Оператор Гамильтона и Лапласа

  (2)

Сферические и цилиндрические системы координат в евклидовом пространстве R³ являются ортогональными криволинейными системами.

Действительно, если 

, , ,

 и  , , , ,

то имеем

,

,

,

, , ,

, , ,

, , .

Если система криволинейных координат , , ортогональна, то векторы образуют базис пространства R³, а базис

,

где

является ортонормированным. Функции  называют параметрами Ламе. Базис и параметры Ламе изменяются при переходе от точки к точке.

Если в ортогональной  криволинейной системе координат  , , одна координата фиксирована, то отображение Φ определяет многообразие класса С¹ размерности - гладкую поверхность, которую будем называть координатной поверхностью. В пространстве R³ существует три семейства координатных поверхностей. Через каждую фиксированную точку евклидова пространства R³ проходит по одной поверхности каждого из трех семейств.

Рассмотрим элементарную ячейку, образованную тремя парами смежных координатных поверхностей, и обозначим через длины ребер ячейки (рис.1). Имеем

       (3),

где H_i – параметры Ламе.

Действительно,

= , .

Вычислим параметры  Ламе для случаев перехода от декартовой прямоугольной системы координат  к сферической и цилиндрической системам координат.

Рисунок 1

 

При переходе к сферической  системе координат имеем

             (4)

 

 (5)

 (6)

а при переходе к цилиндрической системе координат получим

   (7)

 

  (8)

 

               (9)

Определение 2. Элементом объема dV в криволинейных координатах , , , соответствующим приращением dq_i координат q_i, , в точке , называется объем параллелепипеда, построенного на векторах

.

Согласно этому определению, имеем

      (10)

где - определитель Грамма от векторов , .

Принимая во внимание ортогональность векторов ,  получим

.            (11)

Используя определение 2 и формулы (4)-(11), можно получить известные  выражения для элементов объема в сферической и цилиндрической системах координат:

Параметры Ламе называют масштабными множителями. Координатные линии, вдоль каждой из которых изменяется лишь один параметр, можно представить как кривые в пространстве R³, на которые нанесены шкалы этих параметров. Параметры Ламе H_i на этих кривых преобразуют параметры в длины дуг соответствующих кривых.

3.2 Градиент скалярного поля

Пусть в области  задано дифференцируемое скалярное поле . Компонентами вектора в базисе

являются его проекции

на направления, определяемые векторами  .

Поскольку

,

то справедливо представление

.      (1)

В частности, в сферической  и цилиндрической системах координат  вектор-градиент скалярного поля имеет следующие представления:

, (2)

,

Где - ортонормированные базисы, порождаемые отображениями и .

 

4  Расходимость и вихрь векторного поля

Для записи операций расходимости и вихря векторного поля , , в криволинейных координатах нам понадобятся некоторые вспомогательные вычисления.

Полагая в формуле

, ,

получим

.              (1)

Взяв операцию вихря  от обеих частей равенства (1) и принимая во внимание, что rot grad q₁=0, имеем

                     (2)

Согласно формуле 

,

находим

.  (3)

Таким образом, равенство (2) принимает вид

.    (4)

Следовательно,

.

Поскольку

,

то 

.      (5)

Рассуждая аналогично, получим

,   (6)

.    (7)

Вычислим теперь расходимости векторов посредством формулы

,

приняв во внимание

, , .

Имеем

, (8)

,   (9)

,  (10)

Если  , то в силу линейности операции вычисления расходимости, получим

.           (11)

Если в формуле (11) взять  , то получим следующее выражение для оператора Лапласа в криволинейных ортогональных координатах:

(12)

Для вычисления вихря  векторного поля используем линейность этой операции, формулами (5)-(7) и формулой

:

.           (13)

Выражение (11) можно рассматривать  как результат применения формулы  Остроградского к параллелепипеду  К, стороны которого равны смещениям  вдоль координатных линий, соответствующих приращениям , а выражение (13) – как результат применения теоремы Стокса к трем парам граней того же параллелепипеда:

,        (14)

Где - объем этого параллелепипеда, S – его граница, n – вектор внешней единичной нормали к поверхности S в точках существования;

,      (15)

где S – граница параллелепипеда, L – объединение контуров, ограничивающих его грани, μS – площадь поверхности S, τ – единичный касательный к L вектор, n – вектор внешней единичной нормали к поверхности S. При этом следует принять во внимание, что векторы внешней единичной нормали n на гранях параллелепипеда и векторы τ, касательные к кривой L, совпадают с векторами базиса , или противоположны им.

Приняв во внимание формулы (4)-(9) п.3,  и формулы (11), (13) этого  пункта, получим следующие  выражения  для расходимости и вихря векторного поля в сферической и цилиндрической системах координат:

,          (16)

,                      (17)

,          (18)

.   (19)

Если  и - скалярные поля, заданные в сферических и цилиндрических координатах, то, применив формулу (12) этого пункта и используя (4)-(9), пункта 3, получим запись оператора Лапласа в сферических и цилиндрических координатах:

,    (20)

.       (21)

 

 

 

 

 

 

Заключение

В данной курсовой работе были рассмотрены:

1. Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции первого порядка. Примеры.
2. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа.
3. Запись основных дифференциальных операций в криволинейных ортогональных координатах. Градиент скалярного поля.
4. Расходимость и вихрь векторного поля

Также были рассмотрены  основные определения, леммы, все рассмотренные фрагменты данной курсовой работы подтверждались примерами.

Преимущество пользования  оператором Гамильтона заключается  в том, что, выполняя различные другие дифференциальные действия над скалярными и векторными функциями, можно рассматривать формально как обычный вектор и применять к нему правила векторной алгебры. Нужно только учитывать, что есть дифференциальный оператор, обладающий свойствами производной.

Операторы Гамильтона и Лапласа широко применяются в математической физике.

Список используемых источников

1. Математическая энциклопедия / под ред. И. М. Виноградова. – М. : Просвещение, 1965. – 1104 с.
2. Шипачев, В. С. Высшая математика/ В. С. Шипачев . – M. : Высшая школа, 1988. – 370 с.
3. Ляшко, И. И. Математический анализ: в 3-х т. Т.2./ И. И. Ляшко. – Киев.: Вища, 1985 – 551 с.
4. Толковый словарь математических терминов: пособие для учителей / под ред. В. А. Диткина. –М. : Просвещение, 1965.- 540 с.
5. Несис, Е. И. Методы математической физики / Е. И. Несис. – М.: Просвещение, 1977. – 199 с.