Матрицы и операции над ними

Вариант №15.

 

№1. Найти произведение двух матриц

Решение:

а₁₁ = 3 * (- 5) + 1 * 1 + 2 * 6 = - 15 + 1 + 12 = - 2

а₂₁ = - 1 * (- 5) + 2 * 1 + 0 * 6 = 5 + 2 + 0 = 7

а₃₁ = 4 * (- 5) + 1 * 1 + 5 * 6 = - 20 + 1 + 30 = 11

 

№2. Найти значение многочлена f(x) от матрицы А.

f(x)= 3х² + 5х,

Решение:

f(А)= 3*А*А + 5*А

а₁₁ = (- 1) *  (- 1) + 2 * 0 + 1 * 7 = 1 + 0 + 7 = 8

а₁₂ = (- 1) * 2 + 2 * 3 + 1 * 0 = - 2 + 6 + 0 = 4

а₁₃ = (- 1) * 1 + 2 * 4 + 1 * 6 = - 1 + 8 + 6 = 13

 

а₂₁ = 0 * (- 1) + 3 * 0 + 4 * 7 = 0 + 0 + 28 = 28

а₂₂ = 0 * 2 + 3 * 3 + 4 * 0 = 0 + 9 + 0 = 9

а₂₃ = 0 * 1 + 3 * 4 + 4 * 6 = 0 + 12 + 24 = 36

 

а₃₁ =  7 * (- 1) + 0 * 0 + 6 * 7 = - 7 + 0 + 42 = 35

а₃₂ = 7 * 2 + 0 * 3 + 6 * 0 = 14 + 0 + 0 = 14

а₃₃ = 7 * 1 + 0 * 4 + 6 * 6 = 7 + 0 + 36 = 43          

 

                

 

3*А*А + 5*А=       

 

f(A) =                           

 

№3. Найти определитель произведения матрицы А на транспортированную.

Решение:

а₁₁ = (- 3)* (- 3) + 1 * 1 + 7 * 7 + 2 * 2 = 9 + 1 + 49 + 4 = 63

а₁₂ = (- 3)* (- 2) + 1 * 7 + 7 * 3 + 2 * 5 = 6 + 7 + 21 + 10 = 44

 

а₂₁ = (- 2)* (- 3) + 7 * 1 + 3 * 7 + 5 * 2 = 6 + 7 + 21 + 10 = 44

а₂₂ = (- 2)* (- 2) + 7 * 7 + 3 * 3 + 5 * 5 = 4 + 49 + 9 + 25 = 87

 

№4. Найти матрицу, обратную данной:

а) методом присоединенной матрицы;

б) методом элементарных преобразований

Решение:

а)

 

 

 

б)

 

№5. Решить матричное  уравнение 

.

Решение:

Х*А=В

Х=В*А^-1

 

а₁₁ = 3 * 1 + 1 * (- 1) + 2 * 0 = 3 – 1 + 0 = 2

а₁₂ = 3 * (- 12) + 1 * 17 + 2 * (- 2) = - 36 + 17 – 4 = - 23

а₁₃ = 3 * 5 + 1 * (- 7) + 2 * 1 = 15 – 7 + 2 = 10

 

а₂₁ = 2 * 1 + 1 * (- 1) + 2 * 0 = 2 – 1 + 0 = 1

а₂₂ = 2 * (- 12) + 1 * 17 + 2 * (- 2) = - 24 + 17 – 4 = - 11

а₂₃ = 2 * 5 + 1 * (- 7) + 2 * 1 = 10 – 7 + 2 = 5

 

а₃₁ = -1 * 1 + 2 * (- 1) + 5 * 0 = - 1 – 2 + 0 = - 3

а₃₂ = - 1 * (- 12) + 2 * 17 + 5 * (- 2) = 12 + 34 – 10 = 36

а₃₃ = - 1 * 5 + 2 * (- 7) + 5 * 1 = - 5 – 14 + 5 = - 14

.

 

№6. Найти ранг матрицы

.

 

Решение:

 

№7. Решить систему линейных алгебраических уравнений:

а) по формулам Крамера;

б) методом обратной матрицы;

в) методом Гаусса.

.

 

Решение:

а)

 

х = 18; у = - 27; z = 8.

 

б)

Х = В*А^-1

 

х = 18; у = - 27; z = 8.

 

в)

 

 

№8. Исследовать систему  и, если она совместна, найти решение 

 

Решение:

Система совместна и  имеет решение 

 

 

№9. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений.