Метод Эйлера

Метод Эйлера.

В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения. Однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в табличной форме.

Пусть дано дифференциальное уравнение (6.1). Найти приближенное численное решение этого дифференциального уравнения, т.е. составить таблицу приближенных значений функции у=у(х) удовлетворяющей заданным начальным условиям.

Где, xi=x0+ih,  - шаг таблицы. 

Приближенно можно считать, что правая часть в (6.1) остается постоянной на каждом из отрезков между точками деления. Метод Эйлера состоит в непосредственной замене производной разностными отношениями по приближенной формуле:

y-y0=f(x0,y0)(x-x0) 
y=y0+f(x0,y0)(x-x0)

если x=x1, то 
y1=y0+f(x0,y0)(x1-x0) 
y1=y0+hf(x0,y0) 
Δy0=hf(x0,y0) 
если x=x2, то 
y2=y1+f(x1,y1)(x2-x1) 
y2=y1+hf(x1,y1) 
Δy1=hf(x1,y1) 
…

если x=xi+1, то 
yi+1=yi+hf(xi,yi) 
Δyi=hf(xi,yi) 
Таким образом, получение таблицы значений искомой функции у(х) по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул:  
Δyk=hf(xk,yk) 
yk+1=yk+Δyk 
где k=0, 1, 2, … ,n 
Геометрически эти формулы означают, что на отрезке [xi, xi+1] интегральная кривая заменяется отрезком касательной к кривой (см. рис. 6.3, рис. 6.4).

Пример 1

Решить методом Эйлера дифференциальное уравнение y'=cos y + 3 x с начальным условием y(0)=1,3 на отрезке [0, 1] приняв шаг h=0,2

Алгоритм решения задачи на рис. 6.5.  
Программу составить самостоятельно. 
{Программа 6.1} 
var x,y,a,b,h:real; {Метод Эйлера} 
function f(x,y:real):real; 
begin f:= cos(y)+3*x; end; 
begin 
writeln('введите y, a, b, h'); 
readln(y,a,b,h); x:=a; 
repeat 
writeln(x:0:3,' ',y:0:3); 
y:=y+h*f(x,y); 
x:=x+h; 
until x>b+0.1; 
readln; end.

Пример 2

Решить методом Эйлера дифференциальное уравнение y'=cos y + 3x с начальным условием y(0)=1,3 на отрезке [0, 1] приняв шаг h=0,1

Вывод: погрешность метода Эйлера слишком велика для решения практических задач. Дальнейшим развитием метода Эйлера явились методы Рунге-Кутта.