Предел числовой последовательности

 

 

Предел  числовой последовательности.

Определение числовой последовательности

Числовой последовательностью  называется бесконечное множество  чисел 

(элементов), имеющих определенные  номера. Эти числа являются членами 

последовательности:  x1-первый член,  x2-второй член, ... ,  x  -n-ый член. Числовая

последовательность обозначается так: {  }.

Числовую последовательность задают формулой n-го члена: x =f(n).

Если x =const, то последовательность называется постоянной.

Числовую последовательность также  можно задать рекуррентным

соотношением.

Предел числовой последовательности

Последовательность  {  }  называется  ограниченной, если существует такое

число М>0, что для любого n верно  неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (–М; M).

Последовательность {   }называется ограниченной сверху, если для любого n

существует такое число М, что 

Последовательность {  }называется  ограниченной снизу, если для любого n

существует такое число М, что

Последовательность {  } называется возрастающей, если

Последовательность {  } называется неубывающей, если

Последовательность {  } называется убывающей, если

Последовательность {  } называется невозрастающей, если

Все такие последовательности объединяются общим названием – монотонные

последовательности. Отметим, что монотонные последовательности ограничены,

по крайней мере, с одной стороны.

Число  а называется  пределом числовой последовательности {   }, если для

любого положительного числа  ε  существует номер  N такой, что при  всех  n > N

выполняется неравенство

Обозначение:

 

Геометрический смысл  предела числовой последовательности

Число a – предел последовательности    , если в любую окрестность числа а,

начиная с некоторого номера попадают все члены последовательности

Свойства предела последовательности

1. Предел линейной комбинации

 

2. Предел произведения

 

 

3. Предел частного

 

 

4. Предел отношения многочленов

 

 

Пусть x  и y  многочлены от n степени k и m соответственно, т.е.