Магические квадраты

 

Метод Баше (метод террас)

Для построения магического квадрата следует выбрать на плоскости n соседних диагональных рядов, содержащих по n клеток и таких, что средняя клетка каждого ряда принадлежит нисходящей диагонали основного квадрата. Клетки левого верхнего ряда заполняются снизу вверх числами . Клетки p-го ряда, где , заполняются числами (p1)n+1, (p1)n+2, , pn (для n=9 рис.4.4).

Рис. 4.4.

Заполнение магического квадрата по методу Баше.

Заполненные таким образом клетки частью расположены внутри основного квадрата, частью- вне его, причем внешние клетки образуют по бокам основного квадрата четыре совершенно одинаковых выступа или террасы. Перенеся клетки террас в основной квадрат, заполним весь основной квадрат числами от 1 до (рис.4.5) [2].

Рис. 4.5.

 Магический  квадрат по методу Баше.

 

§4. Построение магических квадратов четного порядка

 

Алгоритм построения магического квадрата порядка n=2m:

1. Исходный квадрат делится на соответствующее число квадратов порядка 4. В данном случае таких квадратов будет 4. В каждом подквадрате отмечаются диагональные элементы (например, символом #). Остальные элементы построчно заполняются порядковыми целыми числами в направлении слева- направо и сверху- вниз. Числа, приходящиеся на выделенные диагональные элементы должны быть пропущены (рис. 4.1).

#	2	3	#	#	6	7	#
9	#	#	12	13	#	#	16
17	#	#	20	21	#	#	24
#	26	27	#	#	30	31	#
#	34	35	#	#	38	39	#
41	#	#	44	45	#	#	48
49	#	#	52	53	#	#	56
#	58	59	#	#	62	63	#

Рис. 4.1.

 Построение  магического квадрата 8-го порядка.

2. Отмеченные на шаге 1 диагональные элементы квадрата заполняют пропущенными целыми числами в порядке возрастания в направлении справа- налево и снизу-вверх. Недиагональные элементы в каждом подквадрате должны быть отмечены (например, символом $), а числа, приходящиеся на них должны быть пропущены (рис. 4.2).

64	$	$	61	60	$	$	57
$	55	54	$	$	51	50	$
$	47	46	$	$	43	42	$
40	$	$	37	36	$	$	33
32	$	$	29	28	$	$	25
$	23	22	$	$	19	18	$
$	15	14	$	$	11	10	$
8	$	$	5	4	$	$	1

Рис. 4.2.

Заполнение магического квадрата.

3. Квадраты с пропусками диагональных и недиагональных элементов, полученные на шагах 1 и 2, объединяются в общий квадрат, где целочисленные элементы подавляют метки # или $ (рис. 4.3).

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	50	16
17	47	46	20	21	43	42	24
40	26	27	37	36	30	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	18	48
49	15	14	52	53	11	10	56
8	58	59	5	4	62	63	1

Рис. 4.3.

Магический квадрат 8-го порядка.

Константа этого магического квадрата равна 260, что подтверждается вычислением контрольных сумм элементов по строкам, столбцам и главным диагоналям [5].

 

 

 

§5. Индуктивный метод построения магических квадратов произвольного порядка

 

Два числа ряда

                                                (3)

называют взаимно дополнительными, если их сумма равна . Число, дополнительное числу , обозначают символом . Таким образом, При n четном все числа ряда (3) располагаются на пары () взаимно дополнительных чисел. При n нечетном это верно для всех чисел ряда (3), за исключением среднего числа , которое дополнительно самому себе.

Квадрат порядка n-2, в котором размещены различные числа из ряда (3), называют обобщенным магическим квадратом, если:

1. сумма чисел каждого вертикального или горизонтального ряда, а также обеих диагоналей, равна ;
2. вместе с некоторым числом a ряда (3) в этот квадрат входит также и дополнительное число .

Увеличив все числа некоторого магического квадрата порядка n-2 на 2n-2, получаем обобщенный магический квадрат.

Такой квадрат можно получить из квадрата Дюрера (рис.5.1), оставляя неизменными числа 1,2, ...,8 и увеличивая все остальные на 20(рис.5.2).

                                        

                               Рис. 5.1.                                                              Рис. 5.2.

             Магический квадрат Дюрера.                      Обобщенный магический квадрат.

Некоторый магический квадрат К порядка n получается окаймлением обобщенного магического квадрата К' порядка n-2, если, удаляя из квадрата К его крайние ряды, мы получим квадрат К'.

Рассмотрим такой квадрат (рис.5.3) полученный окаймлением обобщенного магического квадрата, изображенного на рисунке 5.2 [2].

 

16	27	11	23	25	9
20	36	3	2	33	17
15	5	30	31	8	22
13	29	36	7	32	24
19	4	35	34	1	18
28	10	26	14	12	21

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.3.

 Обобщенный  магический квадрат, полученный путем окаймления.

 

 

 

Практическая работа

№1. Построить магический квадрат 6-го порядка.

27	29	2	4	13	36
9	11	20	22	31	18
32	25	7	3	21	23
14	16	34	30	12	5
28	6	15	17	26	19
1	24	33	35	8	10

Китайский математик XIII века Ян Хуэй был знаком с треугольником Паскаля (арифметическим треугольником). Он оставил изложение методов решения уравнений 4-й и высших степеней, встречаются правила решения полного квадратного уравнения, суммирования прогрессий, приемы построения магических квадратов. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37, рис.6.1).

Китайский математик XIII века Ян Хуэй был знаком с треугольником Паскаля (арифметическим треугольником). Он оставил изложение методов решения уравнений 4-й и высших степеней, встречаются правила решения полного квадратного уравнения, суммирования прогрессий, приемы построения магических квадратов. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37, рис.6.1).

 

 

 

 

 

 

Рис. 6.1.

 Магический  квадрат 6-го порядка.

№2. Построить магический квадрат 7-го порядка.

						7
					6		14
				5		13		21
			4		12		20		28
		3		11		19		27		35
	2		10		18		26		34		42
1		9		17		25		33		41		49
	8		16		24		32		40		48
		15		23		31		39		47
			22		30		38		46
				29		37		45
					36		44
						43