Контрольная работа по "Высшей математике"

Задача 1.  Вычислить:

для нахождения данного предела  преобразуем числитель и знаменатель:

: 

Таким образом,

: 

Таким образом,

Ответ:  .

 

 

Задача 2.  Найти , если

Для нахождения дифференциала применим формулу:   (1)

Подставим найденное  в формулу (1):

Ответ:  .

 

 

Задача 3.  Решить систему линейных уравнений двумя

способами:

А. Метод Крамера

Решим систему вида по формулам Крамера.

Найдем  определитель системы:

если  , то система невырожденная и имеет решение.

Заменим первый столбец коэффициентов столбцом из свободных членов и найдем определитель:

Заменим второй столбец коэффициентов  столбцом из свободных членов и найдем определитель:

Заменим третий столбец коэффициентов  столбцом из свободных членов и найдем определитель:

Решением исходной системы, по формулам Крамера будут:

,  ,   .

,  ,   .

Б. Метод Гаусса

Решение системы вида методом Гаусса состоит из двух этапов.

На первом этапе (прямой ход) система  приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

Исключим неизвестное  из второго и третьего уравнений используя элементарные преобразования системы (например, умножим первое уравнение на , а второе уравнение на , далее, вычтем из первого уравнения второе и запишем результат на месте второго равнения и т.п.), в результате получим систему:

Далее, исключим неизвестное  из третьего уравнения системы используя элементарные преобразования:

- получена матрица треугольного  вида.

На втором этапе (обратный ход) последовательно определяем неизвестные из этой ступенчатой  системы:

из третьего уравнения  ,

из второго  уравнения  ,

из первого уравнения .

Для удобства запишем заданную систему  в матричном виде:

ПРЯМОЙ ХОД:

Первую строку умножим на 5 и  вычтем из нее вторую строку, результат  запишем на месте второй строки:

Разделим вторую строку на 9:

Первую строку умножим на 3 и  вычтем из нее третью строку, результат  запишем на месте третьей строки:

Вторую строку умножим на 7 и  вычтем из нее третью строку, результат  запишем на месте третьей строки:

Разделим третью строку на 3: - получили треугольную матрицу.

ОБРАТНЫЙ ХОД:

Запишем полученную систему в обычном  виде:

Из третьего уравнения системы: .

Из второго уравнения системы: .

Из первого уравнения системы: .

Проверка: - тождественно равны, значит система решена верно.

Ответ:   ,  ,  .

 

 

Задача 4.  Найти интеграл:

Произведем замену переменных: 

Подставим новые переменные в заданный интеграл:

Обратная подстановка:  .

Таким образом:  .

Проверка:

       – равно подынтегральному  выражению. Значит, решение верно. 

Ответ:  .

 

 

Задача 5.  Преобразовать в алгебраическую, показательную и тригонометрическую форму:  

Рассмотрим исходное комплексное  число как деление двух чисел:

Комплексные числа делятся по формуле: , где , .

В нашем случае: , .

То есть: алгебраическая форма записи.

 

Тригонометрическая форма записи комплексного числа: , где .

Найдем  модуль комплексного числа  :

Для :     .

Так как  , , то это внутренняя точка четвертой четверти.

Для внутренних точек четвертой четверти главное значение аргумента комплексного числа:

В нашем  случае тригонометрическая форма:

Показательная форма: .

 

 

Ответ:   - алгебраическая форма записи,

- тригонометрическая форма,

- показательная форма.