Многочлени з однією змінною в полі раціональних чисел

 

Приклад.

Знайти розклад многочлена f(x)=x⁵-3x³+x²-2x+1 за степенями двочлена x-1.

 

f(x)=(x-1)⁵+5(x-1)⁴+7(x-1)³+2(x-1)²-4(x-1)-2.

 

в) Подільність  многочленів

Важливим  для розгляду є випадок ділення  многочленів “без остачі”, або, інакше, “націло”. Тоді говорять, що f(x) ділиться на g(x). Позначають: f(x) g(x).

 

 

Властивості подільності:

 

2.  

 

 

3.  

 

4. (узагальнення2,3).

                               

 

5.  

 

Всі ці властивості  очевидні і випливають безпосередньо  із властивостей подільності в довільному цілісному кільці. Два многочлени із P[x] називаються асоційованими, якщо перший многочлен ділиться на другий, а другий ділиться на перший. Такі многочлени можуть відрізнятися тільки сталим множником. Відношення “бути асоційованими” є відношенням еквівалентності. [21]

 

 

 

1.3.  Найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне многочленів

 

          Спільний дільник многочленів f(x) та g(x), який ділиться на кожний інший спільний дільник цих многочленів, називається їх найбільшим спільним дільником (НСД) і позначається (f,g). НСД многочленів визначається однозначно з точністю до сталого множника (оскільки, якщо d(x) – НСД , то й c·d(x), де , теж НСД).

           Многочлени f(x) та g(x) називаються взаємно простими, якщо кожний їхній спільний дільник є ненульовою константою, тобто (f,g)=1.

           Розглянемо спосіб знаходження НСД (алгоритм Евкліда).

           Нехай дано многочлени f(x) та g(x), причому . Виконаємо послідовне ділення з остачею:

 

                                         

 

          Тут оскільки послідовність степенів многочленів g(x), r₁(x), r₂(x),... є монотонно спадною. Оскільки степінь r₁(x) не вищий за m-1, де  m=deg g, то кількість кроків в алгоритмі не перевищує m.

  Оскільки (f,g)=(g,r₁)=(r₁,r₂)=(r₂,r₃)=…=(r_n-1,r_n)=(r_n,0)=r_n, то остання відмінна від нуля остача r_n(x) в алгоритмі Евкліда і є НСД многочленів f(x) і g(x). [9]

 

Приклад.

З допомогою алгоритму Евкліда знайти НСД многочленів

 

f(x)=x³–3x²+3x–1,     g(x)=x³–1.

x³–3x²+3x–1=(x³–1)·1+(-3x²+3x)

x³–1=(-3x²+3x)·( )+(x–1)

-3x²+3x=(x–1)·(-3x). 

 

Отже, (f,g)=x–1. [20]

 

      НСД більшої кількості  многочленів, зокрема, f₁(x), f₂(x),…, f_n(x) шукають так:    

d₁(x)=(f₁,f₂),   d₂(x)=(d₁,f₃),  d₃(x)=(d₂,f₄), …,   d_n-1(x)=(d_n-2,f_n).

 

d_n-1(x) і є НСД многочленів f₁(x), f₂(x),…, f_n(x).

          Якщо хоча б два многочлени із системи f₁(x), f₂(x),…, f_n(x) взаємно прості, то НСД усіх цих многочленів дорівнює одиниці.

          Якщо позначити d(x)=r_n(x), то, піднімаючись вгору рівностями алгоритму Евкліда, можна отримати вираз    d(x)=f(x)·u(x)+g(x)·v(x),

тобто   такі що (f,g) виражається через f(x) і g(x).

Найменшим спільним кратним (НСК) многочленів f(x) та g(x) називається спільне кратне f(x) і g(x), на яке ділиться довільне інше спільне кратне цих многочленів.    Позначається [f, g].

 

Теорема. Для довільних ненульових многочленів f(x), g(x) НСК існує і визначається з точністю до сталого множника.

Доведення:   

           Для доведення розглянемо многочлен який, очевидно, є спільним кратним f(x) та g(x), оскільки ділиться на кожний з них. Нехай s(x) –довільне інше спільне кратне многочленів f(x) і g(x). Тоді і , звідки s(x)=s₁(x)·f(x), а також тобто

Замінимо     f(x)=(f,g)·f₁(x),     g(x)=(f,g)·g₁(x),      де (f₁,g₁)=1. Звідси

.

 Із   (f₁,g₁)=1  випливає, що      тобто s₁(x)=g₁(x)·t(x),   звідки Отже,

Це означає, що q(x) – найменше спільне кратне многочленів f(x) та g(x).

Якщо q₁(x) – інше НСК, то і , тобто q_l(x) та q(x) відрізняються тільки сталим множником.▲ [15]

 

 

 

РОЗДІЛ 2. ОБЧИСЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ КОРЕНІВ. НЕЗВІДНІСТЬ МНОГОЧЛЕНІВ НАД ПОЛЕМ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

 

1. Обчислення раціональних коренів

 

          Як ми вже відзначали, одним з найважливіших завдань в теорії многочленів є задача обчислення їх коренів. Для вирішення цього завдання можна використовувати метод підбору, тобто брати навмання число і перевіряти, чи є воно коренем даного многочлена. При цьому можна досить швидко "натрапити" на корінь, а можна й ніколи його не знайти. Адже перевірити всі числа неможливо, так як їх нескінченно багато. Інша справа, якщо б нам вдалося звузити область пошуку, наприклад знати, що шукані корені знаходяться, скажімо, серед тридцяти зазначених чисел. А для тридцяти чисел можна і перевірку зробити. У зв'язку з усім сказаним вище, важливим і цікавим видається таке твердження:

          Якщо нескоротний дріб (l, m - цілі числа) є коренем многочлена f (x) з цілими коефіцієнтами, то старший коефіцієнт цього многочлена ділиться на m, а вільний член - на 1.

          Справді, якщо f (x)=a_nx_n + a_n-1x_n-1 + ... + а₁x + a₀, a_n ≠ 0, де a_n, a_n-1, ..., a₁, a₀ - цілі числа, то f(l / m)=0, тобто а_n(l / m) ⁿ+a_n-1(l / m) ^n-1+... +a₁l / m+a₀=0.

 

          Помножимо обидві частини цієї рівності на mⁿ. Отримаємо:    

 

a_nlⁿ+a_n-1l^n-1m+... +a₁lm^n-1+a₀mⁿ=0

         Звідси випливає:                  

 

a_nlⁿ=m (-a_n-1l^n-1-... - a₁lm^n-2-a₀m^n-1).

          Бачимо, що ціле число a_nlⁿ ділиться на m. Але - нескоротний дріб, тобто числа l і m взаємно прості, а тоді, як відомо з теорії подільності цілих чисел, числа lⁿ та m теж взаємно прості. Отже, a_nlⁿ ділиться на m і m взаємно прості з lⁿ, значить, a_n ділиться на m. [14]

          Доведена тема дозволяє значно звузити область пошуку раціональних коренів многочлена з цілими коефіцієнтами. Продемонструємо це на конкретному прикладі. Знайдемо раціональні корені многочлена f(x)=6x⁴+13x²-24x²-8x+8.

           Згідно з теоремою, раціональні корені цього многочлена знаходяться серед нескоротного дробу виду , де l - дільник вільного члена a₀ = 8, а m - дільник старшого коефіцієнта a₄ = 6. при цьому, якщо дріб l / m –від’ємний, то знак "-" будемо відносити до чисельника. Наприклад, - (1/3) = (-1) / 3. Значить, ми можемо сказати, що l - дільник числа 8, а m - додатній дільник числа 6.Так як дільники числа 8 - це ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, а додатними дільниками числа 6 будуть 1, 2, 3, 6, то раціональні корені розглянутого многочлена знаходяться серед чисел ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8, ± 8/3.

           Таким чином, ми маємо двадцять чисел - "кандидатів" в корені. Залишилося тільки перевірити кожне з них і відібрати ті, які дійсно є коренями. Але знову-таки, доведеться зробити досить багато перевірок. Та наступна теорема спрощує цю задачу.

           Якщо нескоротний дріб є коренем многочлена f(x) з цілими коефіцієнтами, то f(k) ділиться на l-km для будь-якого цілого числа k за умови, що

l-km ≠ 0.

             Для доведення цієї теореми розділимо f(x) на x-k із остачею.

Отримаємо f(x)=(x-k)s(x) + f(k). Так як f(x) - многочлен з цілими коефіцієнтами, то таким є многочлен s(x), а f(k) - ціле число.

           Нехай s(x) =b_n-1+b_n-2+…+b₁x+b₀. Тоді  f(x) - f(k) = (x-k)(b_n-1x^n-1+b_n-2x^n-2+ …+b₁x+b₀).

Припустимо, що в цій рівності x=. Враховуючи, що f()=0, отримуємо:

f (k) = ( () - k) (b_n-1( ) ^n-1+b_n-2( ) ^n-2+…+b₁ () +b₀).

 

Домножимо обидві частини останньої рівності на mⁿ:

         mⁿf (k) = (l-km) (b_n-1l^n-1+b_n-2l^n-2m+…+b₁lm^n-2+b₀m^n-1).

 

          Звідси випливає, що ціле число mⁿf (k) ділиться на l-km. Але так як l і m взаємно прості, то mⁿ и l-km, теж взаємно прості, а значить, f (k) ділиться на l-km. Теорема доведена.  [8] 
          Повернемося тепер до нашого прикладу і, використавши доведену теорему, ще більше звузимо коло пошуків раціональних коренів. Застосуємо вказану теорему при k=1 и k=-1, тобто якщо нескоротній дріб l / m є коренем многочлена f (x), то

f(1) / (l-m), а f (-1) / (l+m). Легко знаходимо, що в нашому випадку f(1) =-5, а f(-1) =-15. Зауважимо, що заодно ми виключили з розгляду ± 1.  
Отже раціональні корені нашого многочлена слід шукати серед чисел ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8, ± 8/3.  
          Розглянемо =1/2. Тоді l-m=-1 и f (1) =-5 ділиться на це число. Далі, l+m=3 и f (1) =-15 так само ділиться на 3. Значить, дріб 1/2 залишається в числі "кандидатів" в корені.  
          Нехай =- (1/2) = (-1) /2. У цьому випадку l-m=-3 и f (1) не ділиться на

- 3. Значить, дріб не може бути коренем даного многочлена, і ми виключаємо її з подальшого розгляду. Виконаємо перевірку для кожної з виписаних вище дробів, отримаємо, що шукані корені знаходяться серед чисел , ± , 2, - 4.  
          Таким чином, досить-таки простим прийомом, ми значно звузили область пошуку раціональних коренів розглянутого многочлена. Ну, а для перевірки залишившихся чисел застосуємо схему Горнера: 

Таблиця 10.

	6	13	-24	-8	8
	6	16	-16	-16	0

           Бачимо, що - корінь многочлена f (x) і f (x) = (x-) (6x³+16x²-16x-16) = (2x-1) (3x³+8x²-8x-8). Ясно, що всі інші корені многочлена f (x) співпадають з коренями многочлена g (x) =3x³+8x²-8x-8, а значить, подальшу перевірку "кандидатів" в корені можна проводити вже для цього многочлена. При цьому ми дещо виграємо по часу в обчисленнях, так як перевірку будемо виконувати для більш "короткого" многочлена. Знаходимо:

Таблиця 11.

	3	8	-8	-8
2/3	3	10	-4/3	-80/9

           Отримали, що остача при діленні g (x) на x - дорівнює - ,  тобто не є коренем многочлена g (x), а значить, і f (x). 
Далі легко знаходимо, що - - корінь многочлена g (x) і g (x) = (3x+2) (x²+2x-4).

Тоді: f (x) = (2x-1) (3x+2) (x²+2x-4).  Подальшу перевірку можна проводити для многочлена x²+2x-4, що, звичайно, простіше, ніж для g (x) або тим більше для

f (x). В результаті отримаємо, що числа 2 і - 4 не є коренями.  
Отже, многочлен f (x) =6x⁴+13x³-24x²-8x+8 має два раціональних кореня: і - .  
             Нагадаємо, що описаний вище метод дає можливість знаходити лише раціональні корені многочлена з цілими коефіцієнтами. Між тим, многочлен може мати й ірраціональні корені. Так, наприклад, розглянутий у прикладі многочлен має ще два кореня: - 1 ± (це корені многочлена х²+2х-4). А, взагалі кажучи, многочлен може й зовсім не мати раціональних коренів.  [7] 
          Тепер кілька порад:

          При випробуванні "кандидатів" в корені многочлена  f (x) за допомогою другої з доведених вище теорем, зазвичай використовують останню для випадків

k = ±1. Іншими словами, якщо - "кандидат" у корені, то перевіряють, чи ділиться f (1) і f (-1) на l-m і l+m відповідно. Але може статися, що, наприклад, f (1) =0, тобто 1 - корінь, а тоді f (1)ділиться на будь-яке число, і наша перевірка втрачає сенс. У цьому випадку слід розділити  f (x) на x-1, тобто отримати f(x) = (x-1) s(x), і проводити випробування для многочлена s (x). При цьому не слід забувати, що один корінь многочлена f (x) - x₁=1 - ми вже знайшли.  
          Якщо при перевірці "кандидатів" в корені, що залишилися після використання другої теореми про раціональні корені, за схемою Горнера отримаємо, що, наприклад, - корінь, то слід знайти його кратність. Якщо вона дорівнює, скажімо, k, то f (x) = (x - )^ks(x), і подальшу перевірку можна виконувати для s (x), що скорочує обчислення. [13] 
          Таким чином, ми навчилися знаходити раціональні корені многочлена з цілими коефіцієнтами. Виявляється, що так само ми навчилися знаходити ірраціональні корені многочлена з раціональними коефіцієнтами. Річ в тому, що якщо ми маємо, наприклад, многочлен f (x) =x⁴+2/3x³+5/6x²+3/8x+2, то, привівши коефіцієнти до спільного знаменника і винісши його за дужки, одержимо f (x) = (24x⁴+16x³-20x²+9x+48). Ясно, що корені многочлена f (x) співпадають з коренями многочлена, що стоїть в дужках, а його коефіцієнти - цілі числа. 

          Доведемо, наприклад, що sin10⁰- число ірраціональне. Скористаємося відомою формулою sin3α=3sinα-4sin³α. Звідси sin30⁰=3sin10⁰-4sin³10⁰. Враховуючи, що sin30⁰=0.5 і проводячи нескладні перетворення, отримуємо 8sin³10⁰-6sin10⁰+1=0. 

          Отже, sin10⁰ є коренем f (x) =8x³-6x+1. 

          Якщо ж ми будемо шукати раціональні корені цього многочлена, то переконаємося, що їх немає. Значить, корінь sin10⁰ не є раціональним числом, тобто sin10⁰ - число ірраціональне. [11]

 

 

2.2. Незвідність многочленів

 

Многочлен f(х) Р[x] називається незвідним у полі Р, якщо він не є константою і  не має дільників, відмінних від константи та асоційованих з ним многочленів (аналог простого числа).         В іншому випадку многочлен називають звідним (аналог складеного числа). Поняття звідності є відносним і залежить від поля Р, над яким розглядається многочлен. 

 

Приклад:

 

          Многочлен f(х)=x незвідний у полі Q, але звідний у полі R:

f(x)= (x- )(x+ );

многочлен f(x)= x +3 незвідний в полях Q, R, але звідний у полі С:

f(x)= (x-i )(x+i ). _[21]

 

Якщо многочлен f(х) незвідний у полі Р, то він вже є добутком незвідних в даному полі многочленів (один співмножник). Якщо многочлен f(х) звідний у полі Р, то, розклавши його і всі його співмножники в добуток незвідних многочленів у даному полі, отримаємо зображення многочлена, яке називають розкладом многочлена f(х) на незвідні множники: