Некоторые приложения аппарата векторных пространств

Например, рассмотрим задачу о рациональном снабжении  завода железной рудой. Руда может доставляться на завод из n пунктов добычи. При этом, c_i – стоимость добычи одной тонны руды на i-й шахте и ее доставки на завод, b_i – объем добычи на i-й шахте, b -  потребность завода в руде. Потребитель стремится уменьшить расход на приобретение сырья. Если x_i – количество руды (в тоннах), которое будет доставляться с i-й шихты, то этот расход в сумме составит

L= - целевая функция.

Нужно учесть при  этом, что неизвестные x_i обязаны удовлетворять ряду ограничений. Прежде всего, необходимо полностью удовлетворить потребность завода в сырье: . Кроме того, очевидно, что , i=1,2, … n. Наконец, по смыслу задачи величины x_i≥0, i=1,2, … n.

Таким образом, требуется найти наименьшее значение целевой функции (минимизировать целевую  функцию) при соблюдении вышеуказанных  условий.

При небольшом  числе переменных задача ЛП имеет простой геометрический смысл. Например, возьмем для нашей задачи n=3 и конкретизируем значения исходных данных:

L=

=

0≤ ≤3, 0≤ ≤8, 0≤ ≤5

Учитывая первое условие, выразим x₃ через x₁ и x₂ и подставим в целевую функцию: L= (*) при ограничениях 0≤ ≤3, 0≤ ≤8, 5≤ ≤10

Ограничения задают на плоскости некую многоугольную область S. Очевидно, что при каждом значении L, равенство (*) для целевой функции представляет собой прямую на плоскости. При этом изменению L соответствует параллельный перенос прямой. Через одну из вершин многоугольника S пройдет как раз та прямая, на которой достигается интересующий нас минимум. В нашем случае это точка с координатами x₁=3, x₂=7. При этом x₃=0, L=27.

Произвольная  задача ЛП может быть сформулирована подобно рассмотренной в следующем  виде: например, минимизировать целевую  функцию

L=

, j=1,2, … n

x_i≥0

При m=2 ограничения, как и в примере, определяют выпуклую многоугольную область на плоскости (или пустое множество, если ограничения несовместны), при m=3 – выпуклую многогранную область в пространстве. При этом решение задачи, если оно существует, достигается на границе этой области, более точно – в некоторой ее вершине. В случае произвольного m также говорят, что ограничения определяют выпуклую многогранную область в m-мерном координатном пространстве. Такие понятия, как «выпуклость», «граница области», «вершина», могут быть определены и в этом случае. Если задача ЛП имеет решение, то оно достигается в вершине многогранной области, определенной ограничениями, указанными выше.

На этом общем  утверждении основываются различные  методы минимизации, в частности, и наиболее известный из них – симплекс-метод. В упомянутом методе производится направленный перебор вершин, такой, что при переходе от одной вершины к следующей значение целевой функции в нашем случае уменьшается. Перебор заканчивается, когда будет достигнут минимум целевой функции.

 

§3. Приближенные вычисления с помощью метода наименьших квадратов

Высказанные в §4 Главы 1 соображения о наименьшем расстоянии от вектора до подпространства лежат в основе многих разновидностей известного в математике «метода наименьших квадратов».

Данный метод  можно проиллюстрировать на примере, относящемся к серии популярных задач на смеси и сплавы.

Плавильщик  располагает тремя сплавами: латунью, бронзой и мельхиором. Процентное содержание меди, цинка, олова и никеля в этих сплавах указано в следующей таблице:

Металл	Латунь	Бронза	Мельхиор	Новый сплав
Медь	60	80	80	70
Цинк	40	0	0	10
Олово	0	20	0	10
Никель	0	0	20	10

Цель плавильщика  – получить новый сплав, в котором  перечисленные четыре металла составляют соответственно 70, 10, 10, 10 процентов. Осуществима ли такая цель, а если нет, то насколько близко можно подойти к желаемому составу нового сплава?

Пусть x1, x2, x3 – доли, которые должны составить латунь, бронза и мельхиор в предполагаемом сплаве. Баланс по каждому из четырех металлов дается уравнениями

Медь	0,6x1	+0,8x2	+0,8x3	=0,7
Цинк	0,4x1			=0,1
Олово		0,2x2		=0,1
Никель			0,2x3	=0,1

или иначе,

	6x1	+8x2	+8x3	=7
	4x1			=1
		2x2		=1
			2x3	=1

Ясно, что получившаяся систем несовместна, и потому ответ на первый вопрос задачи отрицательный. Результат можно выразить и иначе, если рассмотреть векторы-столбцы а₁=(6, 4, 0, 0), а₂=(8, 0, 2, 0), а₃=(8, 0, 0, 2), b=(7, 1, 1, 1), составленные из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Несовместность системы означает, что вектор b нельзя записать в виде линейной комбинации векторов трех других векторов а₁, а₂, а₃. Или (что то же самое) вектор b не содержится в линейной оболочке векторов а₁, а₂, а₃:

L=‹

В то же время  векторы из подпространства L с точностью до пропорциональности соответствуют тем сплавам, которые могут быть получены при смешивании в той или иной пропорции латуни, бронзы и мельхиора. Будем рассматривать наши векторы как элементы четырехмерного координатного евклидова пространства со скалярным произведением, определенным по формуле из Примера 2 §3 Главы 1. Теперь второй вопрос можно уточнить так: в подпространстве L найти вектор, ближайший к вектору b, иными словами ортогональную проекцию вектора b на подпространство L – вектор: 
x₀= (*)

Соответствующий этому вектору сплав и будем  считать наилучшим приближением к требуемому в задаче. Для отыскания  ортогональной проекции заметим, что  для всех j=1,2,3 (b, a_j)=(x₀+(b-x₀),a_j)=(x₀,a_j)+(b-x₀,a_j)= (x₀,a_j) так, как b-x₀ ортогонален любому вектору из L. Подставляя в полученные равенства (b, a_j)=(x₀, a_j), выражение вектора x₀ как линейного разложения по векторам а₁, а₂, а₃ (выражение (*)), приходим к системе линейных уравнений для определения коэффициентов x₁,x₂,x₃, решая которую находим x₁≈0,22, x₂=x₃≈0,39. Вектор x₀=(7,56; 0,88; 0,78; 0;78). Соответствующий ему сплав, которым может удовлетвориться плавильщик, содержит 75,6% меди, 8,8% цинка и по 7,8% олова и никеля.

 

Заключение

Данная работа посвящена таким ключевым понятиям линейной алгебры как векторы, пространства, гиперплоскости, гиперповерхности, евклидово пространство, ортогональность и другие. Данные понятия введены в линейную алгебру из аналитической геометрии. В то же время объекты, к которым данные понятия применяются совсем не походят на свои геометрические прототипы. Так в §2 Главы 1 отмечалось, что роль векторов (элементов линейного пространства) могут играть такие объекты, как многочлены, матрицы, функции и т.д.

Само векторное (или линейное) пространство определяется как множество объектов любой природы, для элементов которых каким-либо способом (причем, безразлично каким) определены операция сложения элементов и операция умножения элемента на скаляр. Основная связь с аналитической геометрией состоит в том, что указанные операции обязаны обладать теми же свойствами, что и соответствующие операции над геометрическими векторами.

Таким образом, при введении понятия линейного  и далее евклидова пространства абстрагируются не только от природы  изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования суммы элементов, произведения элемента на число и скалярного произведения векторов (важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли восьми аксиомам линейного пространства и четырем аксиомам скалярного произведения)

При этом употребление термина «вектор» не приводит к недоразумениям. Напротив, взывая к сложившимся геометрическим представлениям, данный образ позволяет уяснить, и даже предвидеть ряд результатов, справедливых для линейных пространств произвольной природы.

Теоретическая база линейной алгебры используется для решения многочисленных прикладных задач. В Главе 2 мы коснулись только некоторых приложений. В §1 Главы 2 были введены понятия гиперплоскости и гиперповерхности в n-мерном координатном пространстве. А решение системы линейных уравнение было интерпретировано как пересечение нескольких гиперплоскостей.

В §2 была затронута  тема повсеместно возникающих на практике оптимизационных задач. Методы решения таких задач рассматриваются  в одном из разделов прикладной математики, называемом линейным программированием. Теоретической базой линейного программирования является линейная алгебра, а пониманию сути методов решения способствуют такие геометрические понятия как «выпуклая многогранная область», «граница области», «вершина» и т.п.

Многие методы теории приближений основываются на факте, который для обычных пространств нам хорошо известен: длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую или плоскость, меньше длины любой наклонной. В §3 Главы 2 было рассмотрено решение простейшей задачи на смеси и сплавы, использующее метод наименьших квадратов. В этом случае нам помог перевод задачи на язык линейной алгебры и отыскание ортогональной проекции вектора в соответствующем подпространстве линейного евклидова пространства. 

Таким образом, введенные в линейной алгебре понятия и выводы, полученные с их введением, применяются во многих разделах математики, таких как математический анализ, теория дифференциальных уравнений, функциональный анализ, теория вероятностей, теория приближений и пр. В этих разных областях очень часто возникают ситуации, укладывающиеся в одну и ту же общую схему, которая отражена в понятиях линейного и евклидова пространства и других, связанных с ними.

Такие понятия  как линейная зависимость и независимость векторов, базис, размерность, подпространство и т.д. переносятся без изменений в различные векторные пространства над теми или иными полями (и даже не обязательно полями вещественных (R) и комплексных (C) чисел). Дело, конечно, не только в логической возможности подобных обобщений. Важнее то, что во многих теоретических и практических задачах векторные пространства оказываются полезной математической моделью изучаемого круга вопросов, а аппарат линейной алгебры – ценным орудием для его изучения.

 

Список литературы

1. Аршинов М.Н., Садовский Л.Е. Грани алгебры. –М.: Факториал Пресс, 2008
2. Барыбина И.А., Хармац А.Г. Математика 1. Учебно-методическое пособие для студентов – М.: МГОУ, 2010
3. Жаров В.К., Матвеев О.А., Панкратов А.С., Роганов А.А. Математика. Лекции по аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. Выпуск 1. – М.:Янус-К, 2008
4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009
5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010
6. Зайцев М.Г. Методы оптимизации управления для менеджеров. – М.: «ДЕЛО», 2002
7. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. − М.: Высшшкола. 1979.
8. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. − М.: Наука, Главная редакция физико – математическойлитературы, 1957 и др. г.

 

¹ Более того определение векторного пространства со всеми входящими в него аксиомами имеет смысл и тогда, когда в качестве скаляров используются элементы произвольного поля F, которое может быть даже и конечным.

² В курсе математического анализа рассматривают также бесконечномерные линейные пространства такие, в которых существует любое число линейно независимых элементов. В этом случае размерность пространства обозначают dimR= ∞ . Примером бесконечномерного пространства может служить линейное пространство C[a,b] всех функций x=x(t) (см. пример 4).

³ Первая работа академика Л.В. Канторовича относится к 1939 году. Методы линейного программирования получили свое дальнейшее развитие в сороковых-пятидесятых годах прошлого века.