Математика Древней Руси

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

(МПГУ)

Математический факультет

 

 

КАФЕДРА

элементарной математики и методики обучения математике

 

Реферат по истории математики:

Математика Древней Руси

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

студентка V курса 1 группы

Агринская Ирина Сергеевна

 

Научный руководитель:

к.п.н., доц. Субботина Ирина Викторовна

 

 

 

 

Москва 2014 г.

Содержание:

1. Введение
2. «Бытовая» арифметика
3. Древнерусские цифры
4. Древнерусская вычислительная практика
5. Меры длины Древней Руси
6. Кирк Новгородский
7. Заключение

Список использованной литературы    
Введение

Какие математические знания применялись в Древней Руси? Какую форму имели средневековые проявления «бытовой математики»? как изменялся объем и характер математических навыков древнерусского человека и зависимости от социального положения?

В наше время использование элементов математических знаний, независимо от рода деятельности человека, его статуса, образования и социального положения, достаточно велико. Цифровые обозначения встречаются нам на каждом шагу: на уличных вывесках, рекламных плакатах, магазинных ценниках, в номерах телефонов, домов, квартир, на часах, в аэропортах и т.д. Мы к этому привыкли. А как обстояло дело с математикой в  X – XI вв.?

Если мы будем знать о математике в быту древнерусского человека, то сможем вернее судить о торговле, финансовой системе, уровне ремесленного производства, строительного и военного дела и других сторонах жизни той эпохи.

В поисках сведений о древнерусской математики стоит обратиться к литературным источникам. Интерес представляет сравнительно позднее произведение «Стоглав» – сборник церковных постановлений 1551г. В нем говорится, что в древнерусской школе учили «грамоте, а писати, и пети, и чести». Постеднее слово исследователи истолковывают по-разному: «читать», и «считать». В «Стоглаве» сообщается о состоянии школьного дела. Однако неясно, можно ли относитьэти сведения к X – XI вв., если согласиться, что там говориться о счете.

Польский математик В. А. Мацеевский одним из первых затронул вопрос о месте математических знаний у славян. Он указал на песню XIII или XIV в., в которой сохранилось предание об арифметике и геометрии, наряду с остальными предметами «учения о семи свободных мудростях», преподававшихся в средневековых школах. Это грамматика, диалектика, риторика, музыка, арифметика, геометрия, астрономия.

Важные результаты о характере математических интересов Древней Руси получил В. П. Зубов. Он установил, что в древнерусских рукописях, начиная с XI в., представлено понимание основ математики в духе Аристотеля (384 – 322 гг. до н.э.).

Можно полагать, что на математику Древней Руси благотворное влияние оказывала античная наука. Это важный факт, свидетельствующий о развитии древнерусской математической мысли на здоровой основе.

«Бытовая» арифметика

В настоящее время «бытовая» арифметика связана главным образом с основами арифметики (нумерацией, элементарными вычислениями). Так ли обстояло дело в средневековой период? Любопытно выяснить, как выглядит средневековая система математических знаний. Средневековый ученый ал-Фараби  (870 - 950) разработал классификацию математических наук в общей системе: на первом месте арифметика, за ней – геометрия, далее – оптика, наука о звездах, наука о музыке, наука о предметах, имеющих вес (механика), наука об «искусных предметах». Последняя – наука о способах создания искусственных тел на основе теоретического знания, включая архитектуру.

Оказывается, что с точки зрения современной иерархии, только после освоения счета человек оказался способным приступить к «построению пропорциональных шкал для измерения длин, объемов, весов и т.д.». выходит, не случайно в классификации ал-Фараби арифметика заняла первое место.

Можно не сомневаться, что в быту среднерусского человека на первом месте среди математических представлений находились числовые обозначения и счет. Арифметические представления (о нумерации, вычислительных операциях) отразились в сохранившихся памятниках письменной и материальной культуры. Числовые записи встречаются в тексте рукописей, различных приписках, в виде единичных цифровых пометок, не связанных с текстом, а также в надписях на камнях, стенах сооружений, на ремесленных изделиях и предметах художественного творчества, на берестяных грамотах. Тесно связаны с арифметическими представлениями деньги. Недаром ведь говорят: «Деньги счет любят».

Древнерусские цифры

Древние славяне очень тесно контактировали с византийцами. Именно от них они заимствовали цифровые обозначения. В Х веке, еще в дохристианскую пору, на Руси стали употребляться византийские цифры. Об этом свидетельствуют различные документы, такие как договоры древнерусских князей с греками, в которых используются византийские цифровые символы.

Что собой представляла византийская цифровая система? В ее основе лежат знаки греческого 24-буквенного алфавита. Они были дополнены тремя цифровыми знаками 6, 90 и 900. Вмести эти три знака называют «эписемами». Каждая из эписем из эписем известна в нескольких начертаниях, в зависимости от времени написания, письменного материала и местных традиций. Младшая эписема в средневековых текстах (византийская шестерка) часто выглядит наподобие латинской буквы «эс» (Ѕ), такую же примерно форму имел вариант греческой буквы,которую ставили только в конце слова, – «конечная сигма». Средняя эписема, обозначавшая 90, встречается в различных вариантах, именующихся общим словом «коппа». Старшая эписема (900) также известна в нескольких начертаниях, объединенных названием «сампи».

24 греческие буквы вместе  с эписемами образовывали 27-знаковую  цифровую систему, которую в литературе  часто именуют «алфавитной» или  «буквенной».

Византийские цифры делились на три группы по 9 знаков в каждой. Одна группа выражала единицы, вторая – десятки, третья – сотни. В такой системе можно было обозначить числа от 1 до 999. Числа записывались слева от старшего разряда к младшему. Например, число 427 выражалось знаками ϒΚZ. Здесь ϒ=400, К=20, Z=7. Если нужно было выразить число порядка нескольких тысяч, то перед разрядом сотен располагали соответствующую цифру единиц. Например, число 6427 записывалось SϒΚZ. Здесь S – шестерка (младшая эписема). Цифре на месте разряда тысяч обычно придавался элемент в виде наклонной черты – «наклонный знак». В таком случае число 6427 будет выглядеть так: SϒΚZ. Чтобы числовую запись не путать с буквенной, она выделялась в тексте точками с обеих сторон (по две или по три), одной горизонтальной линией сверху или несколькими.

 

После принятия христианства произошли существенные изменения в жизни страны. Коренным образом изменился культурный уклад, обусловленный небывалой до того ролью в духовной жизни Руси церковной литературой на старославянском языке, заимствованной из Болгарии. Возникающие в этой связи новые элементы общественной жизни , одним из которых можно считать чеканку своих монет, шли в ногу с этими новшествами письменной практики. Старые элементы культурной жизни сохраняли верность традиции, медленно подвергаясь новым изменениям.

Стали меняться и цифровые обозначения: в Х в. вместо формы, похожей на латинское «эс» (византийская шестерка), младшая эписема стала употребляться с «обратным» поворотом, в виде скорописного «гэ» (ϩ – старославянская шестерка). К концу Х в. в болгарской практике, видимо, уже применялся вместо традиционной византийской записи чисел второго десятка (IA, IB, IГ…), противоположный порядок (AI, BI, ГI…) – славянская инверсия. На Руси в ХI в. появилось цифровое «двуязычие». Его особенности в том, что после принятия христианства использовалась и старославянская система, и византийская система.

Древнерусские эпиграфические источники XI – XII вв. показывают, что примерно столетие спустя после своего появления на Руси старославянские цифровые черты постепенно закрепляются в древнерусской практике. Однако и в XII в. не исчезает на Руси младшая эписема византийского наречия, и встречается иногда византийский порядок в записи чисел второго десятка. Характерным для XII – XIII вв. оказывается начертание средней эписемы (90) типа получервь. В этот период стреловидная форма «сампи» (900) уступила место сходной по начертанию кириллической букве «юс малый».

Древнерусская цифровая система, сложившаяся в XII – XIII вв., отличалась от южнославянской, ей синхронной по времени. В ней последними знаками были «от» (700), «пе» (800) и «цы» (900), как в глаголической цивровой системе. К рубежу XIII – XIV вв. в южнославянской кириллической нумерации остался один знак Ц (900), два других были заменены соответствующими византийскими. Определяющий облик южнославянской нумерационной системе придавала цифра на месте старшей эписемы. После татаро-монгольского нашествия около 1240 г., когда нарушились традиционные культурные связи с Византией и южными славянами, древнерусская цифровая система продолжала развиваться в прежнем направлении – замена греческимх знаков на сходные кириллические.

Древнерусская числовая система XII – XIII вв.

Южнославянские цифровые обозначения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначения, претерпевшие большие изменения, после разрыва связей с Византией:

 

Обозначения больших чисел:

 

«тысяща» – 1000; «тьма» – 10000 (не позже XII в.); «легион» – 100000 (XII – XIV вв.); «леодр» – 1000000 (конец XIV – начало XV в.); «ворон» – 10000000 (середина или первая половина XVI в.); «колода» – 100000000 (не позже 1643г.); «тьма темь» - 1000000000.

 

Древнерусская вычислительная практика

Умели ли вычислять в Древней Руси? Если да, то что собой представляли древнерусские вычислительные приемы?

До нашего времени дошли древнерусские тексты, в которых отражены результаты арифметических подсчетов. Одним из них является «Русская Правда». В ней встречаются сведения о числовых вычислениях с результатами порядка сотен и тысяч.

Очевидно, что на культуру Древней Руси, в том числе математическую, влияли соседние страны. В X – XIII вв. в Европе и странах востока были распространены различные наглядно-механические приспособления для выполнения арифметических подсчетов. Самым распространенным из них был абак. Он состоял как бы из двух обособленных компонентов: вычислительной доски и счетных элементов «в россыпи», чаще всего это были маленькие камешки либо вишневые или сливовые косточки. Записывали результаты вычислений на специальных «церах» - дощечках, заполнявшихся воском, по которому можно было писать особым заостренным стержнем.

Если с давних времен в Византии употреблялся абак, то не исключена возможность заимствования вычислительного приспособления Русью, которая уже в IX – X вв. имела развитые торговые и другие отношения с Константинополем.

Какие же задачи решались в Древней Руси? Результат исследования ученых оказался следующим. Переводу натуры на деньги посвящены 8 вариантов подсчетов. Выделенные варианты разделяются на две группы. К первой относятся 4 варианта, для их выполнения достаточно одной математической операции: умножения на 1, удвоения (умножения на 2), раздвоения (деления пополам) и утроения (деления на 3). Ко второй группе отнесены варианты подсчетов (их та же четыре), которые выполняются посредством последовательности двух-четырех современных арифметических операций, из которых по крайней мере одна связана с действием деления. Первую группу условно можно назвать группой простейших подсчетов, а вторую – группой усложненных подсчетов. Слова «умножение на 1» условно обозначают применения нумерационных навыков с заменой наименований. Например, при стоимости коровы в одну гривну 56 коров будут стоить 56 гривен.

Упорядочение задач по ценам

1	2	3
Цены	Математические действия	Наименование товаров
Группа 1
1 гривна	Умножение на 1	Сено, месячный труд батрачки, «третьячные» кобылы и коровы
2 гривны	Умножение на 2 (удвоение)	Взрослые коровы, месячный труд 2 батрачек
½ гривны	Деление на 2 (раздвоение)	Свиньи, «лоньские» коровы, пчелиный рой с медом
3 гривны	Умножение на 3 (утроение)	Взрослые кобылы
Группа 2
1 резана	Умножение на 1 (стоимость в резанах), деление на 50 (стоимость в гривнах с остатком в резанах)	Руно, сыр
10 резан	Умножение на 10 (стоимость в резанах), деление на 50 (стоимость в гривнах с остатком в резанах)	Бараны, козлы, масло
6 ногат (15 резан)	Умножение на 6 (стоимость в нагатах), умножение на 5/2 или деление на 2/5 (стоимость в резанах), деление на 50 (стоимость в гривнах с остатком в резанах)	Овцы, козы, вепри, жеребята
30 резан	Умножение на 30 (стоимость в резанах), деление на 50 (стоимость в гривнах с остатком в резанах)	«Лоньсике» жеребцы или кобылы

 

Умножение на 1: если количество единиц товара равно а, то стоимость всех товаров будет равна а гривен.

Умножение на 2 (деление на 2): если количество единиц товара равно а, то стоимость всех товаров будет равна 2а гривен (в случае деления а/2 гривен). Это было связано с ценой товаров в 2 гривны.

Умножение на 3: если количество единиц товара равно а, то стоимость всех товаров по цене в 3 гривны будет равна а + 2а = 3а гривен.

Т.о., структура подсчетов 1-й группы сводится к нумерации, удвоению и раздвоению.

Вторая группа начинается с варианта подсчетов в одну резану. Если число единиц товара, продаваемого по резане, удвоить, а затем записать в виде десятичной дроби, то получится такой же результат, как при делении на 50 (может получиться «удвоенный» остаток резан). Таким же образом все варианты подсчетов второй группы можно свести к нумерации, удвоению и утроению. В отличие от 1-й группы, действия во 2-й группе выступают в комбинациях с уменьшением результата в 10 или 100 раз. При этом результат получается в гривнах с возможным остатком в «удвоенных» резанах.