Логико - дидактический анализ темы

Логико – дидактический анализ темы.

Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. – 8-е изд. – М.: Просвещение, 200. – 207 с.: ил. - ISBN

1. Психолого – педагогическая характеристика.

В классе обучается 28 человек, из них 15 мальчиков и 13 девочек. Большинство  учащихся данного класса отличает умеренная  познавательная активность. В классе существуют неформальные группы друзей. на первом месте во взаимоотношениях учащихся стоят товарищеские отношения, которые строятся на таких качествах, как уважение, равенство, верность, готовность прийти на помощь. Дети в данном классе заметно отличаются друг от друга по интересу к учению, уровню личного развития. Мотивация учебной деятельности учащихся в данном классе различная, часть учащихся хотят расширить свои знания, стремится к формированию нужных умений и навыков, позволяющих заниматься интересной работой. Для некоторых, примерно 7 человек, мотивом к учению является только получение хороших отметок. У большинства учащихся данного класса хорошо развито произвольное внимание. Примерно 5 учеников имеют неустойчивое внимание, это связано с отсутствием интереса к предмету, которое способствует отвлечению от нее. Примерно половина класса обладают зрительной памятью. Следует отметить, что у основной массы учащихся преобладает долговременная память и лишь примерно 6 человек преобладает кратковременная память, которая связана с их актуальными интересами. В мыслительных действиях учащихся 7 «А» класса имеются элементы всех видов мышления. Следует отметить, что основная часть учащихся имеют средние показатели обучаемости. Пять человек в классе учатся без троек. Неуспевающих в классе 4 человека.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Пояснительная записка к теме.

Тема  «Разложение многочленов на множители» является продолжением изучения арифметической линии в школьном курсе математики.

Основные  понятия и определения данной темы.

• Вынесение общего множителя за скобки
• Способ группировки
• Формула разности квадратов
• Квадрат суммы. Квадрат разности

Согласно «Федеральному государственному образовательному стандарту основного общего образования» от 17 декабря 2010 года №1897 предметные результаты должны отражать:

1. развитие умений работать с учебным математическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию), точно и грамотно выражать свои мысли с применением математической терминологии и символики, проводить классификации, логические обоснования, доказательства математических утверждений;
2. развитие представлений о числе и числовых системах от натуральных до действительных чисел; овладение навыками устных, письменных, инструментальных вычислений;
3. овладение символьным языком алгебры, приёмами выполнения тождественных преобразований выражений, решения уравнений, систем уравнений, неравенств и систем неравенств; умения моделировать реальные ситуации на языке алгебры, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры, интерпретировать полученный результат.

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Логико – математический анализ изучаемой темы «Разложение многочленов на множители» (19 часов)

Материал темы организован на индуктивной  основе, так как определения и  правила выводятся после решения  задач.

Ядерным материалом являются:

• Вынесене общего множителя за скобки;
• Способ группировки;
• Формула разности квадратов;
• Квадрат суммы. Квадрат разности;
• Куб суммы. Куб разности;
• Сумма кубов. Разность кубов.

Изложение материала опирается на алгебраические операции, тождественные преобразования, законы арифметических действий.

При доказательстве формул сокращенного умножения  используют правила умножения многочлена на многочлен и приведение подобных членов.

 

4. Анализ задачного материала.

Анализ  задачного материала проводится по величине проблемности:

• стандартные;
• обучающие;
• поисковые;
• проблемные.

1. К стандартным задачам относятся такие задачи как: 318-327, 339-342, 346, 351-363, 370-376, 392-398, 408-412.

Например, задача №318

Применить распределительный закон  умножения и вычислить:.

2. К обучающим задачам относятся такие задачи как: 328-333, 335, 336, 343, 344, 365-383, 385, 386, 388, 389, 399, 404, 405, 415, 416, 421.

Например, задача №333

Разложить на множители: .

3. К поисковым задачам относятся: 334, 337, 345, 347, 364, 384, 387, 400, 401, 402, 403, 413, 414, 417, 418, 419, 420, 424.

Например, задача №364

Решить уравнение: .

4. К проблемным задачам относятся такие задачи как: 338, 348, 349, 350, 367, 368, 369, 391, 406, 407, 422, 423, 425, 426.

Например, задача №406

Доказать, что если каждое из двух натуральных чисел не делится  на 3, то модуль разности квадратов этих чисел делится на 3.

 

 

5. Реализация внутрипредметных связей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Включение историки  – математического материала.

При изучении данной темы может быть рассмотрен следующий перечень вопросов:

• Из истории скобок
• Об основных законах действий. Распределительный закон у Евклида
• Об одной формуле Диофанта
• О записи и знаках умножения и деления
• «Универсальная арифметика» Л. Эйлера
• Треугольник Паскаля

Материал может быть представлен  учащимся в форме беседы. Например:

1. Формулы сокращенного умножения были известны еще вавилонянам около 4000 лет назад. Их не знали в символьном обозначении, но применяли при счете.

Так, древние греки могли выполнять в уме следующие вычисления 41² – 31² ;  55² – 45²  и.т.д.

Ученые древней Греции представляли величины не числами или буквами, а отрезками прямых, которые обозначали буквами или концы которых отмечали с помощью двух букв.

Вместо произведения «a x b» говорили прямоугольник, содержащийся между отрезками а и b. Вместо «а²» - говорили квадратные отрезки.

В древней Греции алгебра оперировала не числами, а отрезками, площадями и объемами фигур и была названа геометрической алгеброй.

Лишь учеными 17 века, в первую очередь Ньютону удалось полностью отказаться от геометрической основы и перестроить алгебру на символы. Исаак Ньютон (1643 – 1727 г.).

2. Треугольник Паскаля.

Блез Паскаль (19.06.1623 – 19.08.1662) французский философ, писатель, математик, физик.

Треугольник Паскаля арифметический треугольник – треугольная числовая таблица для составления биноминальных коэффициентов.

По боковым сторонам треугольника стоят единицы, внутри треугольника числа образуются сложением двух чисел, стоящих над данными.

 

 

 

 

                         1 

                     1 2 1 

                    1  3 3 1 

                   1  4 6 4 1  

                  1 5 10 10 5 1 

                 ………………

Треугольник показывает коэффициенты для разложения степени многочлена  a+b.

Например:  (a+b)²=a²+2ab+b², 

                  (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³.

 

8. Организация контроля знаний  учащихся по теме «Разложение  многочлена на множители».

При осуществлении контроля знаний учеников по теме «Разложение многочлена на многочлен» проводится фронтальный  опрос учащихся, ежедневная проверка тетрадей учеников, математический тест, самостоятельная работа, контрольная  работа по теме.

1. Фронтальный опрос. При проведении фронтального опроса выясняются знания основных определений формул. Перечень вопросов для фронтальной беседы:

Расскажите алгоритм вынесения  общего множителя за скобки.

Расскажите алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки.

Какие формулы сокращенного умножения  вы знаете? (Разность квадратов, квадрат  суммы, квадрат разности, сумма кубов, разность кубов, куб суммы, куб разности)

 

2. Ежедневная проверка тетрадей учеников. Проверка тетрадей осуществляется для  установления обратной связи с целью  выяснения усвоения знаний.

 

3. Математический  тест. В конце темы «Разложение многочлена на множители» проводится математический тест.

Цель работы: проверить степень  усвоения материала.

В соответствии с поставленной целью  в эту работу включаются задания на усвоение формул сокращенного умножения. Включены такие задания при выполнении которых у учащихся вызывает наибольшее затруднения, например перед тем как использовать формулы сокращенного умножения произведение числового и буквенного выражения записать под одной  степенью.

·   Разложите на множители:  9с² - a²b²

 (3c - ab)² 
 (9c-ab)(9c+ab) 
 (3c-ab)(3c+ab) 
 (9c-ab)²

·   Разложите на множители: 25х²+10х+1

 (5х+1)² 
 (5х+1)(5х-1) 
 (5х-1)² 
 не разлагается на множители

·   Разложите на множители: 16 - 24у+9у²

 (4 -3у)² 
 (8-3у)² 
 не разлагается на множители 
 (4-3у)(4+3у)

·   Разложите на множители: х³-8

 (х-2)(х²+4х+4) 
 (х+2)(х²-2х+4) 
 (х-2)(х²+2х+4) 
 (х-2)(х²-2х-4)

·   Разложите на множители: 8а³+1

 (2а-1)(4а²+2а+1) 
 (2а+1)(4а²-2а+1) 
 (2а+1)(4а²-4а+1) 
 (2а+1)(4а²+2а+1)

·   Вычислите:  (75² - 25²):(62,5² - 37,5²)

 1 
 -1 
 2 
 -2

Первое задание теста  направлена на проверку знания учащихся формулы разности квадратов. Второе, третье – на применение формулы квадрата суммы двух чисел. Но в третьем задании формула написана не в привычной форме, то есть в начале стоит число 16  затем удвоенное произведение 24у и только потом 9у². Четвертое задание направлена на проверку знания формулы квадрата разности. Пятое – на знание формулы суммы кубов. И шестое – на вычисление значения выражения применяя формулы сокращенного умножения.

 

 

4. Проверочная работа. В середине темы «Разложение многочлена на множители проводится самостоятельная работа.

Цель  работы: проверить умение разлагать многочлены на множители при помощи вынесения общего множителя за скобки, применение формул сокращенного умножения, способом группировки.

В соответствии с поставленной целью  первое задание направлено на проверку знаний формулы разности квадратов, второе – на сумму и разность квадратов, третье – преобразование выражений различными способами, четвертое  – решение уравнений при помощи формул сокращенного умножения, пятое  – на знание формулы разности кубов.

 

Вариант 1.

№1. Разложить на множители:

а) ;

б) .

№2. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

а) ;

б) .

№3. Упростите выражения:

а) ;

б) ^;  

в) .

№4. Решите уравнение:

а) ;

б) .

№5. Представьте в виде произведения:

    ^.

 

 

Вариант 2.

№1. Разложить на множители:

а) ;

б) .

№2. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

а) ;

б) .

№3. Упростите выражения:

а) ;

б) ^;  

в) .

№4. Решите уравнение:

а) ;

б) .

№5. Представьте в виде произведения:

    .

 

Решение.

Вариант 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Контрольная работа.  В  конце темы проводится контрольная  работа.

Цель работы: проверить умения учащихся разлагать  многочлены на множители.

Первое задание направлено на проверку умения учащихся различать и применять формулы квадрата разности и разности квадратов для преобразования выражения в многочлен, а второе задание в обратную сторону. Третье задание направлено на проверку умений учащихся преобразований выражения и нахождении их значений. Четвертое – выполнение действий применяя формулы сокращенного умножения. Пятое задание направлено на проверку знаний учащихся преобразования выражений и о делителе числа.