Методика навчання учнів основної школи доведення нерівностей різними методами та способами на уроках алгебри та факультативних заняттях

.

Отже, .

Другий спосіб. Нерівність легко довести, використовуючи нерівність Коші–Буняковського:

.

Отже, . Нерівність доведена.

Приклад 6. Довести нерівність для натурального

Доведення: Перевіримо правильність нерівності при

 – правильна нерівність.

Припустимо, що при  виконується рівність

.                                                                           (3)

Доведемо, що правильною буде нерівність при

.                                                              (4)

Доведемо допоміжну нерівність

                                                                                  (5)

.

Підставивши у нерівність (5) отримане і використавши метод доведення за означенням до (5), отримаємо: , що справедливо при . Отже, нерівність (5) виконується при будь якому натуральному . Додавши нерівності (3) і (5), дістанемо нерівність (4). Нерівність доведена.

Довести самостійно:

4. ;
5. ;
6. , ;
7. ;
8. (a + 2)(b + 6)(c + 3) ≥48 , якщо a≥0, b≥0, c≥0.

 

Висновок

Теорія нерівностей відіграє велику роль у математиці. Останнім часом з’явилися окремі галузі сучасної математики, в яких нерівностям відводиться центральне місце. Це лінійне  та нелінійне програмування, теорія ігор, дослідження операцій тощо.

У даній курсовій роботі були розглянуті деякі методи доведення нерівностей, які розглядаються в шкільному курсі математики і широко застосовуються до доведення нерівностей.

Крім теоретичної основи методів доведення нерівностей, в курсовій роботі наводяться приклади, які можна запропонувати учням як на уроках алгебри, так і на факультативних заняттях.

Також були вирішені наступні завдання:

– Досліджено стан проблеми в науковій, навчально-методичній літературі;

– З’ясувано теоретичні основи дослідження (загальні відомості про нерівності, суть методів доведення нерівностей);

– Підібрано систему задач на доведення нерівностей для курсу алгебри основної школи та факультативного курсу математики основної школи;

– Розроблено методику навчання учнів доведення нерівностей.

У шкільному курсі математики нерівності застосовують при вивченні похідної, інтеграла, елементів теорії рядів, за допомогою нерівностей досліджують послідовності та функції, знаходять  їх границі, розв’язують також задачі на доведення нерівностей. Проте обмежене коло таких задач не дає змогу глибоко опанувати різноманітні методи доведення нерівностей, які мають величезне значення у математичному розвитку учнів. Але, знаючи достатню кількість методів доведення нерівностей, учень може досить легко довести ту чи іншу нерівність.

Дана курсова робота дає змогу повторити, систематизувати та закріпити матеріал, що вже відомий учням.

 

Список використаної літератури

1. Алексеев В. М. Элементарная математика. Решение задач: Учеб. пособие. – К.: Высшая школа. Головное изд-во, 1989. – 393 с.
2. Бевз Г. П. Алгебра: Підручник для 9 кл. загальноосвіт. навч. закл./ Г. П. Бевз, В. Г. Бевз. – К.: Зодіак – ЕКО, 2009. – 288 с. і іл.
3. Бевз Г. Нерівності [Текст] / Г. Бевз // Математика в школі. – 2009. – №1-2. – С. 23-27.
4. Вороний О. М. Готуємося до олімпіади з математики. – Х.: Видав. гр. «Основа», 2008.— 255 с. 
5. Гайштут О.Г., Литвиненко Г.М. Розв'язання алгебраїчних задач. – К.: Рад. шк., 1991. – 224 с.
6. Заболотня Л. Доведення нерівностей у шкільному курсі математики: (Програма курсів за вибором. 9 - 11 класи) [Текст] / Л. Заболотня, В. Швець // Математика в школі. – 2004. – №6. – С. 35 - 37.
7. Каплун О.І. Тест-контроль. Алгебра + геометрія. 9 клас: Зошит для самостійних та контрольних робіт: 2-ге вид., перероб. – Харків: ФОП Співак Т.К., 2009. – 128 с.
8. Карпік В. В. Числові нерівності. Лінійні нерівності [Текст] : тестові завдання з алгебри. 9 клас / В. В. Карпік // Математика в школах України. – 2009. – №27(вересень). – С. 34-39.
9. Коваленко В. Г. Доведення нерівностей [Текст] / В. Г. Коваленко, М. Б. Гельфанд, Р. П. Ушаков. – К. : Вища школа, 1979. – 120с.
10. Кравчук В., Підручна М., Янченко Г. Алгебра. Підручник для 9 кл./ За редакцією З. І. Слєпкань. Видання третє, перероблене та доповнене – Тернопіль: Підручники і посібники, 2007. – 256 с.
11. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин–тов. – М. : Просвещение, 1991. - 352 с.
12. Марченко Л. Основні методи доведення нерівностей [Текст] / Л. Марченко // Математика в школах України. – 2010. – №26(вересень). – С. 21-25.
13. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра: Підручник для класів з поглибленим вивченням математики, 9 клас – Харків, «Гімназія», 2009.
14. Панкратова О. Г. Нерівність [Текст] : [розробка нестандартного уроку] / О. Г. Панкратова // Математика в школах України. – 2009. – №28(жовтень). – С. 13-16.
15. Перехейда О. М. Доведення нерівностей. [Текст] / О. М. Перехейда, Р. П. Ушаков. – Х. : Вид.група "Основа", 2003. – 96с. – (Бібліотека журналу "Математика в школах України". ; Вип.7(7).).
16. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика 5-12 класи. Затверджено міністерством освіти і науки України. – Київ: Перун, 2005. – с. 64.
17. Програма для класів з поглибленим вивченням математики. 8-9 класи// Математика. . – Інформаційний збірник МОНУ. 2008. №16 – 17. – С. 3-15.
18. Рижков М. О. Матеріали для факультативних занять, спецкурсів, гуртків. Математика 8-11. — X. : Вид. група «Основа», 2008. — 96 с.
19. Самойленко Л. В. Доведення нерівностей [Текст] : система вправ для проведення факультативних занять у 9-му класі / Л. В. Самойленко // Математика в школах України. – 2009. – №30(жовтень). – С. 28-29.
20. Шелест Н. Способи доведення нерівностей у шкільному курсі математики [Текст] : 10-11 класи / Н. Шелест // Математика. – 2009. – №15(квітень). – С. 17-18.