Окружность, вписанная в многоугольник и описанная около многоугольника
Дипломная работа, 31 Октября 2012, автор: пользователь скрыл имя
Краткое описание
Целью дипломной работы является:
Разработка элективного курса по теме: «Окружность, вписанная в многоугольник и описанная около многоугольника».
Для достижения указанной цели решаются следующие задачи:
Проанализировать педагогическую, методическую, математическую литературу по теме исследования;
Уточнить роль, место, цели, функции и требования «ЭК» в профильном обучении;
Содержание
Введение…………………………………………………………………………...….…3-6
Глава 1. Методика проведения элективных курсов по математике в профильной школе.
Цели организации элективных курсов по математике………….…………….7-9
Сравнение элективных и факультативных курсов……………….……….…9-10
Типология элективных курсов по математике…………………..................10-13
Организация элективных курсов по математике…………………….……..13-17
Формы занятий и контроль знаний на элективных курсах по математике.17-18
Глава 2. Разработка элективного курса «Окружность, вписанная в многоугольник и описанная около многоугольника».
2.1 Анализ учебной литературы……………………..………………………..19-24
2.2 Анализ научно-методической литературы………………………………....24
2.2 Пояснительная записка……………………………………………………24-26
2.3 Содержательная часть……………………………………………………..26-29
2.4. Методическая часть………………………………………………………30-40
Заключение………………………………………………………………………….41
Список источников………………………………………………………..……42-44
Приложение 1………………………………………………………………….45-
Приложение 2…………………………………………………………………..
Прикрепленные файлы: 1 файл
диплом!!!!! .docx
— 4.57 Мб (Скачать документ)
Приложение 1.
Окружность, вписанная в треугольник.
Во многих задачах встречается окружность, касающаяся сторон угла. Напомним, что в этом случае
- центр окружности лежит на биссектрисе угла ().
Рис.1.
- отрезки, соединяющие точки касания с центром окружности, являются ее радиусами и перпендикулярны к сторонам угла (, , ).
- равны расстояния от вершины угла до точек касания ().
- .
Даже этот краткий перечень свойств позволяет решать большое количество разнообразных задач.
Задача 1. Окружность с центром касается сторон угла в точках и . Радиус окружности равен 7, = 25. Найдите .
Решение.
Так как , то в треугольнике Тогда
Рис. 2.
В треугольнике отрезок — биссектриса и , следовательно,
и .
Найдем высоту прямоугольного треугольника :
значит,
Тогда .
Ответ: 13,44.
Задача 2. Окружность с центром касается сторон угла в точках и . Радиус окружности равен 6, .
Найдите площадь треугольника.
Решение.
Прежде всего, отметим, что на чертеже к данной задаче совсем необязательно изображать окружность, поскольку важно представлять лишь взаимное расположение отрезков и точек.
Рис.3.
В прямоугольном треугольнике , следовательно, . Отсюда получаем: и
.
Ответ: .
Задача 3. Окружность с центром касается сторон угла в точках и . Лучи и пересекаются в точке , , . Найдите площадь треугольника
Рис.4.
Решение.
Отрезок — биссектриса треугольника , следовательно,
.
Пусть , тогда , и в прямоугольном треугольнике
.
Далее получаем: .
Положительный корень уравнения равен 5,4. Следовательно,
Ответ: 48,6.
Задача 4. Окружность с центром касается сторон угла в точках и Отрезок пересекает окружность в точке . Найдите периметр четырехугольника , если .
Решение.
Пусть . В прямоугольном треугольнике
, следовательно, , то есть
. Отсюда получаем: .
В прямоугольном треугольнике Следовательно, в треугольнике и , то есть этот треугольник равносторонний. Значит, .
Аналогично получаем, что . Итак, периметр четырехугольника авен 48.
Ответ: 48.
Задача 5. На стороне угла равного , взята такая точка что и . Найдите радиус окружности, проходящей через точки , и касающейся прямой .
Решение.
Имеем два случая.
1. Точка касания окружности и прямой (точка ) лежит на луче . Тогда
Опустим из точки , середины хорды , перпендикуляр на . В треугольнике
F
Таким образом, — центр окружности и .
Рис.6.
2. Точка касания окружностью прямой (точка ) лежит на продолжении стороны за точку. — центр этой окружности, ее радиус. , так как точка середина хорды этой окружности. Пусть — точка пересечения прямых и °, . В треугольнике a тогда . Радиус окружности равен .
Ответ: 1; 3.
Задача 6. Прямая отсекает от сторон угла, равного 60°, отрезки 2 и 4. Найдите радиус окружности, касающейся этой прямой и сторон угла.
Рис.7.
Решение.
Искомых окружностей
две. Одна вписана в
Площадь треугольника равна
Найдем радиус второй окружности.
Так как обе окружности вписаны в угол , их центры и лежат на биссектрисе угла . Пусть и — радиусы окружностей, проведенные в точки их касания с прямой .
Треугольники и подобны, значит,
Так как , то
откуда
Ответ: и
Если окружность вписана в треугольник или четырехугольник, то она касается сторон всех его углов, поэтому на основе перечисленных выше свойств окружности, вписанной в угол, получаем:
- Центр окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника (четырехугольника).
- Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны к сторонам треугольника (четырехугольника).
- Равны расстояния от вершины угла до точек касания.
Задача 7. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник , касается его боковых сторон и в точках и соответственно. Найдите , если , .
Решение.
Данная окружность касается сторон угла в точках и , следовательно, . Тогда .
Пусть окружность касается стороны в точке . Тогда и Следовательно, и .
Рис.8.
Т.к. равнобедренные треугольники и подобны (почему?), имеем:
Следовательно,
Ответ: 10,08.
Задача 8. В треугольник вписана окружность с центром . Лучи и пересекают стороны и в точках исоответственно. Найдите если
Решение.
Луч — биссектриса угла , значит,
.
Рис.9.
Пусть тогда Следовательно,
Треугольники и подобны (почему?), следовательно,
т.е.
Ответ: 3,75.
Задача 9. В треугольник вписана окружность с центром . Прямая, проходящая через точку параллельно прямой , пересекает стороны и в точках исоответственно. Найдите , если .
Решение.
Пусть луч пересекает сторону в точке , тогда отрезок — биссектриса треугольника.
По условию , следовательно, и .
В прямоугольном треугольнике
.
Рис.10.
Луч — биссектриса угла , а значит, и биссектриса треугольника , поэтому
.
Пусть , тогда . Следовательно,
Треугольники АТО и АВН подобны (почему?), следовательно,
Отсюда получаем:
Значит,
Ответ:
Эту задачу, как и многие геометрические задачи, можно решить несколькими способами. Например, для вычисления отрезка можно использовать формулы и , где — площадь треугольника, — его полупериметр, — радиус вписанной окружности, — высота треугольника, — сторона, к которой проведена высота .
Замечание. Возвращаясь к чертежам задач 5,6 и 7, отметим, что на каждом из них точка располагается иначе, чем в других задачах. Особенно важно помнить, что в общем случае точка пересечения стороны с биссектрисой треугольника () и точка касания стороны с вписанной окружностью ) не совпадают. Их совпадение возможно только на основании равнобедренного треугольника (точка ).
Рис.11.
Еще одно интересное соотношение для радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, легко получить, применяя подобие.
Рассмотрим равнобедренный треугольник с основанием . Центр окружности лежит на биссектрисе , являющейся также высотой и медианой треугольника. Прямоугольные треугольники и подобны (почему?), следовательно,
. Из пропорции получаем
Аналогично получается формула
.
Рис.12.
Задача 10. Окружность с центром , вписанная в равнобедренный треугольник касается его боковой стороны в точке , Найдите основание треугольника.
Решение.
Построим высоту данного треугольника. Поскольку она является и биссектрисой, , и точка является точкой касания окружности и основания . Пусть , тогда и .
Рис.13.
В прямоугольном треугольнике
Из подобия треугольников и получаем:
т.е.
Следовательно, ВС = 2ВН = 30.
Ответ: 30.
На рисунке видно, что длина гипотенузы () и полупериметр () прямоугольного треугольника связаны с радиусом () вписанной в него окружности следующей простой формулой:
.
Рис. 14.
Задача 11. Расстояние от вершины прямого угла треугольника до центра вписанной в треугольник окружности равно , а площадь треугольника равна 30. Найдите длину гипотенузы.
Решение.
Поскольку
центр вписанной в данный
Следовательно,
Тогда
Ответ: 13.
Задача 12. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник (), касается катета в точке . Биссектриса угла пересекает катет С в точке Найдите , если .
Решение.
Пусть точка — центр окружности, вписанной в данный треугольник . Тогда ,
Пусть окружность касается гипотенузы в точке , а катета — в точке , и
Тогда . И по теореме Пифагора получаем:
.
Отсюда .
Рис.16.
Прямоугольные треугольники и подобны (почему?), следовательно,
Отсюда получаем:
Ответ: 2.
Задания для самостоятельной работы
- Окружность касается одной стороны прямого угла с вершиной и пересекает его вторую сторону в точках и . Найдите радиус окружности, если ,
- На стороне угла , равноговзята такая точка , что и
Найдите радиус окружности, проходящей через точки , и касающейся прямой .
- На стороне угла , равного , взята такая точка , что и Найдите радиус окружности, проходящей через точки , и касающейся прямой .На стороне угла , косинус которого равен , взята такая точка , что и . Найдите радиус окружности, проходящей через точки , и касающейся прямой .
- Прямая отсекает от сторон угла, равного 120°, отрезки 6 и 10. Найдите радиус окружности, касающейся этой прямой и сторон угла.
- Прямая отсекает от сторон угла отрезки 4 и 8. Найдите радиус окружности, касающейся этой прямой и сторон угла, если косинус этого угла равен
- Прямая отсекает от сторон угла отрезки 13 и 12. Найдите радиус окружности, касающейся этой прямой и сторон угла, если синус этого угла равен .
- Внутри угла, равного 60°, взята точка, отстоящая от его сторон на 1. Найдите радиус окружности, вписанной в этот угол и проходящей через данную точку.
- Внутри угла, равного 120°, взята точка, отстоящая от его сторон на 2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот угол и проходящей через данную точку.
- На биссектрисе угла, равного 60°, взята точка, отстоящая от его вершины на 2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот угол и проходящей через данную точку.
- На биссектрисе угла, равного 60°, взята точка, отстоящая от его вершины на . Найдите радиус окружности, вписанной в этот угол и проходящей через данную точку.
- Из точки к окружности с центром проведены касательная ( — точка касания) и прямая . Из точки к прямой проведен перпендикуляр . Найдите расстояние от точки до центра, если .
- Через точку окружности радиуса 10 проведены две взаимно перпендикулярные хорды длиной 16 и 12. Найдите расстояние между серединами хорд.
- Две параллельные хорды окружности отсекают от нее дуги в 90°. Длина каждой из хорд равна 8. Найдите расстояние между хордами.
- Через середину радиуса окружности проведена перпендикулярная ему хорда. Найдите градусную меру меньшей из дуг, на которые окружность делится проведенной хордой.
- Основание равнобедренного треугольника вдвое меньше его боковой стороны, а высота, проведенная к основанию, равна 10. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.
- Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках и . Точка делит сторону на отрезки 18 и 12, считая от основания треугольника. Найдите .
- Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, и боковой стороны делит эту сторону на отрезки 12 и 3, считая от основания треугольника. Найдите радиус окружности.
- Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, и катета делит этот катет на отрезки 3 и 4, считая от вершины прямого угла. Найдите площадь треугольника.
- В треугольнике . Вписанная в треугольник окружность касается стороны в точке , и . Найдите радиус окружности.
- В прямоугольный треугольник вписана окружность с центром Луч пересекает катет в точке , B . Найдите гипотенузу .
- В прямоугольный треугольник вписана окружность с центром . Луч пересекает катет в точке , и . Найдите
- Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник , касается гипотенузы в точке . Найдите диаметр окружности, если , .
- Стороны треугольника равны 5, 12 и 13. Найдите расстояние от центра вписанного в него круга до вершины большего угла.
- Стороны треугольника равны 7, 24 и 25. Расстояние от центра вписанного в него круга до вершины большего угла равно . Найдите радиус вписанного в треугольник круга.