Основные вероятностные распределения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЙ И УПРАВЛЕНИЯ ИМ. К.Г. РАЗУМОВСКОГО

 Кафедра    СОЦИАЛЬНО-ГУМАНИТАРНЫХ И СПЕЦИАЛЬНЫХ ДИСЦИПЛИН                                 

 Дисциплина    МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИКЕ

 

 

 

 

по дисциплине «Методы оптимизации в экономике»

Тема «Основные вероятностные распределения»

 

                                                                                    Выполнил студент

                                                                                    ФЭМ   1     курса  

                                                                                    специальность 080100

                

                                                                                    шифр 12/990288

                                                                                    Жмыхов В.Н.

                                                                                    __________________

                                                                                    проверил

                                                                                                         Калиничева И.Д.

 

 

 

 

Серпухов

2014

 

Содержание

 

1. Основные вероятностные распределения ……………………………………3

2. Задача………………………………………… ……………………….............10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I. Основные вероятностные распределения.

1. Биномиальный закон распределения. Биномиальный закон есть закон распределения числа успехов в n независимых испытаниях Бернулли. Дискретная случайная величина X распределена по биномиальному закону, если она принимает целые значения m - 0,1,2,...,n с вероятностями, определяемыми формулой Бернулли

,                                                      (1) где 0≤р≤1, p+q=l.  

При этом . Найдем математическое ожидание и дисперсию введенного распределения. Для этого рассмотрим функцию.

 

Дифференцируя эту функцию по p, получим

  (2)

Так как p + q = 1, а левая часть (2) есть MX, то будем иметь

МХ= np.                                                                       (3) Продифференцировав равенство (2) по р и умножив результат на р, получим

 

а так как p+q=1, то M()=np

Тогда дисперсия равна

 

DX=npq.                                                       (4)

Пример 1. В цехе находятся 10 станков, каждый из которых находится в рабочем состоянии с вероятностью 0.9. Каково среднее значение работающих станков?

Решение.

 

2. Закон Пуассона. Рассмотрим следующую задачу: счетчик улавливает космические частицы, которые появляются независимо друг от друга, причем вероятность появления одной частицы за время равна λ а вероятность появления двух и более частиц равна . Требуется найти вероятность появления частиц за время наблюдений t.

Пусть - событие, заключающееся в том, что в течении времени t счетчик зарегистрирует ровно частиц. Тогда, очевидно,

 

 Отсюда следует уравнение для :

 

 

 

Устремив , получим дифференциальное уравнение для :

.                                    (5)

При получается уравнение

                                             (6)

Легко проверить, что решением системы уравнений (5), (6) при начальных условиях будут функции

 

При получим формулу Пуассона

.                                        (7)

Случайная величина X называется распределенной по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения k с вероятностями , определяемыми формулой (7).

Заметим, что

Найдем числовые характеристики этого распределения.

 

Для вычисления дисперсии рассмотрим функцию

Дифференцируя это равенство по , получим

 

 

Тогда дисперсия DX будет равна:

 

Таким образом, для закона Пуассона математическое ожидание и дисперсия равны параметру распределения:

                                               (8)

  Пример 2. При движении по проселочной дороге автомобиль испытывает в среднем 60 толчков в течении 1 часа. Какова вероятность того, что за 30 с. не будет ни одного толчка?

Решение. Число толчков в течении времени t есть случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром , где = 1, t (мин.). Тогда

 

3. Равномерное  распределение. Случайная величина X называется равномерно распределенной на отрезке [a,b], если ее функция распределения есть

                                         (9)

Плотность распределения равномерной случайной величины есть

                                       (10)

На рис. 30.1 приведены графики функций F(x) и р(х).

Рис. 30.1

Из выражения для плотности видно, что для равномерно рас­ пределенной случайной величины вероятность попадания в лю­ бой интервал, содержащийся в [a,b], пропорциональна длине этого интервала.

Найдем числовые характеристики распределения.

              (11)

 

Тогда

 

Пример 3. Интервал движения троллейбуса равен 15 минут. Какова вероятность того, что пассажир, приходя на остановку троллейбуса в случайный момент времени, будет ожидать транспорт не более 5 минут? Найти среднее время ожидания.

Решение. Пусть Х - время ожидания. Очевидно, случайная величина X распределена равномерно на отрезке [0, 15]. Тогда

 

4. Показательное  распределение. Показательное распределение является одним из основных распределений в теории массового обслуживания и теории надежности. Функция распределения в этом случае имеет вид

F(x)=P{X<x}=1-, х ≥ 0,                                  (13)

где > 0, а плотность вероятности

 

Пусть случайные моменты времени, в которые происходит некоторое событие A (например, отказ некоторой системы), а X - случайная величина - число появлений события А за время t. Поток событий называется простейшим, если X распределена по закону Пуассона.

Найдем вероятность того, что время до появления первого события будет меньше t.

 

т.е. момент времени распределен по показательному закону. Можно показать, что в случае простейшего потока все интервалы между наступлениями события A, т.е. величины также распределены по показательному закону.

Вычислим числовые характеристики распределения.

 

 

 

Для показательного распределения математическое ожидание и 1 среднеквадратичное отклонение равны , где 0 < - параметр распределения.

5. Функция надежности. Пусть v - момент отказа некоторой технической системы. Функция надежности R(t) определяется как вероятность того, что система будет работать безотказно до момента времени t, т.е.

 

В частности, если поток отказов простейший, то случайная величина v распределена по показательному закону и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Задача.

Задача. Среднее число вызовов на АТС за время t= 5 мин. равно 30. Найти вероятность того, что за 1 мин. поступит не более двух вызовов.

Решение. По условию λ=6, t=1, k=2. Воспользуемся формулой Пуассона:

 

Т.к. t=1, используем формулу:

 

Найдем вероятность того, что за 1 мин поступит не более двух вызовов, т. е. ни одного вызова, или один вызов, или два вызова. Поскольку эти события несовместны, применима теорема сложения: