Лекция по "Математике"

 

Богатство и разнообразие приемов, имеющихся у учащихся после  изучения темы «Квадратные уравнения» служат необходимой предпосылкой перехода к завершающему этапу освоения методов  решения упражнений. Особенно это  сказывается при решении текстовых  задач. Сюжеты их становятся более разнообразными.

Освоение темы «Квадратные  уравнения» поднимает учащихся на качественно  новую ступень овладения содержанием  школьной математики.

 

Итог занятия.

 

 

Тема3.2.4:  Методика решения неравенств и систем неравенств. (2 лекции)

Цели:  Знать особенности изучения неравенств и влияние их на построение программы НСШ, уметь подтвердить примерами из учебника.

 

Лекция. Основные этапы изучения уравнений, неравенств и их систем.

В курсе НСШ уравнения  и неравенства изучаются во взаимосвязи и их изучение имеет свои особенности:

1 – постепенное возрастание  количества классов уравнений  и неравенств и приемов их  решения. За счет увеличения  объема материала изучение нового  усложняется наличием уже изученного.

2   –   установление  разнообразных связей между различными классами уравнений, выявление все более общих классов, закрепление обобщенных типов преобразований, упрощение обоснования решения.

В результате взаимодействия этих особенностей материал представляется учащимся в компактном виде, не затрудняющем, а облегчающим обучение.

Выделяются четыре основные ступени:

1) независимое изучение  основных типов уравнений и  неравенств и их систем;

2) расширение количества  изученных классов уравнений,  неравенств, систем;

3) формирование приемов  решения и анализа уравнений, неравенств, систем;

4) синтез материала  линии уравнений и неравенств.

Среди всех изучаемых  типов уравнений, неравенств и систем выделяются основные типы:

а) линейные уравнения  с одним неизвестным;

б) линейные неравенства  с одним неизвестным;

в) системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными;

г) квадратные уравнения  и неравенства.

Эти классы изучаются  с большой тщательностью, для  них доводится до автоматизма  выполнение алгоритмов решения, указывается  форма записи ответов.

После усвоения материала целесообразно предлагать и такие задания, в которых могут возникать нестандартные для данного класса уравнений ответы.

Каждый из основных классов  уравнений, неравенств, систем требует  проведения исследования зависимости  результата от коэффициентов, например:

а) у линейного  уравнения  – один корень

б) у квадратного количество корней зависит от Д

в) - в системе двух линейных уравнений одно решение, если

          (прямые ∩)  

    - множество  решений, если

          (прямые совпадают)

    - нет решений,  если

         (прямые параллельны)

г) Для неравенств рассматриваются простейшие особенности геометрических фигур, изображающих множество их решений на координатной плоскости.

Изучение неравенств в основной школе организовано так  же, как и уравнений, они проходят те же этапы изучения, но имеют свои особенности.

1) Как правило, навыки  решения неравенств находятся  на более низком уровне, чем  уравнений соответствующих классов, так как теория неравенств сложнее, чем теория уравнений.

2) Большинство приемов  решения неравенств состоит в  переходе от неравенства а  > в к уравнению а = в и  затем от нахождения корней  уравнения к решению неравенства.  Эту особенность нужно постоянно подчеркивать, чтобы данный метод превратился в основной метод решения неравенств.

3) В изучении неравенств  большую роль играют наглядно-графические  средства. Эти особенности учитель  использует при распределении  материала по темам:

а) чтобы повысить технику решения неравенств изучаемого класса достаточно выполнить большое количество упражнений.

б) вторая особенность  показывает, что решение  неравенств всех классов рассматривается после  изучения уравнений соответствующих  классов.

в) третья особенность  зависит от уровня изучения функции в основной школе.

Эти особенности показывают, что изучение предшествующего материала  сильно влияет на изучение неравенств.

◄  Приведем примеры:

1) * Линейные уравнения

а)  ах + в = 0

          ах = -в

          х =

     б)  ах + с-  вх - d = 0

          ах – вх = d - с

х(а – в) = d - с

х =

    * Линейные неравенства:

    а)   ах + в  > 0

          ах  > - в

          х > -       

Ответ: (- )     

    б)  ах + с  – вх – d > 0

       х(а  – в) > d – с

          х >                  

 Ответ:     

Решение неравенств усложняется  свойством:  при делении обеих  частей неравенства на отрицательное число 0, знак неравенства меняется на противоположный.

2) * Квадратные неравенства.

Изучаются после квадратных уравнений и квадратного трехчлена. Учащиеся уже умеют строить график квадратного трехчлена и находить нули функции, поэтому переход к неравенству  вида ах² + вх +с > 0 можно осуществить как переход к построению графика функции

у = ах² + вх + с сначала для случая Д > 0 и наличия двух корней, рассмотреть на конкретном примере, на котором устанавливается соответствие между двумя задачами:

Решить неравенство  ах² + вх +с > 0 и найти значение аргумента, для которых значение функции у = ах² + вх + с положительны, т.е. решение неравенства переходит к построению графика функции.

Нули этой функции  разбивают ось абсцисс на три промежутка, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак, поэтому ответ считывается с чертежа.

Затем рассматривают  Д = 0 и Д < 0, они опираются на тоже правило, но требуют дополнительного  внимания. Заполняется соответствующая  таблица.

Выясняют, что график квадратичной функции не обязательно  вычерчивать точно, достаточно найти  только х₁ и х₂.

В основной школе ограничиваются только изучением неравенств основных классов и из упражнений прикладного  характера выполняют исследование корней уравнений в зависимости от параметров и нахождение области определения.

Итог занятия.

 

 

Тема3.2.5: Общая последовательность изучения материала линии уравнений и неравенств.

Цели: Обобщить и систематизировать методику изучения линии уравнений и неравенств, знать основные этапы изучения темы, основные типы их изучения.

 

Лекция. К основным классам уравнений, неравенств и их систем, изучаемых в основной школе относятся:

1) линейные уравнения  с одним неизвестным;

2) линейные неравенства  с одним неизвестным

3) системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными;

4) квадратные уравнения  и неравенства;

5) иррациональные и  трансцендентные уравнения и  неравенства.

Введение каждого нового класса уравнений сопровождается введением  новой области числовых выражений, входящих в стандартную форму записи ответа.

Например: при записи ответа квадратных уравнений могут  быть квадратные корни 3 + , что требует множества R; при записи ответов тригонометрических уравнений может быть форма , . Такое распределение числовых областей сохраняется на протяжении всего школьного курса математики. Внешние признаки записи ответа до некоторой степени помогают учащимся ориентироваться в материале и контролировать получаемый результат.

٭ Изучение уравнений, неравенств, систем, сводящихся  к основным классам.

Каждый из основных классов  уравнений, неравенств, систем уравнений  имеет четкую, стандартную форму  записи.

х² + х – 1 =  0  -  квадратное, а х² + х = 1 не является квадратным.

При решении текстовых  задач алгебраическим методом получаемые модели не обязательно имеют форму, связанную с каким-либо основным классом. Приходится их сводить к  основным классам некоторым образом.

Выделяется несколько  типов уравнений и неравенств, сведение которых к основным классам выполняется просто.

Их изучают вслед  за основными в тесном взаимодействии с ними.

Системы вида

     х + у = 1

    2х + 3у = 4х  – 2   изучаются сразу после  изучения систем в ст. виде. Приводим  заданную систему к виду

                 х + у = 1               х + у = 1

    -2х + 3у = -2             и                   2х – 3у = 2

Классификация вторичных  классов уравнений и неравенств обширнее, чем основных. Она включает:

–  упражнения 1 степени;

– биквадратные;

–  алгебраические;

– иррациональные.

По мере введения этих классов возникают взаимосвязи, которыми пользуются для упрощения  процесса решения.

Например, при решении  биквадратных уравнений используют способ сведения его к квадратному  уравнению и затем решения как квадратного. Этот способ используется на протяжении изучения всего школьного курса.

٭ Формирование общих приемов решения и исследования уравнений, неравенств,  и их систем.

В ходе изучения уравнений, неравенств, систем различных классов  выявляется роль общих, универсальных средств решения и исследования.

Эти средства можно разделить  на три группы:

1 – логические методы обоснования решения (равносильные преобразования, логическое следование). Эти переходы выполняют до тех пор, пока уравнение сведется к основному виду.

2 –  вычислительные приемы, посредством которых производятся упрощения частей уравнений или неравенств, проверка найденных корней при помощи подстановки в промежуточные вычисления.

Роль вычислительных приемов велика.

3 –  наглядно-графические приемы используют в качестве основы координатную прямую или плоскость.

Использование координатной прямой позволяет решать неравенства, системы линейных неравенств, квадратные неравенства, уравнения и неравенства  с модулями.

Рассмотреть на примерах: /х - а/ = в

Использование координатной прямой или плоскости позволяет применить графические  методы к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем. Один из ярких примеров – графическое решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Он используется для исследования этого класса систем. В качестве подготовительной работы рассматривают график линейного уравнения с двумя переменными. Построение графика сводится к построению графика линейной функции; уравнение ах + ву = с сводится к виду и используются известные факты о линейной функции.

Графическое изображение  применяется и там, где аналитическая  запись громоздка (например, схема решения квадратных неравенств).

Область применения графического метода ограничена, так как с его  помощью можно использовать только задания

–  с известными графиками,

–  с точками, не выходящими за пределы чертежа,

–  учитывать погрешности, которые неизвестны.

Тем не менее, графический метод, использующий координатную плоскость, играет важную роль в решении и исследовании уравнений и неравенств. Графические приемы являются важной составляющей частью координатного метода. Дальнейшему освоению этого метода способствует расширение запаса геометрических фигур, задаваемых уравнениями и неравенствами (окружность, гипербола, парабола).

٭ Синтез материала линии уравнений и неравенств.

Последняя ступень в освоении школьной теории уравнений и неравенств относится  к организации имеющихся у  учащихся знаний и опыта решения уравнений и неравенств в единую, целостную систему.

На этой ступени предлагаются более сложные задания, которые  нужно распознать и свести к одному из типовых классов и организовать процесс решения. Эта ступень  относится к прохождению последних тем курса и к итоговому повторению: в результате формируется общая картина связей изученных классов уравнений, неравенств и систем.

В курсе математики старших  классов учащиеся сталкиваются с  новыми классами уравнений, неравенств и их систем. Но это мало влияет на уже сформированную систему; они дополняют ее новым фактическим содержанием, не меняя сложившиеся связи, содержащие различные классы. На более высоком уровне владения материалом связи становятся более освоенными, учащиеся в процессе решения легко их восстанавливают.