Матрицы, типы матриц. Линейные операции над матрицами

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ 

ИНСТИТУТ ГОСУДАРСТВЕННОГОУПРАВЛЕНИЯ, ПРАВА

И ИННОВАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

 

 

 

 

 

 

 

 

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

 

 

 

Контрольная работа по дисциплине

 

«Математический анализ» 

На тему: «Матрицы, типы матриц.  Линейные операции над матрицами»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

Студентка 1 курса

Заочное отделение

Иномова Э.З.

Проверил:

Доцент, Быков А.Ю.

 

 

 

 

 

Зеленоград,2013 год

Оглавление

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ 3

ТИПЫ МАТРИЦ 3

Основные типы матриц 3

Вырожденные и невырожденные матрицы 4

Обратная матрица 5

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ 5

Равенство матриц 5

Транспонирование 5

Сложение матриц 6

Умножение матрицы на число 6

Умножение матриц 7

Список литературы 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ

 

Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости  матрицу можно обозначать одной  заглавной буквой, например, А или В.

В общем  виде матрицу размером m×n записывают так:

.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a_ij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a₂₃ – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

 

ТИПЫ  МАТРИЦ

Основные типы матриц

 

Если  в матрице число строк равно  числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

 

Матрица, в которой число строк не равно  числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

 

Матрица, у которой всего одна строка  , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

 

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0.

 

 Например,

.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

 

Квадратная  матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

 

.

 

Квадратная  матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например,   или  .

 

 Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид  .

Вырожденные и невырожденные матрицы

 

Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен  нулю, и невырожденной, если определитель матрицы отличен от нуля.

Пример.  ,   = 16-15 = 1   0; А – невырожденная матрица.                

,   = 12-12 = 0;  А – вырожденная матрица.

 Обратная матрица

 

Квадратная  матрица В называется обратной по отношению к матрице А такого же размера, если

АВ = ВА = Е.   

Пример.  ,  .              

 

В – матрица обратная к А.

 

ЛИНЕЙНЫЕ  ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

 

 Равенство матриц

 

Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a_ij = b_ij. Так если   и  , то A=B, если a₁₁ = b₁₁, a₁₂ = b₁₂, a₂₁ = b₂₁ и a₂₂ = b₂₂.

 

Транспонирование

 

 Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если  , то  .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают A^T.

Связь между  матрицей A и её транспонированной можно записать в виде  .

 

  Например. 

Найти матрицу  транспонированную данной.

Сложение матриц 

 

 

 Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например,

или

  Примеры. Найти сумму матриц:

.

 - нельзя, т.к. размеры матриц различны.

.

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется  следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

Умножение матрицы на число

 

Для того чтобы  умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу  или  .

 

 Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

.

  Примеры.

.

Найти 2A-B, если  ,  .

.

 Найти C=–3A+4B.

Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

 

Умножение матриц 

 

Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры  матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк  второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

.

 

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c₁₃, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

 

 В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a_ij) размера m×n на матрицу B = (b_ij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c_ij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.

 

Из этого  правила следует, что всегда можно  перемножать две квадратные матрицы  одного порядка, в результате получим  квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу  всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

 

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в  результате получим матрицу первого  порядка (т.е. один элемент). Действительно,

.

Примеры.

Пусть 

Найти элементы c₁₂, c₂₃ и c₂₁ матрицы C.

Найти произведение матриц.

.

.

 - нельзя, т.к. ширина первой матрицы  равна 2-м элементам, а высота  второй – 3-м.

Пусть 

Найти АВ и ВА.

Найти АВ и ВА.

, B·A – не имеет смысла.

 

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B ≠ B∙A. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

 

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется  ассоциативному и дистрибутивному  законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC.

 

Легко также  проверить, что при умножении  квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.

 

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел  не равно 0. Для матриц это может  не иметь места, т.е. произведение 2-х  не нулевых матриц может оказаться  равным нулевой матрице.

Например, если  , то

 

 

 

 

 

Список  литературы

 
1)http://mathhelpplanet.com/static.php?p=linyeinye-operatsii-nad-matritsami

2)http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E0%F2%F0%E8%F6%E0_(%EC%E0%F2%E5%EC%E0%F2%E8%EA%E0)

3) http://www.dpva.info/Guide/GuideMathematics/linearAlgebra/MatrixAndMatrixForm/

4) http://stu.sernam.ru/book_algebra.php?id=119