Понятие о дифференциальном уравнение. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

Интегрируем уравнение: 

Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции под знак дифференциала: 
 

Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы: 

(Надеюсь, всем понятно  преобразование  , такие вещи надо бы уже знать)

Итак, общее решение: 

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию  . В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух: 

Более привычное оформление:

Подставляем найденное значение константы   в общее решение.

Ответ: частное решение:

Проверка: Сначала проверим, выполнено ли начальное условие  : 
 – всё гуд.

Теперь проверим, а удовлетворяет  ли вообще найденное частное решение   дифференциальному уравнению. Находим производную: 

Смотрим на исходное уравнение:  – оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной  выразить дифференциал : 
 
Подставим найденное частное решение  и полученный дифференциал  в исходное уравнение :  
 
Используем основное логарифмическое тождество : 
 
Получено верное равенство, значит, частное решение найдено правильно.

Второй способ проверки зеркален и более привычен: из уравнения   выразим производную, для этого разделим все штуки на : 

И в преобразованное ДУ подставим полученное частное решение   и найденную производную . В результате упрощений тоже должно получиться верное равенство.

5:Решить дифференциальное уравнение . Выполнить проверку.

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные: 

Интегрируем: 
 
Константу  тут не обязательно определять под логарифм, поскольку ничего путного из этого не получится.

Ответ: общий интеграл:

Проверка: Дифференцируем ответ (неявную функцию): 
 
Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на : 
 
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.

6: Решение: Найдем общее решение. Разделяем переменные: 
 
 
Интегрируем: 
 
 
 
Общий интеграл получен, пытаемся его упростить. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них: 
 

 
Выражаем функцию  в явном виде, используя  . 
Общее решение:

Найдем частное  решение, удовлетворяющее начальному условию  . 
Способ первый, вместо «икса» подставляем 1, вместо «игрека» – «е»: 
. 
Способ второй: 
 
Подставляем найденное значение константы  в общее решение. 
Ответ: частное решение:  
 
Проверка: Проверяем, действительно ли выполняется начальное условие: 
, да, начальное условие  выполнено. 
Проверяем, удовлетворяет ли вообще частное решение  дифференциальному уравнению. Сначала находим производную: 
 
Подставим полученное частное решение  и найденную производную  в исходное уравнение : 
 
Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

7: Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем: 
 
 
 
 
Ответ: общий интеграл:

Примечание: тут  можно получить и общее решение: 
 
Но, согласно моему третьему техническому совету, делать это нежелательно, поскольку такой ответ смотрится довольно хреново.

8: Решение: Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные: 
   
 
 
Интегрируем: 
 
 
Общий интеграл:  
Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию . Подставляем в общее решение  и : 
 
Ответ: Частный интеграл: .

9: Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем: 
 
Левую часть интегрируем по частям: 
 
В интеграле правой части проведем замену: 
 
Таким образом: 
 
 
(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов, но она настолько простая, что подбор коэффициентов можно выполнить и устно) 
 
Обратная замена:  
 
 
 
Ответ: общий интеграл:

10: Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем: 
 
 
 
 
 
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: 
 
 
 
Примечание: Интеграл  можно было также найти методом выделения полного квадрата. 
 
 
 
 
 
Ответ: общее решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тест.

1. Среди перечисленных дифференциальных уравнений уравнениями первого порядка являются …

 

2. Среди перечисленных обыкновенных дифференциальных уравнений линейными уравнениями являются …

3. Из перечисленных систем дифференциальных уравнений однородными системами являются …

4. Функция                                                  является общим решением дифференциального уравнения …

 

 

 

 

 

5. Частное решение линейного дифференциального уравнения                                              имеет вид …                  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Среди перечисленных дифференциальных уравнений уравнениями первого порядка являются … ( не менее 2 вариантов)

7. Среди перечисленных обыкновенных дифференциальных уравнений линейными равнениями

являются …( не менее 2 вариантов)

8. Функция является общим решением дифференциального уравнения …

 

9. Частное решение линейного дифференциального уравнения 

имеет вид …

10. Среди перечисленных дифференциальных уравнений уравнениями первого порядка являются…( не менее 2 вариантов)