Контрольная работа по "Высшей математике"

10 вариант

1. Вычислить:  .

Решение.

= 5 · 6 – (–4) · (–3) = 30 – 12 = 18.

Ответ: 18.

 

2. Вычислить:  

Решение.

= 2·0·1 + 0·(-1)·(-2) + 0·2·3 – 0·0·0 – 3·(-1)·1 – 2·(-2)·2 = 3 + 8 = 11.

Ответ: 11.

 

3. .  Найти сумму элементов второй строки матрицы В.

Решение.

= =

= = .

11 + (–6) + 13 = 18.

Ответ: 18.

 

4. Решить систему уравнений, приняв в качестве базисных переменных y и z:

Решение.

 

 

6x + 2z = 4,     2z = 4 – 6x,     z = 2 – 3x.

 

 

4x + 2y = –14,     2y = –4x – 14,     y = –2x – 7.

Ответ:   х – любое действительное число,   y = –2x – 7,   z = 2 – 3x.

 

5. Вычислить (,   если .

Решение.

= (4 – 2; (–3) – 0; 2 – 3) = (2; –3; –1).

( = 2 · 4 + (–3) · 1 + (–1) · (–2) = 8 – 3 + 2 = 7.

Ответ: 7.

 

6. ( + 2 + )( – ) = …

Решение.

( + 2 + )( – ) = + 2() + –  – 2() – = + 0 + (–) – (–) – 2 – 0 = – + – 2 = – 3+ + .

Ответ:  – 3+ + .

 

7. Найти смешанное произведение ,   если .

Решение.

= = 3·2·1 + 1·5·0 + (–6)·(–1)·(–3) – 1·2·(–1) – (–6)·5·1 – 3·0·(–3) =

= 6 – 18 + 2 +30 = 20.

Ответ: 20.

 

8. Уравнение плоскости, проходящей через точку М(-5; 1; 7) параллельно плоскости

4x – 2y + 3z – 11 = 0, имеет вид …

Решение.

Это уравнение будем искать в виде 4x – 2y + 3z + D = 0, где D – неизвестный свободный член. Так как плоскость проходит через точку М, то ее координаты должны удовлетворять последнему уравнению: 4·(–5) – 2·1 + 3·7 + D = 0,  –20 – 2 + 21 + D = 0,

–1 + D = 0,  D = 1. Следовательно, 4x – 2y + 3z + 1 = 0 – искомое уравнение.

Ответ: 4x – 2y + 3z + 1 = 0.

 

9. Уравнение прямой, проходящей через точку М(5;-3;2) параллельно прямой , имеет вид …

Решение.

 

Ответ: .

 

 

10. Вычислить    .

Решение.

  = = = .

Ответ:  .

 

11. Вычислить 

Решение.

= = = = = .

Ответ:  .

 

12. Найти y'(3), если y = 3x·tgx.

Решение.

y' = 3 = 3 = 3.

y'(3) = 3.

Ответ:  3.

 

13. Найти y'(2), если y = .

Решение.

y' = = = = .

y'(2) = = .

Ответ:  .

 

14. Для функции y = найти y'.

Решение.

y' = ()' = ·(3x – 1)' = .

Ответ:  .

 

15. Для функции y = arcctg найти y'.

Решение.

y' = (arcctg)' = – · ()' = – · = – .

Ответ:   –  .

 

16. Найти интервал(ы) убывания функции y = 2 + .

Решение.

y' = 2*3x2 + 2x = 6x2 +2x.

6x2 +2x 0,   2x(3x + 1) 0,

2x(3x + 1) = 0,

2x = 0  или  3x + 1 = 0,

  x = 0           x = –

 

 

 

Функция убывает на интервале (– ; 0).

Ответ:  (– ; 0).