Логико-дидактический анализ темы "Многоугольники"

Логико-дидактический анализ темы «Многоугольники»

 

Анализ темы «Многоугольники» будет  выполнен по учебнику А.В. Погорелова [113].

1. Цели образовательные и воспитательные изучения темы «Многоугольники».
1. Продолжить раскрытие содержания геометрии как дедуктивной системы знаний:

а) построить систему определений  основных фигур темы на основе логической связи их между собой;

б) раскрыть конструктивную природу  определений многоугольника и угла с учетом нового подхода (как части плоскости);

в) раскрыть операционный состав единого математического приема неполной индукции, используемого при доказательстве основных утверждений темы, и степень строгости проводимых доказательств.

2. Систематизировать и обобщить некоторые метрические свойства многоугольников, рассмотренные ранее для треугольников и четырехугольников и в связи с окружностью.

3. Типизировать математические задачи, раскрыть операционный состав поиска решений задач определенных типов, показать практические приложения изучаемой в данной теме теории.

Непосредственными мотивами изучения этой темы могут быть следующие:

1) Весь понятийный аппарат темы составит основу понятийного аппарата темы «Многогранники» в курсе стереометрии.

2) Изучаемые свойства правильных многоугольников применяются при конструировании различных деталей (гайки восьмиугольные и шестиугольные) и сооружений (можно решить задачи № 21. 22, 40).

3) Теория и практика паркетов построена на свойствах многоугольников и особенно правильных многоугольников (статья А. Н. Колмогорова «Паркеты и правильные многоугольники», [72]).

4) На основе свойств правильных многоугольников можно решать интересные задачи на разбиение фигур (см.: Квант.—1982.— № 12). Решение таких задач развивает логическое и конструктивное мышление учащихся.

2. Логико-математический анализ темы. Материал в теме организован на дедуктивной основе, так как всем фигурам, вводимым в теме, даются определения. Можно проследить логическую цепочку в конструировании определений фигур.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выстроенная цепочка позволяет  решать вопросы раскрытия логического действия – конструирования определений объектов.

Математический анализ этой цепочки  связанных понятий показывает, что  наиболее трудными для объяснения будут  понятия плоского и выпуклого  многоугольников, так как здесь  используются такие объекты, как часть плоскости  и принадлежность  прямой полуплоскости. Названные понятия вводятся на основе иллюстраций, и этот факт накладывает определенные требования на использование наглядности. Существенно новым и важным для данного курса геометрии является вводимое здесь понятие плоского угла. Так как по современной программе вопросы, связанные с длиной дуги и радианной мерой угла, изучаются в связи с изучением тригонометрических функций, то здесь данные понятия можно только актуализировать.

В теме доказывается четыре утверждения. Одно — о длине ломаной —фактически  есть обобщение неравенства треугольника. Второе — о сумме углов выпуклого  многоугольника — есть обобщение  утверждения о сумме углов  треугольника. Третье — конструктивная теорема существования правильного многоугольника. И четвертое дает в определенной мере обоснование числа p.

В основе доказательства первых двух утверждений лежит идея обобщения  неравенства треугольника и суммы углов треугольника, она же используется и как прием доказательства. От одного неравенства треугольника переходим к следующему звену и т. д. и индуктивно делаем общий вывод. Аналогичный прием и в двух следующих теоремах. Поэтому необходимо раскрыть операционный состав приема и суть умозаключения по индукции, чтобы были усвоены и действия, приводящие к обоснованию утверждения.

Значительные содержательные сложности  скрыты в доказательстве теоремы об отношении длины окружности к диаметру, так как здесь неявно используется понятие предела. Опять важно использование средств наглядности, особенно здесь хорошо использовать мультфильм.

Факты, связывающие длину стороны  правильного многоугольника с радиусом окружности, устанавливаются в значительной мере алгебраически.

    Математические задачи, приведенные в учебнике, можно по соответствию теоретическим сведениям объединить в пять групп:

первая группа задачи — № 1—7, вторая — № 8—18, третья № 19— 29, четвертая  № 30—40, пятая № 41—47.

В соответствии с. обязательными результатами решение «типичных» задач второй, третьей и четвертой групп должно быть хорошо отработано в классе и со всеми учащимися.

Для определения «типичных» задач  необходимо наборы групп задач учебника сравнить с обязательными результатами и выделить их пересечение. В каждой из групп есть задачи, решая которые можно формировать основные элементы математической деятельности на школьном уровне. Из первой группы это задачи № 5, 7; из второй — № 9, 13, 14, 15, 16, 18; из третьей—№ 23, 24, 25; из четвертой— № 38, 39.

 Выделение основного («ядерного») материала темы, установление групп математических задач, соответствующих основному материалу, выделение «типичных» задач группы и задач, позволяющих обучать математической деятельности, позволяют определить основные учебные задачи и действия по их решению.

3. Учебные задачи и действия, им адекватные. Основной учебной задачей темы, как вытекает из целей обучения теме и анализа содержания учебного материала, может быть формирование нового понимания геометрической фигуры как части плоскости и раскрытие некоторых ее конструктивных и метрических свойств на основе решения математических задач.

При решении этой учебной  задачи можно решить следующие подзадачи:

а) Раскрыть логическую структуру  взаимосвязи определений фигур  темы от ломаной до правильного многоугольника. Результатом решения этой подзадачи будет «цепочка» взаимосвязанных определений и умения конструировать их, выделяя родовое свойство и видовые отличия. Материал темы позволяет (сконцентрировано в одном месте восемь взаимосвязанных объектов) действие конструирования определений фигур сделать актуально значимым.

б) Раскрыть структуру приема доказательства утверждений по индукции. Результат решения – овладение  последовательностью действий, составляющих прием доказательства по индукции.

в) Раскрыть соотношение  между линейными и угловыми элементами правильных многоугольников и радиусами вписанной и описанной окружностей и конкретизировать его при решении математических задач. Результат решения — последовательность действий при применении формул к решению математических задач, так как эти действия в значительной мере однообразны во всех задачах. А именно эти задачи составляют основное содержание задач обязательных результатов обучения.

г) Раскрыть специфику получения  формулы длины окружности (на основе интуитивного понимания понятия «близко» между периметрами вписанного и описанного правильных многоугольников) и применить ее к нахождению длин окружностей и их частей. Результат решения — понимание особого приема доказательства теоремы и последовательность операций по применению формулы в аналогичных задачах.

д) Овладеть приемами поиска решения  математических задач путем использования  общих приемов решения задач  на доказательство и конкретных эвристик, использующих выведенные в теме свойства фигур. Результат решения — актуализированные общие приемы поиска решения задач на доказательство и специфические эвристики.

4. Средства и приемы обучения. Средства: модели плоских и неплоских ломаных; модели и чертежи многоугольников (выпуклых, невыпуклых, правильных, вписанных и т. п.); магнитная доска, складной метр; динамическая модель описанного и вписанного многоугольников; математические задачи как средство подведения под понятие фигуры и конкретизации теоретического факта; математические задачи как цель реализации математической деятельности на школьном уровне.

П р и е м ы: использование  графов для построения «родословной»  понятия; составление пошагового доказательства теоремы 12.1 для создания возможностей переноса структуры доказательства на доказательство последующих теорем: 12.2 и 12.3; работа с учебником при доказательстве теорем 12.2 и 12.3; составление таблиц формул для а_n и b_nчерез R и r и представление их в классе для постепенного, непроизвольного запоминания; набор эвристик при обучении поиску решения задач.  

5. Формы контроля и оценки. Контролироваться и оцениваться при обучении данной теме будет следующее: 1) знание основных («ядерных») фактов: определения правильного многоугольника;

теоремы существования правильного  многоугольника (возможности вписания (описания) правильного многоугольника в окружность); формулы, выражающей зависимость а_n от R и г, обоснования числа p, плоского угла; 2) владение методом доказательства по индукции, приемом составления «родословной» взаимосвязанных определений фигур; приемом обоснования числа p; общими приемами решения задач, конкретизирующих теоретические факты на уровне обязательных результатов обучения; общими приемами поиска решения нестандартных математических задач.

На основе логико-дидактического анализа  темы, который возможно выполнять с разной степенью детализации и конкретизации. можно далее решать различные методические задачи.

В частности, на первых практических занятиях, после того как будут  усвоены общие подходы выполнения логико-дидактического анализа тем, необходимо решить методическую задачу: «Составить таблицу — развернутый тематический план изучения темы «Многоугольники» (табл. 17)».

Дадим комментарий к каждой графе.

1. Количество уроков взять пока такое же, как в программе, так как нет учета работы реального класса и конкретного учителя (см.: Математика в шк.— 1985.—№ 6).

2. Темы уроков сформулировать на основе логико-дидактического анализа темы, но каждый„урок должен иметь свою тему.

3. Цели уроков детерминированы только содержанием материала и получат корректировку в реальном классе. Сформулированные ранее учебные задачи и подзадачи существенно помогают постановке целей урока.

4—5. Распределение математических задач по урокам и на домашние и классные детерминируется целями урока и обязательными результатами обучения (см.: Математика в шк.—1985.—№ 3).

6. Самостоятельные работы зависят от реализуемых целей и вида деятельности учащихся на уроке. Их содержание приведено в журнале «Математика в школе».— 1985.— № 1. В этой графе важно предусмотреть степень самостоятельности выполнения учащимися каждой самостоятельной работы: работа проводится с указанием общих рекомендаций о ее выполнении, с использованием учебников и тетрадей, с использованием консультаций учителей или товарищей, полностью самостоятельно без какой-либо помощи и т. п.

7. В графе «ТСО и наглядность» можно использовать результаты анализа темы и конкретные изготовленные наглядные пособия, а также диафильмы и диапозитивы.

8. Повторение необходимо спланировать с учетом целей обучения.

9. Материал, способствующий созданию положительной мотивации, можно найти в книгах для внеклассной работы.

Составленное примерное методическое планирование темы не является обязательным и предметом обсуждения на занятиях.

Достоинствами предложенного планирования можно считать объединение в один урок всего понятийного аппарата правильных многоугольников, объединение в один урок доказательства двух теорем, так как метод доказательства их одинаков, концентрацию на небольшом числе уроков изучения теории с целью выделения большего времени для решения различных задач, а не только задач из группы, принадлежащей изучаемой теории, и т. п.

На материале этого планирования можно поставить следующие методические задачи:

Задача 1. Разработайте план урока  по введению всего понятийного аппарата темы. Предложите систему наглядности и набор вопросов, помогающих установить существенные свойства объектов и логические связи между определениями объектов темы.

Задача 2. Проанализируйте группу математических задач с № 19 по 29. Расположите  их по степени нарастания сложности. Предложите методику решения «типичной» задачи группы. Как «типичная» задача связана с обязательными результатами обучения и как это учтено в методике ее обучения?

Задача 3. Разработайте методику использования  исторического материала при изучении данной темы. Предложите приемы вовлечения учащихся в ознакомление с историческим материалом.

Задача 4. Разработайте таблицу, в которой  были бы представлены в обобщенном виде (вариант опорного конспекта) основные факты темы. Такую же таблицу можно составить по методам, используемым в теме, и по приемам поиска решения математических задач.

Задача 5. Предложите формы контроля и критерии оценки сформированности учебных и математических действий и операций по итогам изучения темы «Многоугольники».

 

 Логико-дидактический анализ  темы «Неравенства»

 

1. Обучение теме можно начать с создания положительных мотивов ее изучения. Широким познавательным мотивом здесь могут выступать изучение свойств числовых неравенств, методы решения линейных неравенств с одной переменной и их систем. Учебно-познавательным мотивом может быть интерес к анализу доказываемых неравенств, получению выводов. Примером мотивации может служить разбор «доказательства» софизма «Положительное число меньше нуля».

Пусть а и b – произвольные положительные числа, удовлетворяющие неравенству

a > b