Построение вариационных рядов в статистическом анализе. Расчет числовых характеристик

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО  ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

Государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Центр дистанционного образования

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По дисциплине: «Высшая  математика»

 

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1.

ПОСТРОЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ РЯДОВ В СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ. РАСЧЕТ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК.

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

Студент гр. ЭАТ (до)з-10-1                                                       О.Г. Нятин                                             

 

Проверил:                                                                                      Зубова Е.А

 

 

 

Тюмень 2013

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1.

ПОСТРОЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ РЯДОВ В СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ. РАСЧЕТ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК.

Цель: овладение способами построения рядов распределения и методами расчета числовых характеристик.

Вариант № 19. Даны значения израсходованных долот на 100 скважинах при механической скорости проходки 18 м/сек.:

 

28	30	28	27	28	29	29	29	31	28	26	25	33
35	27	31	31	30	28	33	23	30	31	33	31	27
30	28	30	29	30	26	25	31	33	26	27	33	29
30	30	36	26	25	28	30	29	27	32	29	31	30
31	26	25	29	31	33	27	32	30	31	34	28	26
38	29	31	29	27	31	30	28	34	30	26	30	32
30	29	30	28	32	30	29	34	32	35	29	27	28
30	30	29	32	29	34	30	32	24

 

 

Содержание  работы: на основе совокупности данных опыта выполнить следующее:

1. Построить ряды распределения (интервальный и дискретный вариационные ряды). Изобразить их графики.

2. Построить график накопительных частот — кумуляту.

3. Составить эмпирическую функцию распределения и изобразить ее графически.

4. Вычислить моду, медиану, выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, асимметрию, эксцесс.

5. Построить доверительные интервалы для истинного значения измеряемой величины и среднего квадратического отклонения генеральной совокупности.

6. Раскрыть смысловую сторону каждой характеристики.

Выполнение работы

Обозначим через Х значения израсходованных долот на 100 скважинах при механической скорости проходки 18 м/сек.

1.1. По данным выборки строим интервальный вариационный ряд.

А. Поскольку, как легко  выяснить, x_max = 38, x_min = 23, то размах варьирования признака Х равен R = x_max –x_min = 38 – 23 = 15.

Б. Определяя число k интервалов (число столбцов в таблице) вариационного ряда, положим .

В. Длина h каждого частичного интервала равна . Так как исходные данные мало отличаются друг от друга и не содержат десятичных знак, то величину h округляем до: .

Г. Подсчитываем число  вариант, попадающих в каждый интервал, по данным выборки. Значение , попадающее на границу интервала, относим к правому интервалу. За начало первого интервала берем величину . Конец последнего интервала находим по формуле . Сформированный интервальный вариационный ряд записываем в виде табл. 7.

Таблица 7
Варианты- интервалы	22- 24	24- 26	26- 28	28- 30	30- 32	32- 34	34- 36	36- 38
Частоты, ni	1	5	15	26	32	13	6	2

 

Контроль: , и объем выборки .

1.2. Записываем дискретный вариационный ряд (табл. 8). В качестве вариант берем середины интервалов интервального вариационного ряда.

 

Таблица 8
Варианты,	23	25	27	29	31	33	35	37
Частоты, ni	1	5	15	26	32	13	6	2

 

1.3. Изображаем интервальный и дискретный вариационные ряды графически, построив гистограмму и полигон частот в одной системе координат (рис. 2).

Рис. 2. Гистограмма и полигон.

 

2. Строим график накопленных частот — кумуляту (рис. 3). Предварительно составляем расчетную табл. 9.

Таблица 9
Варианты,	23	25	27	29	31	33	35	37
Относительные частоты, wi = ni / n	1	5	15	26	32	13	6	2
Накопленные относительные частоты, Wi = Wi – 1 + wi	0,01	0,05	0,15	0,26	0,32	0,13	0,06	0,02

 

Рис. 3. Кумулятивная кривая

 

3. Находим эмпирическую функцию распределения. Воспользуемся формулой (1): F_в (x) .

Если х £ 23, то F_в (x) = 0 — по свойству эмпирической функции распределения.

Если  23 < х £  25, то F_в (x) .

Если  25 < х £ 27, то F_в (x) .

Если  27 < х £ 29, то F_в (x) .

Если  29 < х £ 31, то F_в (x) .

Если 31 < х £ 33, то F_в (x) .

Если 33 < х £ 35, то F_в (x) .

Если 35 < х £ 37, то F_в (x) .

Если  , то F_в(x) — по свойству эмпирической функции распределения.

Записываем полученную эмпирическую функцию в виде:

F_в (x) =

График функции F_в (x) представлен на рис.4.

Рис.4. Кумулята и эмпирическая функция распределения

 

Соединив середины вертикальных частей ступенчатой кусочно-постоянной кривой, являющейся графиком функции F_в (x), получаем плавную кривую (на рис. 4 это штриховая линия). Абсциссами точек этой кривой служат значения себестоимости единицы продукции (в руб.), а ординатами — значения эмпирической функции распределения, характеризующей оценку вероятности события X £ , т.е. вероятности попадания возможных значений израсходованных долот на промежуток .

Для нахождения числовых характеристик признака Х — израсходованных долот (несмещенных оценок для , , а также , , , ) воспользуемся табл. 8.

4.1. Так как варианта в табл. 8 встречается с наибольшей частотой , то , т.е. это значение израсходованных долот, встречающееся в данной выборке с наибольшей частотой.

Находим . Так как табл. 8 содержит четное число столбцов, то . Это значение израсходованных долот, которое делит данные выборки признака Х на равные части.

4.2. Для нахождения остальных статистик, характеризующих себестоимость единицы продукции (в руб.), воспользуемся методом произведений. Введем, согласно (9),  условные варианты ; , .

Составим расчетную  табл. 10.

Таблица 10
							контрольный столбец
23	1	-4	-4	16	-64	256	9
25	5	-3	-15	45	-135	405	20
27	15	-2	-30	60	-120	240	15
29	26	-1	-26	26	-26	26	0
31	32	0	0	0	0	0	32
33	13	1	13	13	13	13	52
35	6	2	12	24	48	96	54
37	2	3	6	18	54	162	32
	100		-44	202	-230	1198	214

 

Контроль вычислений проводим по формуле

,

т.е.

.

Следовательно, вычисления проведены верно.

4.3. Пользуясь результатами последней строки табл. 10, находим условные начальные моменты (11) — (14):

,

,

,

.

4.4. Находим выборочную среднюю (15):

,

которая характеризует среднее значения израсходованных долот в данной выборке, составляющую 30,12 шт.

4.5. Находим выборочную дисперсию (16):

4.6. Вычисляем выборочное среднее квадратичное отклонение (17):

.

4.7. Величина характеризует степень рассеяния значений израсходованных долот (шт.) относительно средней израсходованных долот. Для определения колеблемости значений израсходованных долот (в шт.) в процентном отношении вычисляем коэффициент вариации (22):

.

Величина коэффициента вариации мала (составляет 0,09), что означает тесную сгруппированность значений израсходованных долот (в шт.) около центра рассеяния, т.е. около средней израсходованных долот (в шт.).

4.8. Для предварительной оценки отклонения значений израсходованных долот (в шт.) от нормального распределения вычисляем асимметрию и эксцесс. Сначала находим центральные моменты третьего и четвертого порядков (20), (21):

.

.

4.9. Тогда в соответствии с (18), (19), находим:

,

.

Резюме. Значения и мало отличаются от нуля. Поэтому можно предположить близость данной выборки, характеризующей значения израсходованных долот (в шт.), к нормальному распределению. Эта гипотеза будет проверяться в практической работе № 2.

5. Произведем оценку генеральной средней и генерального среднеквадратического отклонения s = S  по выборочным статистикам и , используя теорию доверительных интервалов для нормального распределения.

Доверительный интервал для истинного значения израсходованных долот (в шт.) с надежностью находим, согласно (23):

.

Согласно приложению 3, при  и находим . Записываем доверительный интервал:

,

\

Таким образом, среднее  значение израсходованных долот на 100 скважинах при механической скорости проходки 18 м/сек по данным выборки должно находиться в промежутке .