Контрольная работа по "Высшей математике"

Контрольная работа

Задача 278. Коэффициенты использования рабочего времени у двух комбайнов соответственно равны 0,8 и 0,6. Считая, что остановки в работе каждого комбайна возникают случайно и независимо друг от друга, определить относительное время: 1) совместной работы комбайнов; 2) работы только одного комбайна; 3) простоя обоих комбайнов.

Решение.

Пусть событие  = {работа первого комбайна}, событие = {работа второго комбайна}. Тогда

 и

1) относительное время  совместной работы комбайнов  (событие A)

 

2) относительное время  работы только одного комбайна (событие B)

 

3) относительное время  простоя обоих комбайнов (событие  C)

 

Задача 298. Производится последовательное испытание 5 приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается в том случае, если предыдущий оказался надежным. Построить ряд и функцию распределения случайного числа испытанных приборов, если вероятность выдержки испытания для каждого из них равна 0,9. Найти вероятность того, что придется испытывать не менее 2 и не более 4 приборов.

Решение.

Случайное число  – испытанных приборов может принять следующие значения: (первый прибор не оказался надежным), , , , ,

Соответствующие им значения найдем, пользуясь формулой Бернулли

 

где , , ,

 

 

 

 

 

 

Отсюда ряд распределения  с.в. имеет вид:

	0	1	2	3	4	5
	0,00001	0,00045	0,0081	0,0729	0,32805	0,59049

 

Функция распределения

 

Вероятность того, что придется испытывать не менее 2 и не более 4 приборов.

 

 

Задача 318. Заданы математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины . Найти: 1) вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу ; 2) вероятность того, что абсолютна величина отклонения окажется меньше .

Решение.

1) вероятность того, что  примет значение, принадлежащее интервалу

Используя формулу

 

Найдем искомую вероятность

 

2) вероятность того, что  абсолютна величина отклонения окажется меньше .

По формуле 

 

Имеем

 

Задача 328. Имеются данные о дневном сборе клубники 50 колхозников (кг):

16,1	17,3	18,4	19,1	16,8	15,3	16,4	18,0	17,4	18,0
17,3	18,9	18,6	20,9	20,3	19,1	21,9	15,7	17,6	16,1
17,2	19,9	17,5	19,2	19,7	17,4	18,0	19,8	15,6	22,0
18,7	17,2	20,7	19,3	19,0	15,6	18,3	21,3	17,5	18,7
20,2	18,3	18,4	16,6	17,0	16,4	17,4	17,4	20,9	18,0

Требуется:

1. Построить вариационный ряд частот или относительных частот;
2. Изобразить геометрически вариационный ряд, построив гистограмму частот;
3. Вычислить точечные оценки параметров распределения;
4. Высказать гипотезу о виде закона распределения признака и применить критерий согласия хи-квадрат Пирсона на 5%-м уровне значимости;
5. Считая полученный набор данных генеральной совокупностью, сделать из этой совокупности выборку объема 10, для которой:
1. вычислить точечные оценки параметров распределения – выборочную среднюю арифметическую и исправленную выборочную дисперсию , сравнить полученные значения с соответствующими характеристиками генеральной совокупности;
2. найти доверительный интервал для генеральной средней на уровне значимости при неизвестной и известной дисперсии;
3. найти доверительный интервал для генеральной дисперсии.

 

Решение.

1. Построить вариационный ряд частот или относительных частот;

Проранжируем ряд в порядке возрастания

15,3	15,6	15,6	15,7	16,1	16,1	16,4	16,4	16,6	16,8
17,0	17,2	17,2	17,3	17,3	17,4	17,4	17,4	17,4	17,5
17,5	17,6	18,0	18,0	18,0	18,0	18,3	18,3	18,4	18,4
18,6	18,7	18,7	18,9	19,0	19,1	19,1	19,2	19,3	19,7
19,8	19,9	20,2	20,3	20,7	20,9	20,9	21,3	21,9	22,0

Сгруппируем варианты по интервалам

 

 

Составим таблицу группировки

I	Интервалы	Середины интервалов	Частоты, ni
1	15,3 – 16,3	15,8	6
2	16,3 – 17,3	16,8	7
3	17,3 – 18,3	17,8	13
4	18,3 – 19,3	18,8	12
5	19,3 – 20,3	19,8	5
6	20,3 – 21,3	20,8	4
7	21,3 – 22,3	21,8	3
			50

2. Изобразить геометрически вариационный ряд, построив гистограмму частот

3. Вычислить точечные оценки параметров распределения;

Составим вспомогательную  таблицу:

1	15,8	6	94,8	1497,84
2	16,8	7	117,6	1975,68
3	17,8	13	231,4	4118,92
4	18,8	12	225,6	4241,28
5	19,8	5	99,0	1960,2
6	20,8	4	83,2	1730,56
7	21,8	3	65,4	1425,72
сумма		50	917,0	16950,2

Среднее арифметическое :

 

Дисперсия :

 

Среднее квадратическое отклонение:

 

4. Высказать гипотезу о виде закона распределения признака и применить критерий согласия хи-квадрат Пирсона на 5%-м уровне значимости;

Проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с использованием критерия Пирсона.

Критерием является случайная величина:

 

Где    – число степеней свободы критерия,

           – частоты значений признака (берутся из вариационного ряда),

           – теоретические частоты, – число различных значений признака.

Число степеней свободы , где – число параметров распределения признака X. Плотность вероятности, нормального распределения зависит от двух параметров и , т.е.

Теоретические частоты для дискретных вариационных рядов вычисляются по формуле , где вероятность попадание нормальной случайной величины в интервал , которая рассчитывается с помощью функции Лапласа по следующей формуле:

 

Проведем необходимые  вычисления. Удобно представить все  расчеты в таблице

1		16,3		-1,2535	-0,5	-0,39503	0,1050	5,2485
2	16,3	17,3	-1,2535	-0,6391	-0,39503	-0,2386	0,1564	7,8215
3	17,3	18,3	-0,6391	-0,0246	-0,2386	-0,0095	0,2291	11,4550
4	18,3	19,3	-0,0246	0,5899	-0,0095	0,2224	0,2319	11,5950
5	19,3	20,3	0,5899	1,2044	0,2224	0,3858	0,1634	8,1700
6	20,3	21,3	1,2044	1,8189	0,3858	0,4655	0,0797	3,9850
7	21,3	+	1,8189	+	0,4655	0,5	0,0345	1,7250
Итого							1	50

Сравним эмпирические и теоретические  частоты, используя критерий Пирсона и предварительно объединив малочисленные частоты :

6	5,249	0,752	0,565	0,1076
7	7,822	-0,821	0,675	0,08628
13	11,455	1,545	2,387	0,20838
12	11,595	0,405	0,164	0,01415
12	13,880	-1,880	3,534	0,25464
				0,67105

Итак,

Далее, по таблицам распределения  для и уровня значимости (или надежности критерия ) находим критическое значение критерия               

Поскольку , то гипотеза о том, что признак распределен нормально принимается.

5. Считая полученный набор данных генеральной совокупностью, сделать из этой совокупности выборку объема 10, для которой:

17,2

19,9

17,5

19,2

19,7

17,4

18,0

19,8

15,6

22,0

1. вычислить точечные оценки параметров распределения – выборочную среднюю арифметическую и исправленную выборочную дисперсию , сравнить полученные значения с соответствующими характеристиками генеральной совокупности;

 

1	17,2	295,8
2	19,9	396,0
3	17,5	306,3
4	19,2	368,6
5	19,7	388,1
6	17,4	302,8
7	18,0	324,0
8	19,8	392,0
9	15,6	243,4
10	22,0	484,0
	186,3	3501,0