперервною вважається гра, у якій функція виграшів кожного гравця є неперервною в залежності від стратегій. Доведено, що ігри цього класу мають розв'язок, однак не розроблено практично прийнятих методів його знаходження.

    Якщо функція виграшів є опуклою, то така гра називається опуклою. Для них розроблені прийнятні методи розв'язку, що складаються з відшукання чистої оптимальної стратегії (визначеного числа) для одного гравця й ймовірностей застосування чистих оптимальних стратегій іншого гравця.      Така задача вирішується порівняно легко.

    Якщо функція виграшів може бути представлена у вигляді суми добутків функцій від одного аргументу, то така гра називається сепарабельною (роздільною). За допомогою визначених перетворень її розв'язок зводиться до розв'язання гри з білінійною функцією виграшів і до визначення нерухомої точки при спеціальному відображенні множин елементів, що відповідають стратегіям.

    Ігри типу дуелей характеризуються моментом вибору ходу й ймовірностями одержання виграшів у залежності від часу минулого від початку гри до моменту вибору. Наприклад, існують інтерпритації таких ігор в економічних ситуаціях: кожна фірма робить внесок свого капіталу у визначений момент часу з метою оволодіння ринком збуту. Якщо раніше вона зробить свій внесок, то менше ймовірність опанувати ринком, але, роблячи свій внесок занадто  пізно, вона втрачає ринок збуту. Функція  виграшів гравців в іграх типу дуелей приймає спеціальний вид: вона неперервна при різних значеннях моментів часу, коли гравці роблять ходи, і вона разривна при збігу моментів ходу гравців. Так що немає гарантій існування д розв'язку для ігор типу дуелей.

    По кількості ходів ігри поділяються на однокрокові і багатокрокові. Однокрокові ігри закінчуються після одного ходу кожного гравця (наприклад, матрична гра). Багатокрокові ігри поділяються на позиційні, стохастичні, диференціальні, типу дуелей і д. р.

    У позиційних іграх може бути кілька гравців, кожний з яких може послідовно робити в часі кілька ходів. Виграші визначаються в залежності від результатів гри (застосованих стратегій). Такі ігри за допомогою визначених способів зводяться до матричних ігор і можуть вирішуватися властивими їм методами.

   Якщо у грі здійснюються ходи, що приводять до вибору визначених позицій, причому є визначена ймовірність повернення на попередню позицію, то така гра є стохастичною.

    Якщо в багатокроковій грі допускається робити ходи безупинно і підкоряти поведінку гравців деяким умовам, які описуються диференціальними рівняннями, то такі ігри є диференціальними.

    У залежності від стану інформації розрізняють ігри з повною інформацією і з неповною інформацією. Якщо при кожному ході гри кожному гравцеві відомо, які вибори були зроблені гравцями раніше, то це гра з повною інформацією (прикладами таких ігор є шашки, шахи). Якщо ж у грі не все відомо про попередні вибори, то це гра з неповною інформацією. Доведено, що всяка гра з повною інформацією має розв'язок у вигляді седлової  точки в чистих стратегіях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.  Заключення

     Не зважаючи на  значні досягнення в теорії грі, залишається ще багато не визначених та спірних  питань, для вирішення яких потребує чи за мало зусиль. Основними проблемами, які розробляються в теорії ігор, є: розробка визначень розв’язання ігор,  доведення теорем  існування  розв’язків, розробка методів  знаходження розв’язків, практичні аспекти  використання теорії ігор.

    Розвиток теорії ігор, вивчення її методів та їх застосування  на практиці надає допомогу  в удосконаленні системи підготовки та прийняття рішень, допомагає розвитку науки та техніки.

 

 

5.  Література

1. Е. С. Вентуель «Элементы теории игр» М., 1959
2. Э. Г. Давыдов «Исследование операций»  М.; «Высшая школа», 1990
3. О.О. Замков, А. В. Толстопятенко, Ю. Н. Черемных «Математические методы» М.; МГУ им. М. В. Ломоносова
4. А. В. Крушевский «Теория игр» К., «Вища школа», 1997.
5. С.Н.Иванов.Математические методы исследования операций:Учеб. пособие. Донецк:Донецкий национальный университет,2003.